chuyên đề ôn thi đại học bất đẳng thức

Chuyên ựề BẤT đẲNG THỨC này là một phần trong bộ tài liệu nói trên.. Ban ựầu chúng tôi có ý ựịnh biên soạn chuyên ựề BẤT đẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT, nhưng do thời gian không

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

NGUY Ễ N V Ă N XÁ

TỔ TOÁN

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

B

LỜI NÓI đẦU

được sự tạo ựiều kiện của lãnh ựạo Nhà trường và sự cổ vũ của ựông ựảo ựồng nghiệp, tổ Toán ựã tổ chức biên soạn tài liệu ôn thi đại học, gồm

nhiều chuyên ựề bám sát cấu trúc ựề thi do Bộ Giáo dục và đào tạo qui ựịnh Tài liệu này ra ựời ựóng góp vào những nỗ lực chung của toàn trường trong việc từng bước nâng cao chất lượng dạy và học Trong quá trình biên soạn, chúng tôi vừa trao ựổi với các ựồng nghiệp trong và ngoài tổ, vừa tham khảo các tài liệu luyện thi hiện có, vừa căn cứ vào tình hình thực tế học sinh trong trường Vì vậy, mặc dù hiện nay những tài liệu luyện thi đại học có rất nhiều, chúng tôi vẫn hi vọng tài liệu này mang tiếng nói của riêng mình

Chuyên ựề BẤT đẲNG THỨC này là một phần trong bộ tài liệu nói trên Ban ựầu chúng tôi có ý ựịnh biên soạn chuyên ựề BẤT đẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT, nhưng do thời gian không cho phép nên chúng tôi mới chỉ ựề cập ựến một số vấn ựề về bất ựẳng thức, vận dụng bất

ựẳng thức ựể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, còn các vấn ựề chung về giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như ứng dụng của nó chúng tôi chưa có ựiều kiện trình bày Tới ựây, chúng tôi sẽ cố gắng biên soạn bổ sung các nội dung ựó thành một chuyên ựề khác hoặc cũng có thể tiếp nối vào chuyên ựề này

Vì nhiều lắ do mà chất lượng của tài liệu này còn nhiều ựiều ựáng bàn Chúng tôi rất mong các ựồng nghiệp, các bạn học sinh chỉ giúp những chỗ sai sót hoặc chưa hợp lắ ựể chúng tôi kịp thời khắc phục Các ý kiến xin vui lòng gửi về email: toan.thptyenphong2@gmail.com.

Chúng tôi bày tỏ sự kắnh trọng và biết ơn tới ựồng chắ Hiệu trưởng và

ựồng chắ Tổ trưởng vì những giúp ựỡ của các ựồng chắ ựể tài liệu này ựược

hoàn thành Chúng tôi cũng chân thành cảm ơn các ựồng nghiệp, các học sinh

ựã quan tâm tới tài liệu này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[01] Bộ Giáo dục và đào tạo Ờ Bộ sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên THPT môn Toán

(cơ bản và nâng cao) Ờ NXB GDVN, 2010

[02] Bộ Giáo dục và đào tạo Ờ Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 10, 11,

[05] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Giải tắch 11 Ờ NXB GDVN, 2009

[06] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Hình học 11 Ờ NXB GDVN, 2009

[07] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Hình học 10 Ờ NXB GDVN, 2009

[08] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán đại số 10 Ờ NXB GDVN, 2009

[09] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Lượng giác 10 Ờ NXB GDVN, 2009

[10] Trần Phước Chương, đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh Ờ Rèn luyện kĩ năng giải các dạng

bài tập đại số 10 nâng cao Ờ NXB GDVN, 2007

[11] Nguyễn Văn Quắ, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà Ờ Các dạng toán về Bất ựẳng thức,

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Ờ NXB đà Nẵng, 1998

[12] Trần Tuấn điệp, Nguyễn Phú Trường, Ngô Long Hậu Ờ Giới thiệu ựề thi tuyển sinh vào

đại học, Cao ựẳng trong toàn quốc môn Toán Ờ NXB Hà Nội, 2010

[13] Trần Văn Hạo (cb) Ờ Chuyên ựề luyện thi vào đại học: Bất ựẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ

nhất Ờ NXB GD, 2001

MỤC LỤC

Trang

TÀI LIỆU THAM KHẢO 2

MỤC LỤC 3

1 KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 4

1.1 ðịnh nghĩa ……… 4

1.2 Một số tính chất ……… 4

1.3 Bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối ……… 4

1.4 Bất ñẳng thức Côsi ……… 5

1.5 Bất ñẳng thức lượng giác ……… 5

1.6 Bất ñẳng thức hình học ……… 6

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 7 2.1 Phương pháp biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả; phương pháp làm trội ……… 7

2.2 Phương pháp phản chứng ……… 11

2.3 Phương pháp qui nạp toán học ……… 11

2.4 Phương pháp vận dụng các bất ñẳng thức ñã biết ……… 14

2.5 Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác ……… 17

2.6 Phương pháp vận dụng kiến thức hình học……… 19

2.7 Phương pháp vận dụng kiến thức hàm số……… 20

3 VẬN DỤNG BẤT ðẲNG THỨC ðỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 31 3.1 Nhắc lại ñịnh nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất……….31

3.2 Một số ví dụ vận dụng bất ñẳng thức ñể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất……… 31

1 KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC

1.1 ðịnh nghĩa

Cho hai số thực a và b Ta nói “a lớn hơn b” và viết “a > b” (hoặc viết “b < a”) nếu a – b là số dương (hay b – a là số âm), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn a” Ta nói “a lớn hơn hoặc bằng b” và viết “a ≥ b” (hoặc viết “b ≤ a”) nếu a – b là số không âm (hay

b – a là số không dương), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn hoặc bằng a” Như vậy:

a b a b 0; a b a b 0;

a b a b 0; a b a b 0

> ⇔ − > < ⇔ − <

≥ ⇔ − ≥ ≤ ⇔ − ≤

Các mệnh ñề có dạng “a > b” hoặc “a < b” hoặc “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” ñược gọi

là bất ñẳng thức Trong ñó, khi cần thiết, hai bất ñẳng thức ñầu tiên ñược gọi là bất ñẳng thức nghiêm ngặt, và hai bất ñẳng thức sau gọi là bất ñẳng thức không ngặt Nếu không nói gì thêm, khi ñề cập ñến bất ñẳng thức thì ta hiểu ñó là các mệnh ñề ñúng Bài toán chứng minh bất ñẳng thức là bài toán chứng minh bất ñẳng thức ñã cho là mệnh ñề ñúng

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 5

11) x2n ≥0, x∀ ∈ ∀ ∈ℝ, n ℕ* Ta hay sử dụng bất ñẳng thức ở dạng x2 ≥ ∀ ∈0, x ℝ

12) Nhờ công thức khai triển nhị thức Niu−tơn, với x ≥ 0, n ∈ ℕ *, ta có

(1 x)+ = +1 nx x+ + ≥ +1 nx, bất ñẳng thức (1 x)+ n ≥ +1 nx ñược gọi là bất ñẳng thức Béc−nu−li Từ bất ñẳng thức Béc−nu−li hoặc nhờ bất ñẳng thức Côsi ta có

n 1 na + < + ∀ ∈ 1 a, n ℕ , n > ∀ > 1, a 0.

13) Nếu a, b là các số nguyên và a < b thì a 1 + ≤ b.

1.3 Bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối

1) |a| ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a = 0

2) |a| + a ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a ≤ 0

3) Bất ñẳng thức Côsi cho n số không âm a1, a2, …, an: 1 2 n n

1 2 n

a a a n

+ + + ≥

Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = …= an

4) Hệ quả: Với n số dương a1, a2, …, an ta có 1 2 n 2

5) Với n số không âm a1, a2, …, an, kí hiệu 1 1 2 1 n

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 6

Hệ quả: − ≤1 sin x 1; 1 cos x 1.≤ − ≤ ≤

2) tan x cot x 2, x k , k

2

π+ ≥ ∀ ≠ ∈ℤ Dấu “=” xảy ra khi x k , k

4) Ba số dương a, b, c là ñộ dài ba cạnh một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số bất

kì trong ba số ñó lớn hơn số còn lại

Lưu ý một số sự kiện:

i) A2 ≥ ∀ ∈0, A ℝ Dấu”=” xảy ra khi A = 0

ii) a ≥ ∀ ∈0, a ℝ dấu “=” xảy ra khi a = 0 ,

iii) a + ≥ ∀ ∈a 0, a ℝ dấu “=” xảy ra khi a, ≤0

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 8

2)Chứng minh rằng (ax+by)2 ≤(a2 +b )(x2 2+y ) (2), a, b, x, y2 ∀ ∈ℝ (bất ñẳng thức Bunhiacôpxki)

2 − 3 ≥ ñúng với mọi a, dấu “=” lại không ñồng thời xảy ra, nên (1’) ñúng

với mọi a Vậy (1) ñúng với mọi a

2) Bất ñẳng thức (2)⇔(ay−bx)2 ≥0 ñúng với mọi a, b, x, y; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx

VÍ DỤ 2

1)Chứng minh rằng na+nb ≥na+ ∀ ∈b, n ℕ, n≥ ∀2, a, b≥0

2)Chứng minh rằng xn m+ +yn m+ ≥x yn m+x y , x, ym n ∀ ∈ ∀ℝ, n, m∈ℕ*, và m, n cùng tính chẵn lẻ

2) Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với (xm−y )(xm n −y )n ≥0 (*)

– Nếu n, m cùng lẻ thì xm −ym ≥ ⇔0 xm ≥ym ⇔ ≥ ⇔x y xn ≥yn ⇔ xn −yn ≥0 và

x −y ≤ ⇔0 x −y ≤0, nên (*) ñúng, dấu “=” xảy ra khi x = y

– Nếu n, m cùng chẵn thì xm−ym≥ ⇔0 xm ≥ym ⇔ ≥ ⇔| x | | y | xn ≥yn ⇔xn−yn ≥0

và xm−ym ≤ ⇔0 xn −yn ≤0, nên (*) ñúng, dấu “=” xảy ra khi x = ±y

Vậy bất ñẳng thức ñã cho ñược chứng minh

x y z 2xy.cos(a, b) 2yz.cos(b, c) 2zx.cos(c, a) 0

x y z 2xy.cos C 2yz.cos A 2zx.cos B 0

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 9

x y zxy.cos C yz.cos A zx.cos B (ñpcm)

1) Với mọi a, b ta có (a – b)2 ≥0 nên a2− +ab b2 ≥ab Từ ñây và do

a>0, b>0, abc=1 suy ra a3+ + = +b3 1 (a b)(a2− +ab b ) 1 ab(a b) abc ab(a b c)2 + ≥ + + = + +

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 10

3 3

1 1 1 1 1

.(n 1).n n 1 n

Dấu “=” xảy ra khi x = y∈ π[0; ]

* Với mọi a, b > 0 áp dụng bất ñẳng thức Côsi ta có 1 1 2 4

(2)

a + ≥b ab ≥ a b

xảy ra khi a = b > 0

* Với mọi ∆ABC luôn có sinA, sinB, sinC, A B C

cos , cos , cos 0

A B Csin A sin B sin A sin B 2sin cos

ABC là tam giác ñều

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 11

2.2 Phương pháp phản chứng

Giả sử ta phải chứng minh bất ñẳng thức nào ñó ñúng, ta hãy giả sử bất ñẳng thức ñó sai và kết hợp với giả thiết và các tính chất ñúng ñã biết ñể suy ra ñiều vô lí ðiều vô lí ñó có thể là ñiều trái với giả thiết hoặc trái với một mệnh ñề ñúng nào ñ y, cũng có thể là hai ñiều mâu thuẫn với nhau Từ ñó suy ra bất ñẳng thức cần chứng minh là ñúng

2.3 Phương pháp qui nạp toán học

ðể chứng minh bất ñẳng thức là mệnh ñề có dạng " n∀ ∈ℤ, n≥n : P(n)"0 (n0 là

ấ

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 12

một số nguyên cho trước) ta có thể làm theo 2 bước:

+ Bước 1 (bước cơ sở): Chứng tỏ P(n) ñúng với n = n0 (tức là chứng minh P(n0) ñúng)

+ Bước 2 (bước di truyền): Giả sử P(k) ñúng, k∈ℤ, k≥n0 (ñây gọi là giả thiết qui nạp), ta ñi chứng minh P(k+1) cũng ñúng (Trong nhiều trường hợp bước 2 còn ñược thực hiện như sau: Giả sử P(n) ñúng với mọi n∈ℤ, n0 ≤ ≤n k (k∈ℤ , ta ñi )chứng minh P(n) ñúng với n = k + 1) Sau khi hoàn thành 2 bước trên, theo nguyên lí qui nạp toán học, suy ra P(n) ñúng với mọi số nguyên n≥n 0

Có những bài toán ta phải vận dụng phương pháp qui nạp nhiều lần (ví dụ 12)

Với n = 12 thì 12 = 4.3 + 5.0 (x = 3, y = 0), tức là khẳng ñịnh cho ở ñề bài ñúng với

n = 12 Bằng kiểm tra trực tiếp ta cũng thấy khẳng ñịnh ñã cho cũng ñúng với n = 13 và

n = 14 Tiếp theo ta sẽ chứng minh khẳng ñịnh ñó ñúng với mọi số nguyên n > 14

 Giả sử khẳng ñịnh cho ở ñề bài ñúng với mọi n∈ℕ,12≤ ≤n k (k∈ℤ,k 15),≥ ta phải chứng minh khẳng ñịnh ñó cũng ñúng với n = k + 1 Do 12≤ − ≤k 3 k nên theo giả thiết qui nạp khẳng ñịnh ñã cho ñúng với n = k –3 Tức là tồn tại hai số tự nhiên x, y sao cho k – 3 = 4x + 5y Ta có k + 1 = 4(x+1) + 5y, chứng tỏ khẳng ñịnh ñã cho ñúng với n = k + 1 Vậy ñiều phải chứng minh là ñúng

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 13

chứng minh (1) bằng phương pháp qui nạp theo m

– Với m = 1 thì (1) ñúng và xảy ra dấu “=” Ta cũng kiểm tra ñược (1) ñúng khi m = 2, dấu “=” xảy ra khi a1 = a2

 Giả sử bất ñẳng thức ñã cho ñúng với n = p (p∈ℕ*) Tức là

+ +

+ +

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 14

+ +

VÍ DỤ 14

Cho a + b + c = 0 Chứng minh 8a +8b+ ≥8c 2a +2b+2 c

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 15

3 3 3

x +y +z ≥3(x+ + − =y z) 6 (x+ + +y z) 2(x+ + − ≥ + +y z 3) x y z Vậy bất ñẳng thức 8a + + ≥8b 8c 2a +2b +2c ñược chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay

− − − , với a, b, c, và p lần lượt là ñộ dài

các cạnh và nửa chu vi của một tam giác bất kì

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 16

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

3) Áp dụng bất ñẳng thức Côsi với hai số ta có

3 +4 +5 ≥ 60 > nhân hai bất ñẳng thức này,

vế với vế, thu ñược x x x

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 17

Vậy | a 1|− +| b |+ + ≥| c 2 | 10 Việc chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào xin dành cho bạn ñọc

Các phương pháp chúng tôi giới thiệu tiếp sau ñây liên quan tới nhiều khía cạnh sâu sắc của toán phổ thông, vì thế ñòi hỏi học sinh phải có nền tảng kiến thức khá vững

và rộng, phải có những nhận xét tinh tế ñể nhìn thấu ñược các mối quan hệ có trong bài toán

2.5 Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác

Học sinh phải ghi nhớ các công thức lượng giác, tính chất của các hàm số lượng giác, ñặc biệt là các bất ñẳng thức lượng giác Việc chuyển từ bài toán ñại số sang bài toán lượng giác, trong nhiều trường hợp, không những giúp ta giải quyết vấn ñề dễ dàng hơn, mà còn có thể làm toát lên ñược bản chất của bài toán, có thể gợi ý cho sự phát triển bài toán ñó Chúng ta lưu ý rằng:

– Nếu ñiều kiện của biến x ≤k (k >0) thì có thể ñổi biến x k.sin u (u ; )

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 18

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 19

  cùng phương, tức là xảy ra ñồng thời ay = bx, az = cx, bz = cy

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 20

(C), ñiểm P(–1; 5) nằm bên ngoài (C), và M(x; y) ∈ (C) Gọi M0 là giao ñiểm của ñoạn thẳng PN với ñường tròn (C) thì M (o −1 23; ).

5 5 Với mọi M(x; y) ∈ (C) luôn có

Nếu hàm f(x) và g(x) cùng ñồng biến (hoặc cùng nghịch biến) trên tập D thì

(f (a) f (b) g(a) g(b)− ) ( − )≥ ∀0, a, b∈D Nếu f(x) ñồng biến trên D còn g(x) nghịch biến trên D thì (f (a) f (b) g(a) g(b)− ) ( − )≤ ∀0, a, b∈D

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 21

Một hàm số quan trọng mà ta rất hay sử dụng tính chất của nó ñể chứng minh

bất ñẳng thức, ñó là hàm số bậc hai Tất nhiên ñi kèm theo ñó là các kiến thức về

phương trình và bất phương trình bậc hai Chúng ta lưu ý tới một số nhận xét sau ñây:

Nhận xét 1 Ta biết rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì

b2 – 4ac ≥ 0 Như thế, ñể chứng minh bất ñẳng thức có dạng b2 – 4ac ≥ 0 (a ≠ 0) ta có

thể ñi chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

Nhận xét 2 Nếu a > 0 thì có ngay ax2 + bx + c > 0 ∀x∈R ⇔ b2 – 4ac < 0, và

ax2 + bx + c ≥ 0 ∀x∈R ⇔ b2 – 4ac ≤ 0 Còn nếu a < 0 thì ax2 + bx + c < 0 ∀x∈R ⇔

b2 – 4ac < 0, và ax2 + bx + c ≤ 0 ∀x∈R ⇔ b2 – 4ac ≤ 0 Lưu ý rằng ñôi khi ta lại thay

một hằng số bởi một biến số thích hợp Và cũng có khi ñể chứng minh b2 – 4ac < 0 ta

ñi chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm

Nhận xét 3 Nếu a≤ ≤x b thì (x – a)(b – x) ≥ 0 hay x2 – (a + b)x + ab ≤ 0

Nhận xét 4 Nếu phương trình bậc hai 2

ax + bx + = c 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x , x1 2

(phân biệt hoặc trùng nhau) thì x1 x2 b; x x1 2 c

+ = − = (ñịnh lí VIET) Nếu hai số u, v

có tổng u + = v S, u.v = P thì u, v là hai nghiệm của phương trình bậc hai 2

+ + là phương trình ẩn x, còn y là tham số Bây giờ ñi tìm ñiều kiện

của y ñể phương trình này có nghiệm x, ta sẽ có ñược tập giá trị của y, và từ ñó có thể

chứng minh ñược một số bất ñẳng thức có dạng một vế là hằng số còn một vế là biểu

y

= , ñưa về áp dụng nhận xét 5

Nhận xét 8

a) ðể chứng minh bất ñẳng thức mà một vế là hằng số và một vế là biểu thức có

Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 22

+ + , ta xét cosx = 0, sau ñó xét cosx ≠ 0 và chia cả

tử và mẫu của P cho cos2x, ta ñặt t = tanx, chuyển về áp dụng nhận xét 5

và làm tiếp như nhận xét 8a

Nhận xét 9 Từ các khả năng xảy ra của ∆ ta thấy một tam thức bậc hai ñổi dấu khi và

chỉ khi ∆ > 0. Vì thế, ñể chứng minh bất ñẳng thức có dạng b2− 4ac > 0 (a ≠ 0) ta có

thể xét tam thức f (x) = ax2± bx + c và chỉ ra sự tồn tại của hai số thực α β , sao cho

f ( ) α > 0, f ( ) β < 0.

Nhận xét 10 Nếu a > 0 thì ñồ thị hàm số y = ax2+ bx + c là parabol (P) quay bề lõm

lên trên, tức là với bất kì hai ñiểm phân biệt A, B nằm trên (P), gọi M là một ñiểm

thuộc ñoạn AB (M khác A, B), N là một ñiểm thuộc cung AB của (P) sao cho xM = xN,

Từ giả thiết ta có bc = a2, b + c = abc – a = a(bc – 1) = a(a2 – 1) nên b và c là hai

nghiệm của phương trình x2 – a(a2 – 1)x + a2 = 0 Vì phương trình này có nghiệm nên

∆ = (a3 – a)2 – 4a2 ≥ 0 ⇔ (a2 – 1)2 ≥ 4 ⇔ a2 ≥ 3 Từ ñây và do a > 0 suy ra a ≥ 3 Lúc

này b + c = a(a2 – 1) > 0 và bc = a2 > 0 nên b > 0, c > 0 Hơn nữa b2 + c2 =

=(b + c)2 – 2bc = (a3 – a)2 – 2a2 = a2.((a2 – 1)2 – 2) ≥ 2a2 Vậy ta có ñiều phải chứng

minh

VÍ DỤ 26

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d, e thì

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)