Để có thể giúp bạn đọc có thể lập trình cho các bài toán tính toán trong đại số tuyến tính, khi chứng minh các định lý chúng tôi luôn cố gắng đa vào các tính toán đại số và trình bày dới
Trang 1Trần văn minh
Đại số
tuyến tính
Tài liệu toán A1 dùng cho cán bộ, sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế
in lần thú ba
nhà xuất bản giao thông vận tải
hà nội- 2004
Đại số tuyến tính là môn toán cơ sở có cấu trúc chặt chẽ và có nhiều ứng dụng cho các ngành kỹ thuật và kinh tế Tuy nhiên do tính trừu tợng của nó khi học môn này sinh viên các ngành kỹ thuật
và kinh tế còn gặp nhiều khó khăn
Để phù hợp cho việc học tập của sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế, trong tài liệu này chúng tôi trình bày với những hớng cơ bản sau:
1 Giữ đợc cấu trúc đại số chặt chẽ của môn đại số tuyến tính
2 Các khái niệm đợc nâng dần từ trực quan để bạn đọc dễ dàng tiếp cận với tính trừu tợng của môn học Các ví dụ minh hoạ đợc đa nhiều dới dạng tính toán để giúp các bạn dễ hiểu
3 Để có thể giúp bạn đọc có thể lập trình cho các bài toán tính toán trong đại số tuyến tính, khi chứng minh các định lý chúng tôi luôn cố gắng đa vào các tính toán đại số và trình bày dới dạng thuật toán các chứng minh đó
Ngoài ra chúng tôi đa vào một phụ lục tổng hợp một số đề kiểm tra hết môn học trong những năm gần đây của trờng Đại học Giao Thông Vận Tải Hà Nội để các bạn tham khảo, trên cơ sở đó giúp các bạn hiểu đợc nội dung môn học và dễ dàng làm các bài tập
Trang 2Chúng tôi xin chân thành cám ơn các sinh viên của trờng đại học Giao Thông Vận Tải Hà Nội đã
có những đóng góp quý báu cho lần tái bản này đợc tốt hơn
Cuốn sách chắc không tránh khỏi còn những thiếu sót Chúng tôi mong nhận đợc những ý kiến
đóng góp quý báu của bạn đọc để lần xuất bản sau đợc hoàn thiện hơn Th góp ý xin gửi về Bộ Môn Toán Trờng Đại Học Giao Thông Vận Tải Hà Nội
Tác giả
Chơng 1
Mở đầu về một số cấu trúc đại số
1.1 Tập hợp
1 Khái niệm về tập hợp
Cũng nh các khái niệm về điểm và đờng thẳng trong hình học, tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản không định nghĩa Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tợng có thể liệt kê ra đợc hoặc có cùng một tính chất chung nào đó
Các đối tợng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp
Một tập hợp thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: A,B,C Còn các phần tử của tập hợp th-ờng đợc ký hiệu bằng các chữ in thth-ờng: a,b, ,x,y,z Nếu x là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu x∈X, còn x không là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu x∉X
Tập A gồm các phần tử x có tính chất p ký hiệu
A={x| p(x)} hay A={x:p(x)}
Ví dụ 1.1:
a Gọi A là tập các chữ số ảrập: A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b N là tập các số tự nhiên: N={0,1,2, ,n, }
c Z là tập các số nguyên: Z={0,+1,-1,+2,-2, }
d Q là tập các số hữu tỉ: Q={
q
p
| p,q ∈Z;q≠0}
Ví dụ 1.2:
a Pn(t)={x(t)=a0+a1t+ +antn| ai∈R} là tập các đa thức bậc không lớn hơn n với các hệ số thực
b C[a,b]={x(t)| x(t) liên tục trên [a,b]}
2 Tập con của một tập hợp
Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập X thì ta nói A là tập con của X và ký hiệu:
A⊂X Hai tập X, Y đợc gọi là bằng nhau nếu X⊂Y và Y⊂X, ký hiệu X=Y Một tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu ∅
Ta thấy: A⊂ N ⊂ Z ⊂ Q và Pn(t) ⊂ C[a,b]
Ví dụ 1.3: A={x| x2+1=0,x∈R}=∅
3 Các phép toán trên tập hợp
a Phép hợp
Ta gọi hợp của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu A∪B, gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A hoặc B
A∪B ={x| x∈A hoặc x∈B} (1_1)
b Phép giao
Giao của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu A∩B, gồm các phần tử thuộc đồng thời cả A và B
A∩B ={x| x∈A và x∈B} (1_2)
Trang 3c Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của A và B là tập hợp, ký hiệu A\B, gồm các phần tử thuộc A nhng không thuộc B
A\B={x| x∈A, x∉B} (1_3)
d Phần bù
Nếu A⊂X thì X\A gọi là phần bù của A trong X, ký hiệu CxA
Chú ý: Các phép toán hợp và giao có thể suy cho một số tuỳ ý các tập hợp.
e Các tính chất
Các phép toán của tập hợp có các tính chất sau:
1 Giao hoán A∪B = B∪A , A∩B= B∩A
2 Kết hợp (A∪B)∪C= A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
3 Phân phối A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
4 Công thức De Morgan
X\ (A∪B)=(X\A) ∩(X\B) X\ (A∩B)=(X\A)∪(X\B) công thức De Morgan đúng cho một họ tuỳ ý các tập hợp
Hợp Giao
Hiệu Phần bù
f Tích Đề các của các tập hợp
Định nghĩa 1.1: Cho hai tập X,Y ta gọi tích Đề các của X và Y là tập hợp, ký hiệu XìY gồm các phần tử sắp thứ tự (x,y) sao cho x∈X, y∈Y Nh vậy:
XìY ={(x,y) | x∈X, y∈Y} (1_4)
Mở rộng cho tích Đề các của n tập hợp ta có:
X1ì X2ì ìXn ={(x1,x2, ,xn) | xi∈Xi (i= n1 )},
Khi X1= X2= = Xn= X ký hiệu:
Xn= Xì Xì ìX (Tích n lần X)
Hai phần tử bằng nhau:
Cho (x1,x2, ,xn), (x’1,x’2, ,x’n)∈ X1ì X2ì ìXn
Ta định nghĩa:
(x1,x2, ,xn)= (x’1,x’2, ,x’n)⇔ xi=x’i (i= n1 ) ,
Ví dụ 1.4:
a Cho X={0,1}, khi đó:
X2=XìX={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
Trang 4b. Rn={(x1,x2, ,xn)|xi∈R (i= n1 ) },
1.2 ánh xạ
1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.2: Cho hai tập X,Y, một ánh xạ f từ X vào Y là một quy luật cho ứng mỗi phần tử
x∈X với một phần tử y=f(x) ∈Y xác định trên Y Ký hiệu:
f: X→Y (1_5) y=f(x) gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f X gọi là tập nguồn hay miền xác định của f Với
A⊂X tập:
f(A)={f(x)∈Y| x∈A}
gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f Khi đó tập f(X) gọi là miền giá trị của f
Với B⊂Y tập:
f -1(B)={x∈X| f(x)∈B}
gọi là nghịch ảnh của tập B
Tập {(x,f(x)|x∈X}⊂ XìY gọi là đồ thị của f
2 Đơn ánh, Toàn ánh, Song ánh
Định nghĩa 1.3: ánh xạ f: X→Y
- Gọi là đơn ánh nếu từ f(x1)=f(x2) suy ra x1=x2
- Gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y
- Gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh
Ví dụ 1.5:
(i) f: N→N : f(n)=2n+1 là một đơn ánh
(ii) f: R→R+ : f(x)=x2 là toàn ánh nhng không là đơn ánh
(iii) I x : X → X, I x (x)=x là một song ánh trên X và gọi là ánh xạ đồng nhất.
3 Tích các ánh xạ
Định nghĩa 1.4: Cho f: X→Y và g: Y→Z là hai ánh xạ, khi
đó h: X→Z đợc xác định bởi h(x)=g(f(x)) đợc gọi là tích của hai ánh xạ f và g và viết h=gof
Định lý 1: Cho hai ánh xạ: f: X→Y và g: Y→Z, khi đó:
a Nếu h=gof là đơn ánh thì f là đơn ánh
b Nếu h=gof là toàn ánh thì g là toàn ánh
Chứng minh:
a f(x1)=f(x2)⇒ g(f(x1))=g(f(x2)) ⇒h(x1)=h(x2), nhng do h là đơn ánh nên x1=x2 , do đó f là đơn
ánh
b Ta có f(X)⊆Y, do h là toàn ánh nên:
Z=h(X)=g(f(X)) ⊆g(Y) ⊆Z
Vậy g(Y)=Z hay g là toàn ánh
4 ánh xạ ngợc và điều kiện tồn tại
Định lý 2: Nếu f: X→Y là một song ánh thì tồn tại duy nhất một ánh xạ g: Y→X sao cho gof
=Ix và fog= Iy Khi đó g đợc gọi là ánh xạ ngợc của f, ký hiệu g=f -1 và ngợc lại f là ánh xạ ngợc của
g
Chứng minh: Vì f là toàn ánh nên với mỗi y∈Y tồn tại x∈X sao cho y=f(x), do f là đơn ánh nên mỗi x ứng với mỗi y trên là duy nhất Do vậy ta xác định đợc duy nhất ánh xạ g: Y→X mà g(y)=x sao cho f(x)=y Hiển nhiên
f(g(y))=f(x)=y= Iy
Và
g(f(x))=g(y)=x= Ix
1.3 Sơ lợc về logic mệnh đề
Trang 51 Mệnh đề
Mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, nhng không đồng thời vừa đúng vừa sai
Ta thờng dùng các chữ cái a,b,c, để chỉ các mệnh đề.…
Ví dụ 1.6:
a= Các điểm trên đờng tròn cách đều tâm
b= Các điểm trên Elip cách đều gốc toạ độ
Ta thấy a là mệnh đề đúng, còn b là mệnh đề sai
Nếu p là mệnh đề đúng ta nói p có giá trị đúng, nếu q là mệnh đề sai ta nói q có giá trị sai Thay cho đúng và sai ta quy ớc giá trị của mệnh đề đúng bằng 1, giá trị của mệnh đề sai bằng 0
Mệnh đề có giá trị thay đổi gọi là các biến mệnh đề Nh vậy một biến mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị hoặc 1 hoặc 0
Ví dụ 1.7:
p= Tam giác ABC có hai góc bằng nhau Khi đó:
P=
can giac tam la khong ABC
can giac tam la ABC
0 1
2 Các phép toán logic
a Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề, ký hiệu ┐p, với:
khi p khi p
=
=
c Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu p∨q, với:
p∨q
lai con hop truong cac
q va p
khi
1
0 0
0
c Phép hội
Hội của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu p∧q, với:
p ∧q =
lai con hop truong cac
q va p khi
0
1 1
1
d Phép kéo theo
Mệnh đề “p kéo theo q” là mệnh đề, ký hiệu p⇒ q, với:
p⇒q=
lai con hop truong cac
q va p
khi
1
0 1
0
e Phép tơng đơng
Mệnh đề “p tơng đơng q”, ký hiệu p⇔q, có nghĩa: p⇒q ∧ q⇒p
3 Các lợng từ với mọi và tồn tại
a Hàm mệnh đề
Cho một tập X, một ánh xạ P:X→{0,1} đợc gọi là một hàm mệnh đề xác định trên tập X Ký hiệu p=p(x) Nh vậy ứng với mỗi x∈X xác định một mệnh đề p(x)
Ví dụ 1.8: P(x):R →{0,1}: x2-2x+1=0 Khi đó:
p=
≠
=
1 0
1 1
x khi
x khi
Ví dụ 1.9: Các phép toán lôgíc là các hàm mệnh đề sau:
Phép phủ định là hàm: P:{0,1}→{0,1} với P(0)=1, P(1)=0
Các phép tuyển, hội, kéo theo, tơng đơng, tơng ứng là các ánh xạ từ X2={0,1}2→{0,1} đợc cho bởi bảng sau:
x y x∨y x∧y x⇒y x⇔y
0 0 0 0 1 1
Trang 60 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1
b Miền đúng của hàm mệnh đề
Ta gọi tập Ep(x)={x∈X| p(x)=1} là miền đúng của hàm mệnh đề p(x) Hai hàm mệnh đề p(x) và q(x) cùng xác định trên X đợc gọi là tơng đơng nếu Ep(x)=Eq(x) , ký hiệu: p(x)≡q(x)
Ví dụ 1.10: P(x)= x2-3x+2≤ 0, khi đó Ep(x)=[1,2]
c Lợng từ
Cho T(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X Khi đó:
(i) Mệnh đề (∀x∈X) T(x) (đọc là với mọi x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x)=X và đợc gọi là lợng từ phổ biến
(ii) Mệnh đề (∃x∈X) T(x) (đọc là tồn tại x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x)≠∅ và gọi là lợng từ tồn tại
Ví dụ 1.11:
a=(∀x∈[1,2] ): x2- 3x+2≤0
b=(∃x∈ R): x2- 3x+2≥0
là các mệnh đề đúng
d Phủ định của các lợng từ
┐(∀x∈X) T(x)= (∃x∈X) ┐T(x)
┐(∃ x∈X) T(x)=(∀x∈X) ┐T(x)
1.4 Quan hệ
1 Quan hệ
Định nghĩa 1.5: Cho tập X, ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X nếu R⊂ XìX Với x,y∈X ta nói x có quan hệ với y nếu (x,y)∈R và viết xRy
Định nghĩa 1.6: Ta nói quan hệ hai ngôi R trên X:
(i) Có tính phản xạ nếu ∀x∈X, ta đều có xRx.
(ii) Có tính đối xứng nếu x,y∈X mà xRy thì yRx
(iii) Có tính bắc cầu nếu xRy và yRz thì xRz
(iv) Có tính phản đối xứng nếu với x,y mà đồng thời có
xRy và yRx thì x=y
Ví dụ 1.12: Trên tập các số nguyên dơng Z+, xét quan hệ R nh sau: xRy ⇔xy ( x chia hết cho y)
Ta thấy R là quan hệ có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản xứng nhng không có tính đối xứng
2 Quan hệ tơng đơng
Định nghĩa 1.7: Một quan hệ hai ngôi R trên X đợc gọi là quan hệ tơng đơng nếu R có tính phản xạ ,đối xứng và bắc cầu Nếu R là quan hệ tơng đơng và xRy thì ký hiệu x∼y Nh vậy một quan hệ
là tơng đơng thì:
+ x∼x ∀x∈X
+ x∼y ⇔ y∼x
+ x∼y, y∼z ⇒x∼z
Ví dụ 1.13: Trên tập Z các số nguyên, n là một số nguyên dơng xét quan hệ: xRy⇔x-y chia hết cho n Ta thấy quan hệ này là quan hệ tơng đơng và gọi là quan hệ đồng d modulo n trên Z Nếu
x∼y ta ký hiệu x≡y(mod n)
3 Quan hệ thứ tự
Trang 7Định nghĩa 1.8: Một quan hệ hai ngôi trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự nếu R có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Nếu R là quan hệ thứ tự và xRy thì ký hiệu x≤y, nh vậy một quan hệ là quan hệ thứ tự thì:
+ x≤x ∀x∈X
+ Nếu x≤y, y≤x thì x=y
+ x≤y, y≤z ⇒ x≤z
Nếu quan hệ thứ tự thoả mãn điều kiện: ∀x,y∈X hoặc x≤y hoặc y≤x thì ta gọi nó là quan hệ thứ
tự toàn phần hay X là tập đợc sắp thứ tự toàn phần
Ví dụ 1.14: Các tập N, Z,và tập Q các số hữu tỷ với quan hệ ≤ là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần
1.5 Trờng số phức
1 Trờng số hữu tỷ Q và trờng số thực R
Tập số thực R và tập các số hữu tỷ Q với phép cộng và phép nhân hai số có tính chất sau, gọi là tính chất trờng:
Tính chất trờng: Với bất kỳ hai số a, b có duy nhất số a+b gọi là tổng của chúng, và có duy nhất
số ab gọi là tích của chúng Hơn nữa các mệnh đề sau đây là đúng:
(i) Luật giao hoán:
a+b=b+a, ab=ba (ii) Luật kết hợp
(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) (iii) Luật phân bố
a(b+c)=ab+ac (iv) Tồn tại phần tử không: Tồn tại duy nhất số 0 có tính chất, với mọi số x:
x+0=0+x=x
Ta gọi số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng
(v) Tồn tại phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất số 1 có tính chất, với mọi số x:
1.x=x
Ta gọi số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân
(vi) Tồn tại số đối: Với mỗi số x, có duy nhất số –x, với tính chất: x+(-x)=0 (vii) Tồn tại số nghịch đảo: Với mỗi số x khác 0, có duy nhất số
x
1 , gọi là nghịch đảo của x, có tính chất:
x
x
1
=1
Do tính chất trờng, ta nói tập số thực R và tập các số hữu tỷ Q với phép cộng (+) và nhân (ì) tạo thành một trờng, gọi là trờng số thực R và trờng số hữu tỷ Q, ký hiệu R(+,ì) và (Q,+,ì)
Vì Q,R là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần nên ta cũng nói trờng hữu tỷ (Q,+,ì) và trờng số thực R(+,ì) là trờng sắp thứ tự
2 Số phức
Phơng trình:
x2+1=0 hay x2=-1 (1_6) Không có nghiệm trong trờng số thực (R,+ ,ì) vì vậy cần mở rộng trờng số thực thành một trờng rộng hơn để phơng trình trên có nghiệm, hay trên trờng đó có thể lấy căn bậc chẵn một số âm
Theo gợi ý của phép khai căn, ngời ta đa vào một ký hiệu mới i, để trong trờng đợc mở rộng i2
=-1 Ký hiệu mới i là một số mới, gọi là đơn vị ảo (còn số 1 gọi là đơn vị thực), khi đó phơng trình (1_6) có hai nghiệm: x=i và x=-i
Nếu xét phơng trình
(x-a) 2 +b2=0 hay (x-a) 2 =-b2
khi đó nghiệm của phơng trình trên trờng mới có dạng:
x=a+bi và x=a-bi
Trang 8Các số dạng z=a+ib trong đó a,b là các số thực, gọi là các số phức dạng chuẩn tắc, a gọi là phần thực, ký hiệu a=Rez, b gọi là phần ảo, ký hiệu b=Imz
Ký hiệu C là tập các số phức:
C={z=a+iba,b∈R} (1_7)
3 Các phép toán trên tập số phức
a Tổng và tích hai số phức
Định nghĩa 1.12: Với z=a+ib, w=c+id∈C ta gọi:
(i) Tổng:
z+w= (a+b)+i(c+d) (1_8) (ii) Tích:
z.w=(a+ib).(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc) (1_9)
Dễ dàng kiểm tra phép cộng, và nhân các số phức có tính giao hoán, kết hợp, và phép nhân phân phối với phép cộng
Chú ý:
1 Mỗi phần tử a∈R đợc xem là phần tử a+i.0∈C nên R là một tập con của C
Do đó phần tử 0=0+0i cũng là phần tử không của C
2 Hai số phức bằng nhau
a+ib=c+id ⇔ a=c và b=d
3 Đơn vị ảo i=0+i, số thuần ảo ib=0+ib
4 Hiển nhiên ta có
i2=(0+i)(0+i)=-1
5 Với mọi số thực λ và z=a+ib thì
λz=λa+i λb
Do đó với mỗi số phức z=a+ib thì 1.z=1(a+ib)=z, hay số 1 cũng là phần tử đơn vị của phép nhân
6 Hiệu hai số phức
Ta định nghĩa:
z-w=z+(-1).w=(a-c)+i(b-d)
Do đó với mỗi số phức z=a+ib thì phần tử đối –z=-a-ib
c Số phức liên hợp
Nếu z=a+ib thì số phức z =a-ib gọi là số phức liên hợp của z.
Hiển nhiên ta có:
+ z w z w+ = +
+ z w z w =
+ z z =(a+ib).(a-ib)= a2+b2 (1_10)
là một số thực dơng
+ z+ z =(a+ib)+(a-ib)=2a=2Rez
+ z - z =(a+ib)-(a-ib)=2ib=2i Imz
d Phép chia số phức
Cho z=a+ib, w=c+id với (a,b)≠(0,0), khi đó ta có:
1
1
b a
ib a z z
z ib
a
−
=
= +
b a
b i b a
a
+
− +
=
Do đó:
( 2)( 2 ) 2 2 2 2
b a
bc ad i b a
bd ac b
a
ib a id c z
z
z
w
z
w
+
− + +
+
= +
− +
=
Ví dụ 1.5: Tính:
i
i i
2
1
) 2 1
)(
3
2
(
+
−
+
−
=
i
i
2 1
8
+
−
+
=
5
) 2 1 )(
8 ( +i − − i
5
17 5
6
−
−
Định lý 3: Tập C các số phức với phép cộng (1_8) và phép nhân (1_9) là một trờng, gọi là trờng
số phức
Chứng minh:
Trang 9Thật vậy theo trên ta có:
+ Phép cộng, và nhân các số phức có tính giao hoán, kết hợp, và phép nhân phân phối với phép cộng
+ Phép cộng có phần tử không là số 0, phần tử đối của z=a+ib là -z=-a-ib
+ Phép nhân co phần tử đơn vị là số 1 và z=a+ib≠0 thì phần tử nghịch đảo là:
2 2 2 2
1
b a
b i b a
a
z = + − +
Vậy (C,+,.) là một trờng
Chú ý: Ta thấy việc thực hiện các phép toán cơ bản trên trờng số phức cũng giống nh thực hiện
các biểu thức số học với chú ý: i2=-1
4 Biểu diễn hình học của số phức
Ta thấy giữa số phức z=a+ib và cặp số thực (a,b) có tơng ứng một-một, nên ta có thể biểu diễn tập
C các số phức bởi:
C={z=(a,b)a,b∈R} (1_12) Z=(a,b) gọi là dạng đại số của z=a+ib
Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy trong mặt phẳng Theo (1_12), mỗi số phức z=(a,b) đợc biểu diễn tơng ứng bởi một điểm M(a,b), hay biểu diễn của tập các số phức chính là mặt phẳng tọa
độ nên ta gọi mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng phức
Các số thực a=(a,0) đợc biểu diễn trên trục thực Ox Các số ảo ib=(0,b) đợc biểu diễn trên trục ảo
Oy Nh vậy a,b đợc xem nh toạ độ của số phức (a,b) trên các trục toạ độ Khi đó điểm gốc toạ độ O
biểu diễn số phức (0,0) Hai số phức z(a,b) và z (a,-b) đối xứng qua Ox.
Giả sử cho z=(a,b) tơng ứng với M(a,b), w=(c,d) tơng ứng với N(c,d) Lập các véc tơ OM → =(a,b)
và ON → =(c,d) khi đó ta có:
z+w= OQ OM ON → = → + →
Và với số thực λ ta có:
λz= λ(a,b)= λ OM →
Nh vậy cộng các số phức tơng ứng với cộng các véc tơ với điểm gốc O và điểm ngọn là điểm biểu diễn của số phức trên mặt phẳng, nhân một số thực với một số phức là nhân số thực đó với véc tơ biểu diễn số phức
y
b z=(a,b)
r
ϕ x
O a
z =(a,-b)
Hình 1
5 Dạng lợng giác của số phức
a Môdun và acgumen của số phức
Giả sử z=a+ib và M(a,b) là điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng Nếu (a,b) ≠(0,0) khi đó véc tơ
OM → =(a,b) đợc xác định bởi các yếu tố sau:
(i) Độ dài:
r= |OM → |= a2 +b2 (1_13)
Đó là một số thực dơng Độ dài r đợc gọi là môdun của số phức z và đợc ký hiệu bởi | z |
(ii) Góc định hớng
ϕ=(Ox, OM → ) (1_14)
Trang 10tạo bởi tia Ox và OM → Góc ϕ đợc xác định sai kém nhau một bội nguyên của 2π và đợc gọi là acgumen của số phức z, ký hiệu bởi Arg(z) Nếu 0≤ ϕ≤2π ta ký hiệu ϕ=arg(z) và gọi là phần chính
của acgumen
Hiển nhiên | z | có các tính chất:
(i) | z |≥0 ∀z∈C và | z |=0 ⇔z=(0,0)
(ii) | z+w |≤| z | + | w | (∀z,w∈C)
(iii) | k.z | = | k || z | (∀k∈R,z∈C)
(iv) || z |- | w ||≤| z - w| (∀z,w∈C)
(v) | z | = | z | (∀z∈C)
Ví dụ 1.16: Với z=x+iy, tìm biểu diễn hình học của tập các số phức: | z - 1|2 -2z2+4xyi=5
Ta có
| z - 1|2-2z2+4xyi=|(x-1)+yi|2-2(x+yi)2+4xyi=5
(x-1)2+y2-2(x2+2xyi-y2)+4xyi=3y2-x2-2x-1+2=5
3y2-(x+1)2=3
Hay:
y2 -
3
) 1 (x+ 2
=1
Đó là phơng trình của một hypebol
b Dạng lợng giác của số phức
Cho z=a+ib với (a,b) ≠ (0,0) ta có:
cosϕ = a
a2 +b2 , sinϕ =
b
a2 +b2 (1_15)
Khi đó có thể viết:
z =(a+ib)=
+
+ +
+
2 2 2
2 2 2
b a
b i b a
a b
a
= a2 +b2 (cosϕ+i sinϕ) (1_16)
= | z | (cosϕ+isinϕ) (1_17)
gọi là dạng lợng giác của số phức
Chú ý: Từ (1_15) ta có
a
b
tgϕ = với sinϕ cùng dấu với b
Ví dụ 1.17:
z=1+i 3 = + 2
3 2
1
2 i =2 (cosπ
3+i sin
π
3)
6 Luỹ thừa bậc n của số phức
Giả sử dới dạng lợng giác ta có:
z = | z | (cosϕ +i sinϕ), y= | y | (cosψ +i sinψ)
Khi đó:
z.y= | z |.( cosϕ +i sinϕ) | y | (cosψ+i sinψ)
= | z || y | [(cosϕ cosψ-sinϕ sinψ)+i(sinϕcosψ+cosϕ sinψ)]
= | z || y | [ cos(ϕ+ψ) + i sin(ϕ +ψ)] (1_18)
z y z
y
= [ cos(ϕ-ψ) + i sin(ϕ -ψ)] (1_19)
Trong (1_18) thay y bởi z ta có:
z.z=z2= | z |2 [ cos(2ϕ) + i sin(2ϕ)]
Do đó ta có công thức tính luỹ thừa bậc n của số phức:
zn =( | z | [ cosϕ + i sinϕ])n= | z |n[ cosnϕ + i sinnϕ] (1-20)