PT bac 2 & ung dung

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : ax2+ + =bx c 0 (a≠0)

1/Các dạng PT :

- Dạng : ax2+ =c 0 (a.c <0) PT cĩ hai nghiệm phân biệt : x1 c ,x2 c

(a.c >0) PT vơ nghiệm

- Dạng : ax2+bx=0 PT luơn cĩ hai nghiệm phân biệt

x(ax+b)=0 x1 0,x2 b

a

−

-Dạng :ax2 + + =bx c 0 xét : ∆ = −b2 4ac

* ∆>0 : PT cĩ hai nghiệm phân biệt 1 , 2

* ∆ =0 : PT cĩ nghiệm kép 1 2

2

b

a

−

* ∆< 0 : PT vơ nghiệm

2/ Cơng thức nghiệm thu gọn : PT ax2+ + =bx c 0 (a≠0)

Khi b=2b' '

2

b b

⇒ = xét ∆ =' b'2−ac

*∆'>0 PT cĩ hai nghiệm phân biệt

* ∆ =' 0 PT cĩ nghiệm kép

* ∆'< 0 PT vơ nghiệm

3/ Phương trình bậc hai có tham số m :

Tìm điều kiện của tham số để PT : ax2+ + =bx c 0 Có :

a) Hai nghiệm phân biệt ⇔ a∆ >≠00

 Hoặc

'

0 0

a≠



∆ >



b) Nghiệm kép ⇔ a∆ =≠00

 Hoặc '

0 0

a≠



∆ =



c) Vô nghiệm ⇔a≠0∆ <0



 Hoặc

∆ <

d) Có nghiệm * Xét a = 0 ⇒ PT có nghiệm hay không ?

* Xét a ≠0 và ∆ ≥0

3.1) Tìm giá trị hoặc chứng minh tham số m thoả mãn điều kiện của đề bài :

BT1/ Chứng minh PT : x2−3mx m+ 2− =1 0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m

BT 2/ Tìm giá trị của tham số m để PT sau có nghiệm kép

(m+7)x2−2(m−9)x−7m+ =15 0

BT 3/ Tìm giá trị của tham số m để PT sau vô nghiệm

(m−3)x2−2(3m+1)x+9m− =2 0

BT 4/ Cho PT x2−(2m+3)x m+ 2 =0

a/Xác định m để PT có nghiệm kép

b/Tính nghiệm kép đó

BT 5/ Cho PT : x2−(m+3)x+3m+ =4 0

a/Xác định m để PT có nghiệm kép

b/Tính nghiệm kép đó

BT 6/ Tìm các giá trị của m để các PT sau có nghiệm :

a) (m+1)x2−2x m+ − =1 0

b) (m2−m x) 2+2mx+ =1 0

3.2)Giải và biện luận ( về số nghiệm của PT bậc hai )

BT :1/ Giải và biện luận PT :x2−2(m−2)x m+ 2− =4 0

2/ Giải và biện luận PT :(m−4)x2−2mx m+ − =2 0

3/Giải PT : a) 2x m 2x 2

x+ + x m =

+

b) 3 1 4

2

4/Tìm các giá trị của m để hai PT sau có ít nhất một nghiệm chung :

2 2

8 0 0

3.3) Chứng minh ít nhất một trong những PT bậc 2 đã cho có nghiệm:

2

2

0(1) 0(2)

+ + =

Chứng minh ∆ + ∆ ≥1 2 0

BT : 1/ Chứng minh rằng ít nhất một trong các PT sau có nghiệm :

( ) ( ) ( )

2 2 2

0 3

2/ Cho hai PT :

2

2

0 (1) 0(2)

Chứng minh rằng nếu p p1 2≥2(q1+q2) thì ít nhất một trong hai PT đã cho có nghiệm

4/ Hệ thức Vi et : PT : ax2+ + =bx c 0 (a≠0)

Cĩ nghiệm x x 1, 2 ⇔ ∆ ≥0 hoặc∆ ≥' 0 S x1 x2 b ;P x x1 2 c

−

Không giải PT - T ính : * 2 2 ( )2

x +x = x +x −2x x

* ( ) (2 )2

* ( )2

* 3 3 ( ) ( )2

x +x = x +x  x +x − x x 

BT :Không giải PT tính giá trị của biểu thức nghiệm PT bậc hai

Phương Pháp : * Xét ∆ ≥0 hoặc ∆ ≥' 0 ⇒PT có hai nghiệm x1 , x2

*Tìm tổng S và tích P rôì thay vaò biểu thức

1/ Cho PT x2−6x+ =8 0 :Không giải PT , hãy tính :

12 22 12 22

x +x

2/ Cho PT bậc hai :

a) mx2−6(m−1)x+9(m− =3) 0 Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x thỏa mãn : 1, 2

x1+ =x2 x x1 2

b) x2−(2m+1)x m+ 2+ =2 0 Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x thỏa mãn : 1, 2

3x x1 2−5(x1+x2) 7 0+ =

c)x2+(m−1)x+5m− =6 0 Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x thỏa mãn : 1, 2 4x1+3x2 =1

d) x2−2(m−1)x+2m− =4 0 1) Chứng minh PT có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2

2 2

y x= +x đạt giá trị nhỏ nhất e)mx2−2(m+1)x m+ + =3 0 ;

1) Tìm giá trị của m để PT có nghiệm

2) Tìm giá trị của m để tổng các nghiệm củaPT bằng 6 , khi đó hãy tính nghiệm 3) PT có nghiệm x x Hãy tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với m1, 2

5/ Ứng dụng Hệ thức Vi et :

5.1 - N ếu a+b+c = 0 th ì PT ax2+ + =bx c 0 (a≠0) cĩ hai nghiệm x1 1 , x2 c

a

- Nếu a-b+c = 0 th ì PT ax2+ + =bx c 0 (a≠0) cĩ hai nghi ệm x1 1 ,x2 c

a

−

BT:1/ Tìm m để PT sau có một nghiệm bằng 1 , tìm nghiệm còn lại : x2 −2mx+2m2− − =m 6 0

2/ Tìm m để PT sau có một nghiệm bằng -1 , tìm nghiệm còn lại :x2−2(m+1)x+2m+ =10 0

3/Xác định m và tìm nghiệm còn lại, biết rằng :(m+1)x2−2mx m+ − =5 0 có một nghiệm bằng 2

5.2 - Tìm hai số u và v , biết tổng của chúng S = u+v và tích của chúng bằng P= uv

Thì u , v là hai nghiệm của PT : x2−Sx P+ =0

BT : 1/Tìm hai số m , n trong mỗi trường hợp sau :

a) m+n = 29 và mn = 198 b) m – n = -2 và mn = 80 c) m2+n2 =13 và mn = 6

2/ Lập PT bậc hai biết các nghiệm :

a) x1 =3;x2 =2 b) 1 1 ; 2 3

4

3/Cho PT bậc 2 :x2−2x m− 2 =0 có các nghiệm x x Lập PT bâc 2 có các nghiệm 1, 2 y y sao 1, 2

cho: y1= −x1 3 , y2 = −x2 3

5.3 Xét dấu hai nghiệm x x của PT bậc hai 1, 2 ax2+ + =bx c 0 (a≠0)

a) Hai nghiệm trái dấu : x x < 0 1 2 ⇔ a

c < 0

b) Hai nghiệm cùng dấu : x x > 0 1 2

0 0

a c

∆ ≥





⇔  >



c) Hai nghiệm cùng dương :⇔

0

b a

c a

∆ ≥



− >



 >



d) Hai nghiệm cùng âm

0

b a

c a

∆ ≥





⇔ − <

 >



BT :1/Cho PT :x2−(2m−3)x m+ 2−2m+ =2 0 Định m để PT có hai nghiệm phân biệt đều âm 2/Cho PT :x2−(m−2)x−2m=0

a) Chứng minh rằng PT luôn có nghiệm x x với mọi m1, 2

b) Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dương

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x x độc lập đối với m1, 2

3/Cho PT :3x2−10x m+ =0 Tìm m sao cho PT :

a) Có 2 nghiệm dương b) Có 2 nghiệm trái dấu

c) Có một nghiệm bằng 0 Tính nghiệm còn lại d) Vô nghiệm

6/Phương trình thu về PT bậc hai :

6.1 Dạng :ax2n+bx n+ =c 0 (1) Cách giải đặt X =x n (chú ý điều kiện nếu có)

(1) ⇔aX2 +bX c+ =0(2)

Trường hợp n chẵn

Pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔pt(1) có 4 nghiệm phân biệt

Pt (2) có 1nghiệm =0 và 1nghiệm dương ⇔ pt(1) có 3 nghiệm phân biệt

Pt (2) có nghiệm kép nghiệm dương hoặc 2nghiệm trái dấu ⇔ pt(1) có 2nghiệm phân biệt

Pt (2) có 2nghiệm âm hoặc vô nghiệm ⇔ pt(1) vô nghiệm

BT Giải các PT sau : a) x4−8x2 − =9 0 b) 36t4−13t2+ =1 0

6.2 Dạng ax b x c+ + =0 (2) đặt X = x (X ≥ 0)

(2) ⇔aX2+bX c+ =0

BT Giải các PT sau : a) 2 7

4

x− x+ = b) x− 4x−19 4=

6.3 Dạng (ax2+ +bx c ax)( 2+ +bx p)=m Đặt X =ax2+bx đưa về PT bậc hai

BT Giải các PT sau : a)(x2+5x+4)(x2+5x+ =6) 24 b)(x−3)(x−2)(x+3)(x+ =4) 7 6.4 Dạng PT chứa ẩn ở mẫu

BT Giải các PT sau :

1/ 1 1 22 1

1

2/ 2 2 22