Cực TRỊ TRONG mặt phẳng OXYZ

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức PMA MB đạt giá trị nhỏ nhất... Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức PMA2 2MB2 đạt giá trị lớn nhất.. Xác định tọ

Trang 1

https://www.facebook.com/tailieupro/

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/

B NỘI DUNG

I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH

1.1 Kiến thức cơ sở

Các công thức về khoảng cách:

 Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm A x y z A; A; A và B x y z B; B; B Khi đó:

 B A2  B A2  B A2

AB AB  x x  y y  z z

 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M x M;y M;z M và mặt phẳng  P :AxByCzD 0 Khi đó:

 

 ,  Ax M By2 M 2Cz M2 D



 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

MN u

d M

u

 

 

 Trong đó, N là một điểm thuộc đường thẳng  và u

là VTCP của đường thẳng 

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

 1 2  1 2

, ,

,

u u AB d

u u

  

 

Trong đó, A , B lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng  và 1  2

u1

, u2

lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng  và 1  2

1.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;4;2  , B  1;2;4  và

đường thẳng

1

2

z t

 





    

 



Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức

PMA MB đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Điểm M thuộc đường thẳng  nên tọa độ điểm M có dạng: M 1   t; 2 t t;2 

và 2  2  2  2 2

Trang 2

Do đó,

Xét hàm số   2

f t  t  t , với tR Ta có: f '  t  24t 48 Khi đó, f '  t    0 t 2

Bảng biến thiên:

 

f t



28



Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của f t   f   2  28 khi t 2

Vậy P có GTNN khi t 2 , tức là M  1;0;4 

Nhận xét

1 Việc tìm GTNN của hàm số   2

f t  t  t có thể sử dụng kiến thức về hàm

số bậc hai: “ Hàm số yax2bxcđạt GTNN tại

2

b x

a

  (khi a 0 ) và đạt

GTLN tại

2

b x

a

  (khi a 0 )’’

2 Bài toán trên có thể mở rộng cho biểu thức của P có dạng: PaMA2 bMB2,

P aMA bMB  

hoặc Pk, với k là hằng số thỏa mãn điều kiện k P0 là GTNN

của P

Bài toán 1.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;4;2  , B  1;2;4  và đường thẳng

1

2

z t

 





    

 



Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức PMA2 2MB2

đạt giá trị lớn nhất

Gợi ý P  6t2 36t 32 Đạt GTLN khi t 3 Khi đó, M  2;1;6 

Bài toán 1.2 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;2  , B  2;1;0  , C 0;0;3  và

đường thẳng : 1

 Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho:

Dựa theo biểu thức của MA và 2 MB có thể mở rộng bài toán với hình thức như 2

sau:

Trang 3

Bài toán 1.3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;4;2  , B  1;2;4  và đường thẳng

1

2

z t

 





    

 



Tìm điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức P MA

MB

 đạt giá trị

lớn nhất

Gợi ý Nhận xét P 0 Xét

2

P

  Kết quả

2 max

309 10

309 14



Trong bài toán 1.3, phương pháp sử dụng hàm số thể hiện rõ ràng tính hiệu quả của nó

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :

x y z

   và hai điểm A 0;0;3  ,

 0;3;3 

B Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức PMAMB đạt

giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Điểm M thuộc đường thẳng  nên tọa độ điểm M có dạng M t t t ; ; 

Ta có: PMAMB  0 t2  0 t2  3 t2   0 t2   3 t2   3 t2

f t  t  t  t  t , với tR

Ta có:  

f t

Khi đó,  

 

2 1

t t

f t

 



     

(*)

Xét hàm số  

2

u

g u

u





, với uR

Ta có:  

2

u



, với mọi uR

2

Trang 4

 

f t



3



Từ bảng biến thiên, suy ra GTNN của P bằng 3 3 Đạt được tại 3

2

t  Khi đó

3 3 3

; ;

2 2 2

M 

Nhận xét

1 Việc tìm GTNN của P có thể sử dụng bất đẳng thức sau:

 2  2  2

0

a b  c d  ac  bd  ad bc 

Ta có:     2  2   2  2 2  2

2 Bài toán trên có thể phát biểu dưới một hình thức khác như sau:

Bài toán 2.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;5;0  , B 3;3;6  và đường thẳng

:

x y  z

 Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng  sao cho tam giác ABC có

chu vi nhỏ nhất

Gợi ý Chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi và chỉ khi PCA CB đạt giá trị nhỏ nhất

P t   t  t

Bài toán 2.2 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;5;0  , B 3;3;6  và đường thẳng

:

x y  z

 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho

2 29

Bài toán 2.2 có bề ngoài không phải là bài toán cực trị

Nếu chúng ta giải quyết theo cách thông thường thì việc giải phương trình:

9t  20  9t  36t 56  2 29

không hề dễ

Ở đây, để ý giá trị 2 29 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB thì ta sẽ có ngay t 1

nhờ việc giải bài toán cực trị trong bài toán 2.2

Trang 5

Ví dụ 3.(ĐH – A 2008) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

d     và điểm A(2;5;3) Lập phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng d sao cho khoảng

cách từ điểm A đến mặt phẳng   là lớn nhất

Lời giải

Lấy điểm M 1;0;2  thuộc đường thẳng d Do mặt phẳng   chứa đường thẳng d nên

điểm M thuộc mặt phẳng  

Phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M 1;0;2  và có VTPT

n A B C A B C 

có dạng :

Ta có : d  ( ) u n d.    0 B  2A 2C

Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt

phẳng   là:

2

d A

Xét hai trường hợp:

 TH1: C 0 Khi đó

2 2

9 ( , ( )) 9.

A

d A

A

 TH2: C 0 Đặt t A

C

 Khi đó,

2 2

( 1) ( , ( )) 9.

t

d A

  Xét hàm số

2 2

( 1) ( )

t

f t





  , với tR Ta có:  

2 2

'

t

f t

t t



  và

f t     t

t   1 1 

 

'

f t  0  0 

 

'

f t

1

5

2

9

0

1

5

Trang 6

Từ bảng biến thiên, suy ra d A ,    lớn nhất bằng 3 2 khi t 1 Khi đó,

AC B  4A

So sánh TH1 và TH2 ta thấy d A ,    lớn nhất rơi vào trường hợp 2 Do đó, phương

trình mặt phẳng cần tìm là : x 4y   z 3 0

Nhận xét

1 Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng cho các bài toán viết phương trình

mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước:

Bài toán 3.1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

d     và điểm (2;5;3)

A Lập phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng   bằng 9

5

Bài toán 3.2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P :x y z 0 và điểm

 1;2; 1 

A  Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt

phẳng  P và cách điểm A một khoảng bằng 2

2 Trong bài toán này, biểu thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mặc dù có ba

biến là A B C, , nhưng biểu thức trong căn lại có dạng đẳng cấp bậc hai, nhờ phép đổi biến t A

C

 chúng ta thu được hàm số chỉ còn một biến là t Điều này thuận

lợi cho việc khảo sát hàm số Các bài toán tiếp theo trong chuyên đề đều sử dụng được phương pháp này

Ví dụ 4 (ĐH – B 2009) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;0;1  , B 1; 1;3   và

mặt phẳng  P :x 2y 2z  5 0 Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song

với mặt phẳng  P , hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đến

đường thẳng  là nhỏ nhất

Lời giải

Giả sử VTCP của đường thẳng  là u  A B C; : 

Điều kiện: 2 2 2

0

A B C 

Do đường thẳng  song song với mặt phẳng  P nên A 2B 2C   0 A 2B 2C

Ta có: AB  4; 1; 2  

Khi đó,  AB u,      C 2 ;2B A 4 ;4C BA

Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là:

,

d B

u

 

Trang 7

 TH1: C 0 Khi đó,  ,  56

5

d B  

 TH2: C 0 Đặt t B

C

 Khi đó,  

2

,

d B

t t

 

Xét hàm số:  

2

f t



  , với tR

Ta có:  

2

2 2

28 130 132 '

f t



6 7

11 2

t

f t

t







  

  



2

 6

7



 

'

f t  0  0 

 

'

f t

56

5

21

100

9

56

5

Từ bảng biến thiên, suy ra d B  ,  nhỏ nhất bằng 10

3 , đạt được tại

11 2

t   Khi đó, 11

2

B

So sánh hai trường hợp, ta thu được phương trình đường thẳng cần tìm là:



Nhận xét

1 Trong đáp án của Bộ GD – ĐT, bài này được giải bằng phương pháp sử dụng tính

chất hình học: “Độ dài đường xiên không nhỏ hơn độ dài đoạn hình chiếu của nó”

Lời giải tương đối ngắn gọn Tuy nhiên, việc phát hiện ra điều này không hề dễ Hơn

nữa, nếu thay giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là nhỏ nhất”

thành giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là lớn nhất” thì phương

pháp trên sẽ tỏ rõ hiệu quả

Trang 8

Bài toán 4.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;0;1  , B 1; 1;3   và mặt phẳng

 P :x 2y 2z  5 0 Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song với mặt

phẳng  P , hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đến đường

thẳng  là lớn nhất

2 Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng vào bài toán viết phương trình đường

thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài toán 4.2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P :x 2y 3z 4  0 và điểm

 0; 2;0 

M  Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P , đi qua điểm M

sao cho khoảng cách từ điểm N 1;2;3  đến d bằng 14

3

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; 1;2   và hai đường thẳng

1

:

x y z

 , 2

5 :

x y z



Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt  tại điểm B , đồng thời khoảng 1

cách giữa hai đường thẳng d và  là lớn nhất 2

Lời giải

Điểm B thuộc đường thẳng  nên tọa độ điểm B có dạng: 1 B   1 2 ; ;2t t t

VTCP của đường thẳng d là AB    1 2 ;1t  t; t

VTCP của đường thẳng  là 2 u   2; 2;1  

Ta có:  AB u,    1 t;1 4 ; 6  t  t

Lấy điểm C 5;0;0   AC   5;1; 2  

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và  là: 2

 2

d d

  

Xét hàm số

2 2

( 2) ( )

t

f t





  , với tR

Ta có:  

2

2 2

'

f t



và  

2

37

t

f t

t

 





 

 



Trang 9

t 

2

 4

37



 

'

f t  0  0 

 

'

f t

1

53

26

9

0

1

53

Từ bảng biến thiên, suy ra d d  , 2  lớn nhất khi 4

37

t  Khi đó, 29 41; ; 4

37 37 37

AB   



Do đó, phương trình của đường thẳng d:

29

1 41

2 4

x t







  



  



Nhận xét Với bài toán này, phương pháp khảo sát hàm số có lẽ là tối ưu nhất

1.3 Một số bài toán tương tự

Bài 1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

 2; 1;1 

A  , B 1; 1;0   Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho diện tích tam

giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2 1

x y z

 2;1;4 

M Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng  sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ

nhất

Bài 3 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 2 1

x y z

 và mặt phẳng

 P :x 2y  z 1 0 Viết phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng  P ,

đồng thời d cắt trục Ox và đường thẳng  lần lượt tại A và B sao cho AB ngắn nhất

Bài 4 Trong không gian Oxyz , cho điểm M 4;3;1  , đường thẳng : 1 2 3

và mặt phẳng  P :x 2y  z 3 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt 1

phẳng  P , vuông góc với đường thẳng d và cách M một khoảng nhỏ nhất

Trang 10

Bài 5 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  1;2;0  , B 1;2; 5   và đường thẳng

1 2

z t

 





  



Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng  sao cho tổng MA  3MB

nhỏ nhất

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	344,85 KB