Tài liệu Giáo Trình Đại Số Tưyến Tính pptx

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùnglàm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua cáckhái niệm đơn giản hơn.. 1.2 Định nghĩa: Luật hợ

bài giảng

đại số tuyến tính

Chương 0

tập hợp và ánh xạ

Bài 1: tập hợp

I Khái niệm tập hợp.

1.1 Định nghĩa Thuật ngữ ”tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học Ta thường

nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập nghiệm củamột phương trình, Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùnglàm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua cáckhái niệm đơn giản hơn Ta có thể hình dung tất cả những đối tượng xác định nào

đó hợp lại tạo thành một tập hợp

Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó Chẳn hạn, khi nói

về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là học sinh củalớp học đó, khi nói về tập hợp các số nguyên thì các đối tượng của tập hợp là các sốnguyên

Mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp Để chỉ a là một phần tử của tập A ta viết a ∈ A(đọc là a thuộc A) Viết a / ∈ A(đọc là a không thuộc A) nghĩa là a không là phần tử của tập A.

Ví dụ: ở chương trình toán phổ thông ta đã biết các tập hợp sau

a) Tập hợp N các số tự nhiên

b) Tập hợp Z các số nguyên

c) Tập hợp Q các số hữu tỉ

d) Tập hợp R các số thực

1.2 Cách mô tả tập hợp Muốn mô tả một tập hợp ta phải làm đủ rõ để khi cho

ta một phần tử ta biết được nó có thuộc tập hợp đã cho hay không Thường có haicách

1) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp

2) Mô tả tính chất của tập hợp

1.3 Tập rỗng Là tập hợp không có phần tử nào và được ký hiệu là ∅

II Sự bằng nhau của hai tập hợp.

III Các phép toán trên tập hợp.

3.1 Phép hợp Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc một trong hai tập A hoặc B, ký hiệu là A ∩ B.

3.3 Phép hiệu Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc

A nhưng không thuộc B Ký hiệu là A|B Vậy

A|B = {x|x ∈ A và x / ∈ B}

Nếu B là con của A thì A|B được gọi là phần bù của B trong A.

3.4 Tích đề các Tích đề các của hai tập hợp A và B là tập tất cả các cặp (a, b), trong đó a ∈ A, b ∈ B Ký hiệu là A × B Vậy

Bài 2: ánh xạ

I Các khái niệm cơ bản

1.1 Định nghĩa Cho X và Y là các tập khác rỗng Một ánh xạ từ tập X vào tập

Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một phần tử xác định

duy nhất y của tập Y Khi đó phần tử y được gọi là ảnh của của phần tử x qua ánh

xạ đã cho

Thông thường, ánh xạ được ký hiệu bằng một chữ Thuật ngữ "ánh xạ f từ X vào

Y mà phần tử x được đặt tương ứng với ảnh y = f (x)” được ký hiệu như sau

1.2 Định nghĩa Hai ánh xạ f : X −→ Y và f1 : X1 −→ Y1 được gọi là bằng nhau

nếu X = X1, Y = Y1 và với mọi x ∈ X, f (x) = f1(x).

Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ Tập hợp

f (X) = {f (x)|x ∈ X}

được gọi là ảnh của ánh xạ f và được ký hiệu là Imf

Nếu A là tập con của X thì tập

được gọi là nghịch ảnh của B

1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.

Đơn ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi y ∈ Y, tập f−1(y)

có không quá một phần tử Như vậy, f là đơn ánh khi và chỉ khi

∀x , x ∈ X, f (x ) = f (x ) ⇒ x = x

x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)

Toàn ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là toàn ánh ếu với mọi y ∈ Y, tập hợp

f−1(y) 6= ∅ Tức là ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f (x) = y.

Như vậy f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = Y.

Song ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là nếu f đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh Như vậy f là song ánh nếu và chỉ nếu

với mỗi y ∈ Y, ∃!x ∈ X : f (x) = y.

Câu hỏi: Trong các ánh xạ f, g, k, m, n ở trên ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh,

song ánh?

II Tích các ánh xạ.

2.1 Định nghĩa Cho hai ánh xạ f : X −→ Y, g : Y −→ Z Tích của hai ánh xạ f

và g là ánh xạ h : x −→ Z được định nghĩa theo quy tắc sau

a) Nếu f và g là đơn ánh thì g of là đơn ánh.

b) Nếu f và g là toàn ánh thì g of là toàn ánh.

c) Nếu f và g là song ánh thì g of là song ánh.

III ánh xạ ngược.

3.1 Định nghĩa Cho f : X −→ Y là song ánh Với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất một

phần tử x sao cho f (x) = y.ánh xạ f−1 : Y −→ X đặt tương ứng mỗi phần tử y với nghịch ảnh x của nó bởi f được gọi là ánh xạ ngược của f Như vậy ta có

3.3 Định lý Cho ánh xạ f : X −→ Y Nếu tồn tại ánh xạ g : Y −→ X sao cho

gof = 1X , fog = 1Y thì f là song ánh và g = f−1

3.4 Định lý Nếu f : X −→ Y, g : Y −→ Z là song ánh thì g of là song ánh và

(g of )−1 = f−1g−1.

Bài 4: Cho hai tập E và F và ánh xạ f : E −→ F

A và B là hai tập con của A Chứng minh

Chương I

Cấu trúc đại số - số phức

I Khái niệm luật hợp thành trong.

1.2 Định nghĩa: Luật hợp thành trong trên tập E, hay phép toán trên E, là một

quy luật khi tác động lên hai phần tử a và b của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử cũng của E.

Theo nghĩa ánh xạ, luật hợp thành trong trên tập E là một ánh xạ từ E tới E.

1.2 Tính chất của một luật hợp thành trong.

Một luật hợp thành trong (∗) trên tập E có thể có một số tính chất sau đây.

1 Tính kết hợp Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính kết hợp nếu

∀a, b, c ∈ E : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có tính kết hợp.

2 Tính giao hoán: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính giao hoán nếu

∀a, b : a ∗ b = b ∗ a.

Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có tính giao hoán.

3) Phần tử trung hòa: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính trung hòa là e nếu e ∈ E và

∀a ∈ E : a ∗ e = e ∗ a = a.

Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N, Z, Q, R có phần tử trung hòa là 0 4) Phần tử đối xứng: Phần tứ a0 ∈ E được gọi là phần tử đối của a ∈ E nếu

a ∗ a0= a0∗ a = e.

Vd: Đối với phép cộng trên tập hợp Z, Q, R, mọi phần tử a đều có phần tử đối là −a.

1.3 Khái niệm về cấu trúc đại số Một tập có trang bị một hay nhiều luật hợp

thành trong với những tính chất xác định tạo thành một trong nhãng đối tượng toánhọc được gọi là cấu trúc đại số

Sau đây ta sẽ nghiên cứu các cấu trúc nhóm, vành, trường và đặc biệt là trường sốphức

Bài 2: các cấu trúc đại số

I Cấu trúc Nhóm.

1.1 Định nghĩa: Một tập G không rỗng được trang bị một luật hợp thành trong (∗)

được ký hiệu là (G, ∗) Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn ba tính chất

sau

1) Phép toán (∗) có tính kết hợp

2) Phép toán (∗) có phần tử trung hòa e.

3) Mội phần tử của G đều có phần tử đối.

Ba tính chất trên được gọi là ba tiên đề của nhóm

Nếu có thêm tính chất thứ tư : Phép toán (∗) có tính giao hoán thì nhóm (G, ∗) được

gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel

Ví dụ: Các cặp (Z, +), (Q, +), (R, +) là những nhóm giao hoán.

1.2 Một số tính chất của nhóm.

Ta có các tính chất sau đây:

1) Phần tử trung hòa e là duy nhất.

2) Phần tử đối của một phần tử a bất kỳ là duy nhất.

3) Có quy tắc giản ước a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y.

II Cấu trúc vành.

2.1 Định nghĩa: Tập A khác rỗng được trang bị hai phép toán, phép toán thứ nhất

gọi là phép cộng, viết là +, phép toán thứ hai gọi là nhân, viết là Bộ ba (A, +, )

được gọi là một vành nếu thỏa mãn các tính chất sau đây

1) Cặp (A, +) là một nhóm giao hoán.

2) Phép nhân có tính chất kết hợp

3) Phép nhân có tính phân phối về hai phía đối với phép cộng, nghĩa là ∀a, b, c ∈ A

ta có

a.(b + c) = a.b + a.c

(b + c).a = b.a + c.a Nếu phép nhân có tính giao hoán thì ta nói vành A có tính chất giao hoán.

Nếu phép nhân có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1 thì vành A được gọi là vành có

III Cấu trúc trường.

3.1 Định nghĩa: Cho K là một tập khác rỗng được trang bị hai phép toán cộng (+)

và nhân (.) Ta nói bộ ba (K, +, ) hay K là một trường nếu thỏa mãn cá tính chất

sau:

1) (K, +, ) là một vành giao hoán có đơn vị.

2) Với mọi a ∈ K, a 6= 0(phần tử trung hòa của phép +), tồn tại phần tử a0 sao cho

a.a0= a0.a = 1, phần tử a0 được gọi là phần tử nghịch đảo của a.

3.2 Một số tính chất

x + 3 = 0 không có nghiệm Để giải được phương trình này, người ta đã mở rộng tập

hợp N ra tập hợp Z Trong tập Z, phương trình 3x = 1 không có nghiệm Để giải được

phương trình này, người ta mở rộng tập Z ra tập hợp Q Trong tập hợp Q, phương

trình x2 = 3 không có nghiệm Để giải được phương trình này, người ta mở rộng tập

Q ra rập R Khi mở rộng hệ thống số, hệ thống mới giữ nguyên các tính chất của hệthống trước đó và có thêm các tính chất thuận tiện cho việc tính toán

Ta thấy rằng, phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm trong tập hợp các số thực

R Vì vậy cần thiết phải mở rộng hệ thống số R ra hệ thống số mới, được gọi là số

phức mà phương trình x2+ 1 = 0 có nghiệm trong tập hợp các số phức

Ký hiệu C = R2 = {(x, y)/x, y ∈ R}, mỗi phần tử của C được gọi là một số phức.

Bằng cách đó tập số thực R được xem là tập con của tập hợp các số phức C.

Ký hiệu i = (0, 1) ∈ C, ta có i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Như vậy i2+ 1 = 0, nên

i là nghiệm của phương trình x2+ 1 = 0 Số phức i được gọi là đơn vị ảo của C Với cách đồng nhất x = (x, 0), một số phức z = (x, y) được viết dưới dạng z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy(∗) Công thức (∗) được gọi là dạng đại số của số phức z, số thực x được gọi là phần thực của số phức z và được

ký hiệu là Rez, số thực y được gọi là phần ảo của số phức z và được ký hiệu là Imz.

Dùng công thức (∗), phép cộng và nhân số phức được viết lại như sau

(x1+ iy1) + (x2+ iy2) = (x1+ x2) + i(y1+ y2), (x1+ iy1)(x2+ iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2+ x2y1).

Dễ dàng chứng minh được rằng phép cộng và phép nhân số phức có đầy đủ các tínhchất của một trường và tập hợp C được gọi là trường số phức

Số phức z = x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x = iy Rõ ràng ta

z =| z | (cos ϕ + i sin ϕ)(∗∗).

Công thức (∗∗) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

Nếu z1=| z1 | (cos ϕ1+ i sin ϕ1), z2 =| z2 | (cos ϕ2+ i sin ϕ2) thì

z1z2=| z1 || z2 | (cos(ϕ1+ ϕ2) + i sin(ϕ1+ ϕ2)).

Do đó |z1z2| = |z1||z2|, arg(z1z2) = argz1+ argz2 Từ đây ta suy ra rằng, với n là

số nguyên thì z n = |z| n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) Công thức này được gọi là công thức

là phần tử ở vị trí (i, j) của A Ta gọi i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột.

Để đơn giản ma trận A còn được viết dưới dạng A = [a ij ], i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n Hai ma trận A = [a ij ] và B = [b ij] được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và

aij = b ij với mọi i, j.

Ma trận A cỡ n × n được gọi là ma trận vuông cấp n Ma trận cỡ 1 × n được gọi là

ma trận hàng, ma trận cỡ n × 1 được gọi là ma trận cột.

Từ đây về sau ta chỉ xét ma trận trên trường K với K là trường số thực R và trường

số phức C Tuy nhiên, để đơn giản hầu hết các ví dụ được cho trên trường số thực R

Ma trận cỡ m × n gồm mn số 0 được gọi là ma trận không Ma trận

được gọi là ma trận đơn vị cấp n.

II Các phép toán trên ma trận.

2.1 Phép cộng

Định nghĩa: Cho A = [a ij ] và B = [b ij ] là các ma trận cỡ m × n Tổng của hai

ma trận A và B là ma trận C = [c ij ] cỡ m × n, trong đó c ij = a ij + b ij với mọi

Từ định nghĩa về phép toán cộng ma trận, ta có các tính chất đơn giản sau

Tính chất: cho A, B, C là các ma trận cỡ mXn trên K Khi đó

cik = a i1b 1k + a i2b 2k + + a inbnk =

n

X

j=1 aijbjk

với i = 1, 2, , m; k = 1, 2, , p Khi đó ta ký hiệu C = AB.

Ta thấy rằng a i1, ai2, , ain là các phần tử ở hàng thứ i của A và các phần tử

được gọi là ma trận chuyển vị của A.

Như vậy, nếu A = [a ij ] thì A c = [a ji ] với mọi i, j.

III Các phép biến đổi sơ cấp.

Cho ma trận A trên K Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A là các phép

biến đổi sau:

1) Đổi vị trí hai hàng(hai cột) của ma trận A

Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp thì ta nói A tương đương với B và ký hiệu A ∼ B.

Bây giờ ta xét một dạng ma trận đặc biệt mà được gọi là ma trận dạng bậc thang

3.2 Định lý: Mọi ma trận đều có thể chuyển về dạng bậc thang bằng các phép biến

đổi sơ cấp Nói cách khác mọi ma trận đều tương đương với một ma trận bậc thang

Chứng minh: Giả sử A là ma trận cỡ m × n Ta chứng minh định lý trên bằng

phương pháp quy nạp theo m.

Nếu m = 1 thì hiển nhiên A có dạng bậc thang.

Giả sử m > 1 và định lý đúng đối với mọi ma trận có (m − 1) hàng Nếu A là ma trận không thì nó là ma trận bậc thang Giả thiết A là ma trận khác không.

Giả sử j1 là cột khác không đàu tiên của A Nhờ phép đổi chổ hai hàng ta có thể giả thiết a 1j1 6= 0 Cộng vào hàng thứ i của A với bội − aij1

 

cos β − sin β sin β cos β

aij Ta định nghĩa định thức của ma trận một cách quy nạp như sau.

Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) hoặc |A| và được định

nghĩa như sau

det(A) =

a11 a12

a21 a22

= a11det(M11)−a12det(M12)+ .+(−1) n+1 a 1n det(M 1n)

Tính chất 9 Nếu ma trận A có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác

=

a11 0 . 0

a21 a22 . 0

. .

an1 an2 ann

...

II Tính chất định thức.

Tính chất 1: Nếu A ma trận vuông cấp n A c chuyển vị A |A| = |A c |.

Từ tính chất ta tháy rằng, tính chất...

Tính chất Nếu hàng ma trận vuông cấp n không định thức của

ma trận khơng

Tính chất Nếu ma trận vng A có hai hàng giống |A| = 0.

Tính chất... data-page="19">

Tính chất Khi tất phần tử hàng ma trận A có dạng

tổng hai số hạng định thức A phân tích thành tổng hai định

=

Tính chất Cộng