Câu 3: Cho M là tập các hàm số có dạng fx=a cosx+b sinx+c Với phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với một số thông thờng, chứng minh M là không gian tuyến tính trên R.. Chứng minh f
Trang 1Phụ lục I : Một số đề thi học kỳ môn toán a1
Đề 01
Câu 1: Chứng minh rằng
3 3 3
2 2 2
1 1 1 2
3 3 3 3
3
2 2 2 2
2
1 1 1 1
1
) 1 (
c b a
c b a
c b a x c
b x a x b
a
c b x a x b
a
c b x a x b
a
−
= +
+
+ +
+ +
Câu 2: Cho F={(x1,x2,x3)∈R3:x1+2x2-x3=m , m là hằng số}
a Tìm m để F là không gian con của R3
b Tìm một cơ sở của F khi m=0
Câu 3: Trong cơ sở
E=
=
=
=
=
1 0
0 0 ,
0 1
0 0 ,
0 0
1 0 ,
0 0
0 1
4 3
2
E
của không gian M2x2 các ma trận vuông thực cấp 2 cho các véc tơ:
−
=
−
=
−
=
−
−
=
3 1
0 2 ,
1 2
1 0 ,
0 2
1 2 ,
1 0
0 1
4 3
2
C
a Chứng minh rằng hệ C={C1,C2,C3,C4} là một cơ sở trong
M2x2
b Cho toạ độ của A trong cơ sở C là A=1 −3
0 2
, hãy tìm toạ
độ của A trong cơ sở E
Câu 4: Trong cơ sở chính tắc {e1,e2,e3} của R3 cho tự đồng cấu g xác định nh sau:
g(x1,x2,x3)=(x1-x2,x1-2x2+x3,x1+x2+2x3)
a Tìm ma trận của g trong cơ sở chính tắc {e1,e2,e3}
b Tìm ma trận của g trong cơ sở {e1,2e3,-e2}
Câu 5: Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến
tính ϕ cho bởi ma trận sau
A=
−
−
−
1 0 0
2 2 2
2 0 1
Trang 2Có tồn tại một cơ sở gồm toàn véc tơ riêng của ϕ không? Nếu đợc hãy chéo hoá ma trận A
Câu 6: Đa đờng cong bậc hai có phơng trình sau đây về dạng
2 2 1
2
1 + x x + x − x − x + =
x
với mọi (x1,x2) thuộc R2
Đề 02
Câu 1: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để
10
6
) 1 (
) 3 1 ( ) 1 (
i
i
−
+
− +
là một số thực
Câu 2: Cho hệ phơng trình
= + +
= + +
= +
−
=
− +
9 4
8 2
2
5 3
2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
x x x
λ
a Giải hệ với λ=1
b Tìm λ để hệ có nghiệm
Câu 3: Cho M là tập các hàm số có dạng
f(x)=a cosx+b sinx+c Với phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với một số thông thờng, chứng minh M là không gian tuyến tính trên R Tìm số chiều và cơ sở của M
Câu 4: Trong cơ sở chính tắc của không gian R3 cho 3 véc tơ
v1=(2,3,4), v2=(3,5,7), v3=(4,4,6)
và phép biến đổi tuyến tính f: R3→R3 xác định nh sau:
f(x1,x2,x3)=(2x1+x2+x3,3x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)
a Chứng minh rằng hệ {v1,v2,v3} là một cơ sở của R3 Tìm toạ độ của véc tơ y=(2,-3,-4) trong cơ sở {v1,v2,v3}
b Tìm ma trận của f theo cơ sở {v1,v2,v3}
Câu 5: Trong một cơ sở (B) của không gian M2x2 các ma trận vuông cấp hai với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma trận thông thờng, cho ánh xạ f : M2x2→ M2x2 nh sau:
Trang 3f − +
− +
=
d b c a
d b c a d
c
b a
a Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính trên
M2x2
b Xác định Kerf và dim Kerf
Câu 6: Trong một cơ sở trực chuẩn của R3 cho dạng toàn phơng
f(x,x)=2x12 +2x22 −x32 −8x1x2 −4x1x3 +4x2x3
với x=(x1,x2,x3)∈R3 Đa dạng toàn phơng trên về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao
Đề 03
Câu 1: Cho phơng trình ma trận
+
=
−
−
5 2 0
1 4
1 1 2
2 1 1
λ λ
X
a Tìm X khi λ=-2
b Phơng trình trên có khi nào vô nghiệm không? Tại sao?
Câu 2: Trong không gian véc tơ R3 cho tập hợp
V=
=
∈
2 1 2
1 2 1 : ) , , (
3 2 1 3 3 2 1
x x x R x x x x
Chứng minh rằng V là không gian con của R3 Tìm số chiều và một cơ sở của V
Câu 3: Trong không gian P3(x) các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 xét ánh xạ: f[p(x)]=4p(x)-x2p”(x) ∀p(x)∈P3(x)
a Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b Tìm ma trận của f trong cơ sở {x2,x3,x,1}
Câu 4: Trong không gian các đa thức ẩn x bậc nhỏ hơn hoặc bằng
bốn P4(x), chứng minh bằng tập các đa thức có nghiệm x=a, x=b (a≠b) tạo thành một không gian con của P4(x) Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con đó
Trang 4Câu 5: Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến
tính trong R3 biến đổi hệ các véc tơ a1=(2,1,0), a2=(0,0,1),
a3=(5,3,2) thành hệ các véc tơ b1=(-1,1,1), b2=(2,1,2), b3=(1,1,1) Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính đó trên cơ sở chính tắc
Câu 6: Trong R2 cho dạng toàn phơng
2 2 1
2
3x + x x + x , x=(x1,x2)
a Dùng phép biến đổi trực giao đa f(x,x) về dạng chính tắc
b Nhận dạng đờng bậc hai f(x,x)=1
Đề 04
Câu 1: Tính
n
−
−
2 3
1 2
Câu 2: Giả sử hệ các véc tơ {v1,v2,v3} của không gian tuyến tính E
là độc lập tuyến tính và
a1= v1+v2+v3 a2= v1-v2+v3 a3= v1+v2-v3 Chứng minh rằng hệ {a1,a2,a3} là độc lập tuyến tính
Câu 3: Trong R3 cho các không gian con sau:
F={x=(x1,x2,x3)∈R3: x1-2x2+x3=0}
G=={x=(x1,x2,x3)∈R3: 2x1-x2+x3=0}
a Tìm số chiều và một cơ sở tơng ứng của F và G
b Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con F∩G
Câu 4: Phép biến đổi tuyến tính ϕ trong cơ sở a1=(-3,7), a2=(1,-2)
có ma trận −
−
3 5
1 2
, phép biến đổi tuyến tính χ trong cơ sở
b1=(6,-7), b2=(-5,6) có ma trận 2 7
3 1
Tìm ma trận của ϕoχ và
ϕ+χ trong cơ sở chính tắc
Câu 5: Trong không gian R3 cho một dạng song tuyến tính
f(x,y)=( )
3 2
1
3 2 1
0 2
0 3 1
2 1 1
y y y m
x x
x ∀(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)∈R3 Tìm m để f(x,y) là một tích vô hớng trên R3
Trang 5Câu 6: Cho dạng toàn phơng
3
2 2
2
1 2x 2x 4x x 3x x x x
a Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc và nêu rõ các chỉ
số quán tính trong dạng chính tắc
b Hệ cơ sở chính tắc của dạng toàn phơng có phải là cơ
sở trực chuẩn không? Tại sao?
Đề 05
Câu 1: Dùng đẳng thức
−
=
−
−
2 5
3 7 3 0
0 2 7 5
3 2 12 35
6 17
tính
5
12 35
6 17
−
−
Câu 2: Cho H={(x,y,z)∈R3 : x=5y+2z (y,z∈R)}
a Chứng minh rằng H là không gian con của R3
b Tìm một cơ sở của H
Câu 3: Cho ánh xạ tuyến tính f: R4→R3 xác định nh sau
f(x1,x2,x3,x4)=(4x1 −2x2 +x3 −x4,x2 −x3,x1)
a Tìm ma trận A của ánh xạ f
b Tìm Ker f và dim Im f
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của λ sao cho dạng toàn phơng sau là xác định dơng trong R3:
3
2 2
2
4x +x +x + λx x + x x + x x
với x=(x1,x2,x3) ∈R3
Câu 5: Cho ma trận A=
−
−
4 0 0
0 3 1
0 4 1
a Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A
b Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma trận chéo B dới dạng B=T -1AT và ma trận chuyển T
Câu 6: Giải và biện luận hệ phơng trình
Trang 6
= + +
= + +
= + +
3 2
3 2
3 2
c z c cy x
b z b by x
a z a ay x
Đề 06
Câu 1: Tìm miền biểu diễn hình học các số phức
1 3
12 + 2 − 2 =
z
với z=x+iy
Câu 2: Tìm f(A) biết
f(x)=x2-x-1 với A=
1
2 1 3
1 1 2
Câu 3: Trong không gian R4 xét tập
A=
= + +
−
= +
− +
∈
=
0 3
2
0 3
2 : ) , , , (
4 3 2 1
4 3 2 1 4 4 3 2 1
x x x x
x x x x R x x x x x
a Chứng minh rằng A là không gian con của R4
b Tìm số chiều và một cơ sở của A
Câu 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A=
−
+ +
−
2 3
0 2
2 1
0 0
2
i i
i i
i
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của R4 cho các véc tơ
a1=(3,-1,5,1), a2=(0,2,-4,1) và b=(1,λ,0,à)
a Tìm λ,à để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1,a2
b Với λ,à tìm đợc hãy trực giao hoá hệ {b,a1,a2}
Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f với ma trận
Trang 7
−
−
−
−
−
1 3 3
1 5 3
1 3 1
a Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A
b Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma trận chéo B dới dạng B=T –1AT
Đề 07
Câu 1: Đa số phức sau về dạng lợng giác
i
i z
−
+
=
3 3
Câu 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A=
+
−
− +
−
i i
i i
i
1 0 0
1 0
2 1 2
1
Câu 3: Tìm đa thức bậc hai p(x)=ax2+bx+c biết p(1)=-1, p(-1)=9, p(2)=-3
Câu 4: Cho E là không gian Euclide trên R và a∈E, a≠θ Gọi
L={x∈E: <x,a>=0}
a Chứng minh rằng L là không gian con của E
b Cho {e1,e2, ,em} là một cơ sở của L Chứng minh rằng {e1,e2, ,em,a} là một cơ sở của E
Câu 5: Biết rằng ma trận vuông A cấp n có n giá trị riêng là λ1,
λ2, , λn Tìm các giá trị riêng của A3
Câu 6: Trong R3 cho hệ véc tơ {x,e1,e2,e3}với e1=(1,1,1), e2=(1,1,2),
e3=(1,2,3), x=(6,9,14)
a Tìm hạng của hệ trên
b Hỏi {e1,e2,e3} có là một cơ sở của R3 không? Vì sao?
c Biểu diễn véc tơ x qua {e1,e2,e3} Biểu diễn đó có duy nhất không?
Đề 08
Câu 1: Đa số phức sau về dạng lợng giác
Trang 8) 3
cos 4
(sin 3
Câu 2: Với abcde≠0 tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A=
0 0 0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
e
d c
b a
Câu 3: Giải hệ phơng trình
=
− +
= + +
=
− +
−
=
− +
1 3 2
3
1 2 2
1 3
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
x x x
Câu 4: Cho f: R2→R2 xác định bởi f(x,y)=(2x-y, -x+2y) Hãy tìm một cơ sở của R2 để trong cơ sở đó ma trận của f có dạng đờng chéo và tìm ma trận đờng chéo đó
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R4 cho
a1=(1,1,0,1), a2=(0,1,1,0) Với không gian con
L={x∈R4:<x,a1>=0,<x,a2>=0}
a Tìm một cơ sở của L
b Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a1,a2, và các véc tơ trong cơ sở của L vừa tìm đợc
Câu 6: Cho ánh xạ f: R3→R3 xác định bởi
f(x,y,z)=(x+2y+2z,2x+y+2z,2x+2y+z)
a Chứng tỏ f là phép biến đổi tuyến tính
b Tìm một cơ sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng của f, viết ma trận của f trên cơ sở đó
c Chứng tỏ f là song ánh trên R3, hãy xác định f –1
Đề 09
Câu 1: Tính 3 4−4i
Câu 2: Cho phơng trình ma trận
Trang 9
−
=
+
1 2 1
4 9 3
1 2 7 2
2 1
X
λ λ λ
a Giải phơng trình trên khi λ=0
b Tìm λ để hệ phơng trình trên có vô số nghiệm
Câu 3: Cho ma trận
A=
−
−
3 1 1
1 2 0
0 1 1
Hỏi ma trận A có chéo hoá đợc không? Vì sao? Nếu đợc, hãy tìm
ma trận T để đa ma trận A về dạng ma trận đờng chéo B=T -1AT
Câu 4: Cho ánh xạ f: R3→ R3 xác định bởi
f(x,y,z)=(2x-y+z,-x+2y-z,z+m)
1 Tìm m để f là một phép biến đổi tuyến tính
2 Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc khi m=0
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R4 cho các véc tơ a1=(1,-1,0,-1), a2=(0,1,-1,-1) Cho không gian con
L={x∈R4: <x,a1>=0, <x,a2>=0}
a Tìm một cơ sở của L
b Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a1,a2 và các véc tơ trong cơ sở vừa tìm đợc của L
Câu 6: Gọi M3x4 là không gian các ma trận 3 hàng, 4 cột và F là
tập các ma trận có dạng
c d c c
b a c b
d c b a
Chứng minh rằng F
là không gian con của M3x4 Tìm số chiều và một cơ sở của F
Đề 10
Câu1: Cho
3
2 sin 3
2
ε = +i Hãy biểu diễn số phức (1+ε)n
d-ới dạng lợng giác
Câu 2: Tìm ma trận X thoả mãn đảng thức
Trang 10X −
−
=
−
−
−
13 2
15
7 2 6 2 1 1
1 0 1
1 1 1
Câu 3: Cho L(X) là không gian con sinh bởi các véc tơ của tập
X={a1,a2,a3,a4} với a1=(2,1,3,-1), a2=(-1,1,-3,1), a3=((4,5,3,-1),
a4=(1,5,-3,1)
a Xác định số chiều và cơ sở của L(X)
b Hãy tìm tất cả cơ sở của L(X) có thể lấy đợc từ tập X
Câu 4: Cho ánh xạ f: R3→R3 xác định bởi
f(x,y,z)=(6x-2y-2z,-2x+3y,2x+3z)
a Chứng tỏ f là một phép biến đổi tuyến tính, tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc
b Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của f
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R4, cho các véc tơ a1=(1,-1,2,1), a2=(0,1,-1,1) và b=(-1,β,1,γ)
a Tìm β,γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và a2
b Với β,γ tìm đợc hãy trực giao hoá hệ {a1,a2,b}
Câu 6: Chứng minh rằng nghịch đảo của ma trận tam giác trên
không suy biến là một ma trận tam giác trên
Đề 11
Câu 1: Nếu 2cosθ
2
1 = +
z chứng minh z m m 2cosmθ
2
1 = +
Câu 2: Tìm hạng của ma trận
A=
−
−
−
−
−
−
−
5 7 4 1
3 1
2
1 1 2 3
2 4 3 1
λ Với λ∈R
Câu 3: Trong R3 xét tập
L=
= + +
−
=
− +
=
0 2 2
0 )
, , (
3 2 1
3 2 1 3 2 1
x x x
x x x x x x x
a Chứng tỏ L là không gian con của R3
Trang 11b Tìm số chiều và một cơ sở của L.
Câu 4: Với (x1,x2,x3) ∈R3, có giá trị nào của λ để dạng toàn phơng sau là dạng xác định dơng trong R3 không?
3
2 2
2
2x +x + x + λx x + x x −x x
Câu 5: Cho ma trận
A=
−
1 0 0
0 4 4
0 1 0
a Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A
b Ma trận A có chéo hoá đợc không? Tại sao? Nếu đợc hãy tìm ma trận T để ma trận B=T –1AT là ma trận đ-ờng chéo
Câu 6: Chứng minh rằng nghịch đảo của ma trận tam giác dới
không suy biến là một ma trận tam giác dới
Đề 12
Câu 6: Cho phơng trình ma trận
+
=
−
−
5 2 0
1 4
1 1 4
2 1 1
λ λ
X
a Tìm X khi λ=-2
b Phơng trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?
Câu 3: Trong không gian R3 cho
L=
=
−
=
−
∈
0 3
0 4 5 : ) , ,
z y
y x R z y x
a Chứng minh rằng L là không gian tuyến tính
b Tìm số chiều và một cơ sở của L
Câu 4: Cho ma trận
A=
1 0 0
0 4 2
0 2 0
Trang 12a Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b Ma trận A có chéo hoá đợc không? Tại sao? Nếu đợc hãy tìm ma trận T để ma trận B=T –1AT là ma trận đ-ờng chéo
Câu 5: Cho R3 là không gian Euclide với tích vô hớng thông thờng Cho v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1)
a Tìm véc tơ trực giao với v1,v2
b Tìm véc tơ u trực giao với v1 sao cho (u,v2,v3) phụ thuộc tuyến tính
Câu 6: Tìm các số thực a,b,c để phơng trình
(1+ai)x4+(2a+bi)x3 - (5+ci)x2+(b+ci)x+4+ai=0
sau nhận ±1,±2 làm nghiệm, với i là đơn vị ảo
Đề 13
Câu 1: Chứng minh rằng
itgnx
itgnx itgx
itgx n
−
+
=
−
+
1
1 1
1
Câu 2: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số a
= + +
= + +
= + +
2 4 2
2 2
1 2
a az y x
a z ay x
z y ax
Câu 3: Tìm a để ma trận sau xác định dơng.
A=
1 1 1
a a
a a
a a
Câu 4: Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận nghịch đảo
A-1 bằng nghịch đảo các giá trị riêng của ma trận A
Câu 5: Cho ma trận A=
−
−
4 0 0
0 3 1
0 4 1
a Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A
Trang 13b Ma trận A có chéo hoá đợc không? Tại sao? Nếu đợc hãy tìm ma trận T để ma trận B=T –1AT là ma trận đ-ờng chéo
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của α sao cho dạng toàn phơng sau là xác định dơng
3
2 2
2
1 x 4x 6x x 10x x 2 x x
Đề 14
Câu 1: Tính định thức
d c b a
c c b a
b b b a
a a a a
=
∆
Câu 2: Cho n đờng thẳng trên mặt phẳng xác định bởi
∆1: a1x+b1y+c1=0
∆2: a2x+b2y+c2=0
∆n: anx+bny+cn=0
Tìm điều kiện để n đờng thẳng trên cùng đi qua một điểm
Câu 3: Gọi M2x2 là không gian các ma trận vuông cấp 2 trên R Cho
e’1=0 0
0 1
, e’2=0 0
1 1
, e’3=1 0
1 1
, e’4=1 1
1 1
a Chứng minh rằng hệ {e’1,e’2,e’3,e’4} là một cơ sở của M2x2
b Tìm toạ độ của 0 1
1 3
theo cơ sở đó
Câu 4: Cho phơng trình ma trận AX=B có nghiệm X1,X2 Tìm ma trận C sao cho phơng trình AX=C có nghiệm
a. X1+X2
b. K.X1
Câu 5: Gọi P2(x) là không gian các véc tơ đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 Cho ánh xạ f: P2(x) →P2(x) xác định bởi
f(p)=p”-2p’+3p ∀p∈P2(x)
a Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
Trang 14b Tìm ma trận của f trong cơ sở {1,x,x2}.
c f có phải là song ánh không? Tại sao?
Câu 6: Cho ma trận A=
2 2 2
2 1 0
2 0 3
a Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A
b Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma trận chéo B dới dạng B=T -1AT
Trang 15Tµi liÖu tham kh¶o
1 Ng« Thóc Lanh
§¹i sè tuyÕn tÝnh
N.X.B Gi¸o Dôc 1978
2 Sze -Tsen Hu
§¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph¬ng tr×nh vi ph©n
N.X.B.§¹i Häc vµ T.H.Chuyªn NghiÖp_1979
3 NguyÔn §×nh TrÝ
§¹i sè tuyÕn tÝnh
N.X.B Gi¸o Dôc 1997
4 §oµn Quúnh vµ c¸c t¸c gi¶
§¹i sè tuyÕn tÝnh
N.X.B Gi¸o Dôc 1996
5 NguyÔn Xu©n Hoµng
Bµi gi¶ng §¹i sè tuyÕn tÝnh
§.H Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi
6 TrÇn v¨n Dòng , TrÇn V¨n Minh
Bµi gi¶ng To¸n A4
§.H.Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi
7 TrÇn V¨n Minh
Ph¬ng ph¸p sè vµ ch¬ng tr×nh b»ng Turbo Pascal N.X.B Khoa Häc Kü ThuËt 1998
8 NguyÔn Quèc ChiÕn vµ c¸c t¸c gi¶
Gi¸o tr×nh Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh_
§.H.Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi_1994
9 TrÇn Tóc
Bµi gi¶ng Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh
§.H.Kinh TÕ Quèc D©n _ 1997
10 Faddeeva
V.N.Computatonal Methods of Linear Algebra,
Mir Pulishers 1973
11 David Kincaid and ward Choney
Numerical analysis Mathmatics of scientific computing
The University of Texas Austin 1990