Phương pháp giải toán bậc THCS

Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán :Chứng minh một số không phải là số chính phương.. Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số

SỬ DỤNG DIỆN TÍCHTRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC:Mfull:

Có nhiều bài toán hình học tưởng như không liên quan đến diệntích, nhưng nếu ta sử dụng diện tích thì lại dễ dàng tìm ra lời giải

của bài toán

Bài toán 1 : Tam giác ABC có AC = 2 AB Tia phân giác của góc

A cắt BC ở D Chứng minh rằng DC = 2 DB

Phân tích bài toán (h.1)

Để so sánh DC và DB, có thể so sánh diện tích hai tam giác ADC

và ADB có chung đường cao kẻ từ A Ta so sánh được diện tíchhai tam giác này vì chúng có các đường cao kẻ từ D bằng nhau,

và AC = 2 AB theo đề bài cho

Giải : Kẻ DI vuông góc với AB, DK vuông góc với AC Xét ΔADC

và ΔADB : các đường cao DI = DK, các đáy AC = 2 AB nên SADC

= 2 SADB

Vẫn xét hai tam giác trên có chung đường cao kẻ từ A đến BC,

do SADC = 2 SADB nên DC = 2 DB

Giải tương tự như trên, ta chứng minh được bài toán tổng quát :

Nếu AD là phân giác của ΔABC thì DB/DC = AB/AC

Bài toán 2 : Cho hình thang ABCD (AB // CD), các đường chéocắt nhau tại O Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy,

cắt các cạnh bên AC và BC theo thứ tự tại E và F

Chứng minh rằng OE = OF

Giải : Cách 1 : (h.2) Kẻ AH, BK, CM, DN vuông góc với EF Đặt AH =

Cùng trừ đi S5 được : S1 + S2 = S3 + S4 (1) Giả sử OE > OF thì S1 > S3 và S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4,

trái với (1)

Giả sử OE < OF thì S1 < S3 và S2 < S4 nên S1 + S2 < S3 + S4,

trái với (1)

Vậy OE = OF

Bài toán 3 : Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ

tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN = CM Gọi K là giao điểmcủa AN và CM Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc

ấy Điều đó nhiều khi giúp chúng ta đi đến lời giải của bài toán

Bạn hãy sử dụng diện tích để giải các bài toán sau :

1 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là một điểm bất kì thuộccạnh đáy BC Gọi MH, MK theo thứ tự là các đường vuông góc kẻ

từ M đến AB, AC Gọi BI là đường cao của tam giác ABC Chứng

minh rằng MH + MK = BI

Hướng dẫn : Hãy chú ý đến SAMB + SAMC = SABC

2 Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kìtrong tam giác đều ABC đến ba cạnh của tam giác không phụ

thuộc vị trí của M

Hướng dẫn : Hãy chú ý đến SMBC + SMAC + SMAB = SABC

3 Cho tam giác ABC cân tại A Điểm M thuộc tia đối của tia BC.Chứng minh rằng hiệu các khoảng cách từ điểm M đến đườngthẳng AC và AB bằng đường cao ứng với cạnh bên của tam giác

ABC

Hướng dẫn : Hãy chú ý đến SMAC - SMAB = SABC

4 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Các đường thẳng

AD và BC cắt nhau tại O Gọi F là trung điểm của CD, E là giao

điểm của OF và AB Chứng minh rằng AE = EB

Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng

MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤBài toán 1 : Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oylấy hai điểm C, D sao cho AB = CD Gọi M và N là trung điểmcủa AC và BD Chứng minh đường thẳng MN song song với phân

giác góc xOy

Suy luận : Vị trí đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB

qua Oz, phân giác góc xOy

Gọi C1 và D1 là các điểm đối xứng của A và B qua Oz ; E và F làcác giao điểm của AC1 và BD1 với Oz Khi đó E và F là trungđiểm của AC1 và BD1, và do đó vị trí của MN sẽ là EF Vì vậy ta

chỉ cần chứng minh MN // EF là đủ (xem hình 1)

Thật vậy, do AB = CD (gt), AB = C1D1 (tính chất đối xứng) nên

CD = C1D1 Mặt khác ME và NF là đường trung bình của các tamgiác ACC1 và BDD1 nên NF // DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 ,

ME = 1/2 CC1 => ME // NF và NE = 1/2 NF => tứ giác MEFN là

hình bình hành => MN // EF => đpcm

Bài toán 1 có nhiều biến dạng” rất thú vị, sau đây là một vàibiến dạng của nó, đề nghị các bạn giải xem như những bài tậpnhỏ ; sau đó hãy đề xuất những “biến dạng” tương tự

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC Trên AB và CD có hai điểm D và

E chuyển động sao cho BD = CE Đường thẳng qua các trungđiểm của BC và DE cắt AB và AC tại I và J Chứng minh ΔAIJ

cân

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC AD và AE là phân giáctrong và trung tuyến của tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp

tam giác ADE cắt AB và AC tại M và N Gọi F là trung điểm của

MN Chứng minh AD // EF

Trong việc giải các bài toán chứa các điểm di động, việc xét các

vị trí đặc biệt càng tỏ ra hữu ích, đặc biệt là các bài toán “tìm

tập hợp điểm”

Bài toán 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định và mộtđiểm C chuyển động trên nửa đường tròn đó Dựng hình vuông

BCDE Tìm tập hợp C, D và tâm hình vuông

Ta xét trường hợp hình vuông BCDE “nằm ngoài” nửa đường tròn

đã cho (trường hợp hình vuông BCDE nằm trong đường tròn đãcho được xét tương tự, đề nghị các bạn tự làm lấy xem như bài

tập)

Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B Khi đó hình vuôngBCDE sẽ thu lại một điểm B và các điểm I, D, E đều trùng với B,trong đó I là tâm hình vuông BCDE Vậy B là một điểm thuộc các

tập hợp cần tìm

Xét trường hợp C trùng với A Dựng hình vuông BAD1E1 khi đó Dtrùng với D1, E trùng với E1 và I trùng với I1 (trung điểm củacung AB ) Trước hết, ta tìm tập hợp E Vì B và E1 thuộc tập hợpcần tìm nên ta nghĩ ngay đến việc thử chứng minh Đ BEE1không đổi Điều này không khó vì Đ ACB = 90o (góc nội tiếpchắn nửa đường tròn) và ΔBEE1 = ΔBCA (c g c) => Đ BEE1 =

Đ BCA = 90o => E nằm trên nửa đường tròn đường kính BE1(1/2 đường tròn này và 1/2 đường tròn đã cho nằm ở hai nửamặt phẳng khác nhau với “bờ” là đường thằng BE1)

Vì Đ DEB = Đ E1EB = 90o nên D nằm trên EE1 (xem hình 2)

=> Đ ADE1 = 90o = Đ ABE1 => D nằm trên đường tròn đườngkính AE1, nhưng ABE1D1 là hình vuông nên đường tròn đườngkính AE1 cũng là đường tròn đường kính BD1 Chú ý rằng B vàD1 là các vị trí giới hạn của tập hợp cần tìm, ta => tập hợp D lànửa đường tròn đường kính BD1 (nửa đường tròn này và điểm A

ở về hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là đường thẳng BD1) Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần chú ý II1 là đường trung bìnhcủa ΔBDD1 nên II1 // DD1 => Đ BII1 = 90 => tập hợp I là nửađường tròn đường kính BI1 (đường tròn này và A ở về hai nửa

mặt phẳng khác nhau với bờ là BD1)

Để kết thúc, xin mời bạn giải bài toán sau đây :

Bài toán 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB cố định và 1điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đó Kẻ CH vuông gócvới AB Trên đoạn thẳng OC lấy điểm M sao cho OM = CH Tìm

tập hợp M

LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC

TRÊ-BƯ-SEPCác bạn đã từng được làm quen với các bất đẳng thức Cô si,Bunhiacôpski nhưng không ít bạn còn chưa biết về bất đẳng thứcTrê - bư - sép Con đường đi đến bất đẳng thức này thật là giản

dị, quá gần gũi với những kiến thức cơ bản của các bạn bậc

THCS

Các bạn có thể thấy ngay : Nếu a1 ≤ a2 và b1 ≤ b2 thì (a2 - a1)(b2 - b1) ≥ 0 Khai triển vế trái của bất đẳng thức này ta có :

a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥ 0

=> : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1

Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào cả hai vế ta được :

2 (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2)

=> : 2 (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*)

Bất đẳng thức (*) chính là bất đẳng thức Trê - bư - sép với n =

2 Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 ≤ a2 và b1 ≥ b2 thì tất cả các

bất đẳng thức trên cùng đổi chiều và ta có :

2 (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**) Các bất đẳng thức (*) và (**) đều trở thành đẳng thức khi và

chỉ khi a1 = a2 hoặc b1 = b2

Làm theo con đường đi tới (*) hoặc (**), các bạn có thể giải

quyết nhiều bài toán rất thú vị

Bài toán 1 : Biết rằng x + y = 2 Chứng minh x2003 + y2003 ≤

khi và chỉ khi x = y = 1 ; các bạn sẽ có lời giải của các bài toán

sau : Bài toán 2 : Giải hệ phương trình :

Nếu các bạn quan tâm tới các yếu tố trong tam giác thì vận dụngcác bất đẳng thức (*) hoặc (**) sẽ dẫn đến nhiều bài toán mới Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 AH và BK là

các đường cao của tam giác

Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8

Lời giải : Ta có AH x BC = BK x CA = 2 Do vai trò bình đẳng của

BC và CA nên có thể giả sử rằng BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA =>

ha, hb, hc Chứng minh :

với S là diện tích tam giác ABC

Lời giải : Do vai trò bình đẳng của các cạnh trong tam giác nên

Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi các bấtđẳng thức (1), (2), (3) đồng thời trở thành đẳng thức tươngđương với a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều

Bây giờ các bạn thử giải các bài tập sau đây :

1) Biết rằng x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của F = (x4 +

y4) / (x6 + y6) 2) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng

minh :

3) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và độdài các đường phân giác trong thuộc các cạnh này lần lượt là la,

lb, lc Chứng minh :

4) Hãy dự đoán và chứng minh bất đẳng thức Trê - bư - sép với

n = 3 Từ đó hãy sáng tạo ra các bài toán Nếu bạn thấy thú vịvới những khám phá của mình ở bài tập này, hãy gửi gấp bài

viết về cho chuyên mục EUREKA của TTT2

PHƯƠNG PHÁP HOÁN VỊ VÒNG QUANHPhân tích thành nhân tử là một trong những kĩ năng cơ bản nhấtcủa chương trình đại số bậc THCS Kĩ năng này được sử dụng khigiải các bài toán : biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học,giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức và giải các bài toáncực trị Sách giáo khoa lớp 8 đã giới thiệu nhiều phương phápphân tích thành nhân tử Sau đây tôi xin nêu một phương phápthường sử dụng, dựa vào việc kết hợp các phương pháp quenthuộc như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, hằng đẳng thức

Phương pháp này dựa vào một số nhận xét sau đây :

1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử,trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó Nếu F(a,

b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c

và c - a

Bài toán 1 : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)

Nhận xét : Khi a = b ta có :F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)

Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)

Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứacác nhân tử a - b, b - c, c - a Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểuthức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, vì vậyF(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c Do vai trò a,

b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c) Do đó :

F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Cho a = 0 ; b = 1 ; c = 2 => k = -1

Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)

2/ Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c) là biểu thức đối xứngcủa a, b, c nhưng F(a, b, c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a =-b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu thỏa mãn thì F(a, b, c)chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a

Bài toán 3 : Chứng minh rằng :Nếu : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) thì 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn)

với mọi số nguyên lẻ n

Nhận xét :

Từ giả thiết 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => :

(xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = 0 (*)

Do đó ta thử phân tích biểu thứcF(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử Chú ý rằng khi x = - y thì F(x, y, z) = - y2z + y2z = 0 nên F(x,

y, z) chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự như bài toán 1, ta có

Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta có đpcm

Có những khi ta phải linh hoạt hơn trong tình huống mà hai

nguyên tắc trên không thỏa mãn :

Bài toán 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz

Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thì F(x, y, z) ≠ 0.Nhưng nếu thay x = -(y + z) thì F(x, y, z) = 0 nên F(x, y, z) cónhân tử x + y + z Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta được thương

x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx và dư là 0 Do đó :

F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)

Ta có thể thêm bớt vào F(x, y, z) một lượng 3x2y + 3xy2 để

nhân được kết quả này

Các bạn hãy dùng các phương pháp và kết quả nêu trên để giải

các bài tập sau đây

Bài toán 5 : Tính tổng :

trong đó k = 1, 2, 3, 4

Bài toán 6 : Chứng minh rằng (a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5 chia

hết cho 5(a - b)(b - c)(c - a)

TS Lê Quốc Hán(ĐH Vinh)MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM ĐỘC ĐÁOBằng kiến thức hình học lớp 6 ta có thể giải được các phươngtrình bậc hai một ẩn được không ? Câu trả lời là ở trường hợptổng quát thì không được, nhưng trong rất nhiều trường hợp ta

vẫn có thể tìm được nghiệm dương

Ví dụ : Tìm nghiệm dương của phương trình x2 + 10x = 39

Lời giải :

Ta có : x2 + 10x = 39 tương đương x2 + 2.5.x = 39

Từ biến đổi trên, ta hình dung x là cạnh của một hình vuông thìdiện tích của hình vuông đó là x2 Kéo dài mỗi cạnh của hình

vuông thêm 5 đơn vị (như hình vẽ), ta dễ thấy :

Hình vuông to có độ dài cạnh là x + 5 sẽ có diện tích là 64 Do

đó :(x + 5)2 = 64 = 82 tương đương x + 5 = 8 hay x = 3

Vậy phương trình có nghiệm dương là x = 3

Phương pháp này đã được nhà toán học Italia nổi tiếng JerômCacđanô (1501 - 1576) sử dụng khi tìm nghiệm dương của

phương trình x2 + 6x = 31

Các bạn hãy tìm nghiệm dương của phương trình x2 - 8x = 33

bằng phương pháp hình học thử xem ?MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNNTrong chương trình số học lớp 6, sau khi học các khái niệm ướcchung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), các bạn

sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu

tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN

Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ

với các yếu tố đã cho để tìm hai số

2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặcbiệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó

là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN

của a và b Việc chứng minh hệ thức này không khó :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m,

n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*)

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] (**) Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa

Bài toán 1 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và(a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò của a, b là như nhau, không

mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b

Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b)

với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1

Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc

a = 48, b = 80

Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này :

ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy ra mn = 15 Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a,

b) = 6

Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b

Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =

1 ; m ≤ n

Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6

tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a

Lời giải : Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên

= 112 hoặc a = 48, b = 80 Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ;

(m, n) = 1

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n

Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)

[a, b] = mnd = 72 (2)

=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6} Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n tathấy chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m

= 3 và n = 4 (thỏa mãn các điều kiện của m, n) Vậy d = 6 và

a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài toán 8 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ;

(m, n) = 1

Do đó : a - b = d(m - n) = 7 (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’)

=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}

Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta

được kết quả duy nhất :

d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4

Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28

Bài tập tự giải : 1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45

2/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúngbằng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống nhau 3/ Cho hai số tự nhiên a và b Tìm tất cả các số tự nhiên c saocho trong ba số, tích của hai số luôn chia hết cho số còn lại

VẬN DỤNG BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀO GIẢI TOÁN

* Trong Tạp chí Toán Tuổi thơ 2 số 4 (TTT2(4)), tháng 6 năm

2003, ở mục kết quả Thử tí toán, để chia đôi một đoạn thẳngsong song với một đường thẳng cho trước chỉ bẳng thước thẳng,

hiệu S là diện tích, chứng minh rằng : Nếu SΔAIN = SΔBJP = SΔCKM = SΔIJK thì SAPJI = SBMKJ =

SCNIK

Lời giải : Gọi L là giao điểm của CI và NK

Từ SΔANI = SΔIJK => SΔANI + SΔAIJ = = SΔIJK + SΔAIJ =>

SΔNAJ = SΔKAJ

Ta nhận thấy ΔNAJ và ΔKAJ có chung cạnh AJ nên khoảng cách

từ N và K tới AJ là bằng nhau, dẫn đến NK // AJ

Xét hình thang KNAJ, có hai cạnh bên AN x JK = C ; có haiđường chéo AK x JN = I, theo bổ đề “Hình thang”, CI cắt NK tại

trung điểm của NK Vậy L là trung điểm của NK (*)

Từ (*) ta chứng minh được SΔCIN = S ΔCIK, mà SΔAIN = SΔCKM => SΔCIM = SΔCIA => IA = IM (**) ( ΔCIM và ΔCIA có

chung đường cao hạ từ C tới AM)

Từ (**) => S ΔBIA = S ΔBIM ( ΔBIM và ΔBIA có chung đường

cao hạ từ B tới AM)

Tương đương với S ΔBPJ + SAPJI = S ΔIJK + SBJKM hay SAPJI =

SBJKM (do S ΔBPJ = SIJK)

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được từng cặp trong ba tứgiác APJI, BMKJ, CNIK có diện tích bằng nhau và do đó diện tích

của ba tứ giác này bằng nhau

* Xét bài toán đảo của bài toán dựng hình chỉ bằng thước kẻ

trong TTT2(4) nói trên

Bài toán 2 : Cho trước một đoạn thẳng AB và trung điểm M của

nó Chỉ bằng thước thẳng, hãy dựng qua điểm C nằm ngoài AB,

một đường thẳng song song với AB

Lời giải : Phân tích : Giả sử dựng được đường thẳng (d) đi qua C và song

song với AB (hình 2)

Trên phần kéo dài của tia BC, lấy một điểm S bất kì Gọi giaođiểm của SA và (d) là D, AC cắt BD tại O Theo bổ đề Hìnhthang, đường thẳng SO đi qua điểm M, từ đó ta có cách dựng Cách dựng : Lấy điểm S như trên Lần lượt nối AC, SM, cácđường thẳng này cắt nhau tại O Nối SA, BO, cắt nhau tại D

Đường thẳng (d) đi qua C, D chính là đường thẳng cần dựng :

(d) đi qua C, (d) // AB

* Kết quả của bài toán 2 cũng được vận dụng trong nhiều bài

áp dụng bài toán 2 cho đoạn thẳng AC với O là trung điểm của

AC và B là điểm nằm ngoài AC, ta hoàn toàn dựng được đường

thẳng Bx // AC

Tương tự, ta cũng dựng được đường thẳng Cy // BD

Gọi E là giao điểm của Bx, Cy, ta thấy ngay OBEC là hình bình

(d)

Lời giải : Để áp dụng được bài toán 2 trong trường hợp này, tacần xác định được trên (d) hai điểm P, Q khác nhau và điểm N là

trung điểm của PQ

Ta thực hiện như sau :

Trên (d), lấy một điểm P tùy ý (hình 4) Qua P, kẻ cát tuyến PABtới (S) AO, BO cắt (S) lần lượt tại C, D CD cắt (d) tại Q Theo tính chất của đường tròn, ta chứng minh được tứ giácABCD là hình bình hành có tâm là điểm O Theo bài toán 3, qua

O ta dựng được đường thẳng song song với AB và dễ thấy đườngthẳng này cắt PQ tại N là trung điểm của PQ Đến đây, ta có thể

=> cách dựng đường thẳng qua M song song với (d) dựa vào bài

toán 2

Bài tập tự giải : Bài toán 5 : Cho trước đường tròn (S) và tâm O của nó, M là mộtđiểm bất kì Chỉ dùng thước thẳng, hãy dựng qua M một đường

thẳng vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước

Bài toán 6 : Cho tứ giác ABCD, AD cắt BC tại S, AC cắt BD tại O.Chứng minh rằng nếu SO đi qua trung điểm M của AB thì SOcũng đi qua trung điểm N của CD và tứ giác ABCD là hình thang.MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC

THÀNH NHÂN TỬSau khi xem xong tạp chí Toán Tuổi thơ 2 số 5 (tháng 7 năm2003), tôi rất tâm đắc với các bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử Do đó tôi mạnh dạn trao đổi với bạn đọc về vấn đề vậndụng phép phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số dạng

Chứng minh :

Lời giải : Hạ AH vuông góc với BC ; BI vuông góc với AC Ta có

AH = ha, BI = hb Dễ thấy 2 tam giác vuông AHC và BIC đồng

dạng và chung góc C => ha/hb = AH/BI = b/a

áp dụng điều tương tự ta có :

Vì góc A ≥ góc B ≥ góc C tương đương với a ≥ b ≥ c nên (**)

đúng, tức là (*) được chứng minh

3 Giải phương trình và bất phương trình Bài toán 4 : Giải phương trình : 4x3 - 10x2 + 6x - 1 = 0 (1)

Lời giải : (1) 4x3 - 2x2 - 8x2 + 4x + 2x - 1 = 0 tương đương 2x2(2x - 1)

- 4x(2x - 1) + (2x - 1) = 0hay (2x - 1)(2x2 - 4x + 1) = 0

Bài toán 5 : Giải phương trình :

Lời giải : Ta có :

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 3

Bài toán 6 : Giải bất phương trình : 7x3 - 12x2 - 8 < 0 (3)

Lời giải : (3) 7x3 - 14x2 + 2x2 - 8 < 0 tương đương với 7x2(x - 2) + 2(x2 - 4) < 0 hay (x - 2)(7x2 + 2x

+ 4) < 0 tương đương với (x - 2)[6x2 + 3 + (x + 1)2] < 0 hay x - 2 < 0

2ab3 - 2a2 + 4a2b hay : 3ab2 - 3a2b - 2a3b + 2b3a - 2b2 + 2a2 = 0 3ab(b - a) + 2ab(b2 - a2) - 2(b2 - a2) = 0 (b - a)[3ab + 2ab(b + a) - 2(a + b)] = 0

Vì a ≠ b => b - a ≠ 0 nên hệ thức trên tương đương với : 3ab +

2ab(b + a) - 2(a + b) = 0

Do a.b ≠ 0 => 3/2 + a + b - (a + b)/ab = 0

hoặc không cùng chia hết cho 7

- Nếu n + 9 và n + 2 cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chiahết cho 49 mà 21 không chia hết cho 49 nên M không chia hết

cho 49

- Nếu n + 9 và n + 2 không cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n +2) không chia hết cho 7 mà 21 chia hết cho 7 nên M không chia

hết cho 49

Vậy n22 + 11n + 39 không chia hết cho 49

Sau đây là một số bài tập để các bạn thử vận dụng :

1 Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : x6 - x4 + 2x3 + 2x2

= y2

2 Cho ab ≥ 1

Chứng minh : 1/(1 + a2) + 1/(1 + b2) ≥ 2/(1 + ab)

3 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên lẻ n thì (n86 - n4 + n2)

chia hết cho 1152

CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGTrong chương trình Toán lớp 6, các em đã được học về các bàitoán liên quan tới phép chia hết của một số tự nhiên cho một số

tự nhiên khác 0 và đặc biệt là được giới thiệu về số chínhphương, đó là số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên

(chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …)

Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán :Chứng minh một số không phải là số chính phương Đây cũng làmột cách củng cố các kiến thức mà các em đã được học Nhữngbài toán này sẽ làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các

em

1 Nhìn chữ số tận cùng

Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên

có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng làmột trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 Từ đó các em có thể

giải được bài toán kiểu sau đây : Bài toán 1 : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 -

20012 không phải là số chính phương

Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ;

20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1 Do đó số n cóchữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương Chú ý : Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các

số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chínhphương Khi đó các bạn phải lưu ý thêm một chút nữa : Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia

là 90) nên 1234567890 không là số chính phương

Bài toán 3 : Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là

2004 thì số đó không phải là số chính phương

Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là

2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này

không phải là số chính phương

2 Dùng tính chất của số dư Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây : Bài toán 4 : Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006

không phải là số chính phương

Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng” Vậy ở bài toán này ta sẽphải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nênchắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9.Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” như bài toán 3 Thế thì ta nóiđược điều gì về số này ? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2

Từ đó ta có lời giải

Lời giải : Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0hoặc 1 mà thôi (coi như bài tập để các em tự chứng minh !) Dotổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2.Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương

Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán :

Bài toán 5 : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến

2005 không phải là số chính phương

Bài toán 6 : Chứng minh số :

n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương Bây giờ các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới một “tình

số tận cùng của n là 9 nên không làm “tương tự” được như cácbài toán 1 ; 2 Số dư của phép chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đóchính là 3 Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư nhưthế nào nhỉ ? Các em có thể tự chứng minh và được kết quả : số

dư đó chỉ có thể là 0 hoặc 1 Như vậy là các em đã giải xong bài

toán 7

3 “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp”

Các em có thể thấy rằng : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên kthỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là số chính phương Từ

đó các em có thể xét được các bài toán sau : Bài toán 8 : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1,chia cho 4 cũng dư 1 Thế là tất cả các cách làm trước đềukhông vận dụng được Các em có thể thấy lời giải theo một

hướng khác

Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên

20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không là số

chính phương

Bài toán 9 : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số

chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0

Nhận xét : Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức nàythì có thể nhận ra A + 1 là số chính phương (đây là bài toánquen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp 7 cũng có thể chịu khó

đọc lời giải

Lời giải : Ta có : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 +

3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 +

3n +1)2

Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A

Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1 Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A <

A + 1 = (n2 + 3n +1)2 => A không là số chính phương Các em có thể rèn luyện bằng cách thử giải bài toán sau : Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2

có hai mảnh nào ghi số giống nhau Chứng minh rằng : Khôngthể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số

chính phương

Bài toán 13 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn

số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương

Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4

Bài toán 14 : Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777

không là số chính phương

Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … một chục (?)

Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch

cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh Cậu ta mongrằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa làmột số chính phương Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó

không ? CHỨNG MINH MỘT SỐ

LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGCác bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một sốkhông phải là số chính phương trong TTT2 số 9 Bài viết này, tôimuốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số

chính phương

Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tựnhiên Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết

Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b làhai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính

phương thì a và b đều là các số chính phương”

Bài toán 3 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏamãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số

chính phương

Lời giải :

Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m +4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho

phương :

1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương :

2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùngnhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có là số

chính phương hay không ? 3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n thì 3n + 4 không là

số chính phương

4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương.5) Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính

phương

CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠOKHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌCMột vấn đề đặt ra là nên cấu tạo đề bài tập toán như thế nào(với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tranăng lực toán học v.v ) để phù hợp phương pháp dạy học đổi

mới theo định hướng tích cực, độc lập, sáng tạo

Câu trả lời đã trở nên rõ ràng nếu chú ý nhận xét tính đa dạng

và phong phú của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa mới.Trong khuôn khổ một bài báo, do không thể phân tích hết ưunhược điểm của từng thể loại bài tập toán nhằm giúp học sinhhọc tập chủ động, sáng tạo, tác giả xin trao đổi với các bạn đồngnghiệp về vấn đề này thông qua một số ví dụ về bài tập hình

học

Thí dụ 1 : Bài tập kích thích mạnh mẽ tư duy học sinh là loại bài

tập tình huống Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7)

Cho điểm M trên trang giấy và hai đường thẳng d, d’ cắt nhaunhau ngoài trang giấy Hãy vẽ đường thẳng d’’ đi qua điểm M vàgiao điểm của d, d’ Nói cách vẽ và giải thích vì sao vẽ được như

vậy

Tình huống của bài tập này là : Học sinh phải vẽ một đườngthẳng đi qua hai điểm, trong đó một điểm đã cho trước, còn

điểm thứ hai thì chưa xác định được

Hướng giải quyết bài toán không phải là vẽ giao điểm của haiđường thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữa đường thẳng phải

vẽ (đường thẳng d’’ đi qua điểm M) với những đường thẳng khác

có thể vẽ được trên trang giấy

Quá trình mò mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy

trong tam giác, từ đó => cách vẽ

Lời giải (tóm tắt) mong đợi là như sau :Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a đi qua M và vuông góc với d’, a cắt

d tại A Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với d, b cắt d’tại B Vẽ đường thẳng d’’ đi qua M và vuông góc với AB, d’’ làđường thẳng phải vẽ, nó đi qua giao điểm của d và d’ (giao điểmnày nằm ngoài trang giấy) vì ba đường cao d, d’, d’’ của tam

giác MAB đồng quy

Cũng có thể giải thích như sau : Giả sử giao điểm của d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy) Trongtam giác ABC, hai đường cao a và b cắt nhau tại M Thế thìđường thẳng d’’ đi qua M (trực tâm của tam giác ABC) và vuông

góc với AB phải là đường cao thứ ba, vậy d’’ đi qua C

Thí dụ 2 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 8)

Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểmcủa BC và K là trung điểm của IB Gọi H là chân đường vuônggóc hạ từ B xuống IC Chứng minh rằng hai đường thẳng HJ và

HK vuông góc với nhau

Tình huống đặt ra đối với học sinh ở bài tập này là : Với kiếnthức đã học, nên chọn phương pháp nào để chứng minh haiđường thẳng HJ và HK vuông góc với nhau Học sinh có thể nghĩ

tới các hướng chứng minh sau :

Đ HKJ = 90o (?)

HK và HJ là hai tia phân giác của hai góc kề bù (không thể

được !)

Δ KHJ = Δ KBJ (?)Định lí Py-ta-go thuận và đảo (?)

Gọi cạnh hình vuông là a, ta có :

HJ = BC/2 = a / 2, từ đó HJ2 = a2 / 4

HK = IB/2 = a / 4 , từ đó HK2 = a2 / 16 Tính HK 2 : Trong tam giác vuông BHI :Tính JK2 : Trong tam giác vuông BJK : JK2 = BJ2 + BK<SUP.2< sup> , từ đó JK2 = a2/4 + a2

Từ các kết quả trên => JK2 = HJ2 + HK2 và theo định lí

Py-ta-go đảo thì tam giácJHK vuông góc tại H, tức là HJ vuông góc với

HK

Cũng có thể chứng minh theo hướng : Δ KHJ = Δ KBJ (vì HK =

HB, HJ = BJ, KJ chung) => Đ H = Đ B bằng 90o, tức là HJ vuông

góc với HK

Chú ý rằng, theo chương trình mới, học sinh lớp 7 chưa học định

lí : Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền bằng nửa cạnh huyền

Thí dụ 3 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7)

Trên hình vẽ, người ta đã cho biết : AE = CE, BE // CD, Đ ABC =

88o, Đ BCE = 31o

a) Tính Đ ECD

b) Tính Đ EDC c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn nhất ?

Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiềucách giải khác nhau Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình họclớp 7 được ra theo kiểu này thì chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rõràng mức độ nắm vững kiến thức cơ bản, kĩ năng cơ bản củamình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải được

hầu hết các câu hỏi của bài toán

Lời giải (tóm tắt) :a) Đ BCD = Đ ABE = 88o (hai góc đồng vị)

Đ ECD = Đ BCD - Đ BCE = 88o - 31o = 57o b) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam

giác ABE :

Đ AEB = 180o - 88o + 31o = 61o

Đ EDC = Đ AEB - 61o (hai góc đồng vị)

c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62

Vậy cạnh CD lớn nhất Cách giải khác :

a) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam

giác AEB : Đ ABE = 61o

Với tam giác BEC : góc ABE = 88o là góc ngoài ở đỉnh B nên góc

BEC = 88o - 31o = 57o

Vì BE // CD nên Đ ECD = Đ BEC = 57o (hai góc so le trong) b) Vì BE // CD nên Đ EDC = Đ AEB = 61o (hai góc đồng vị) c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62o

Vậy cạnh CD lớn nhất

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một

số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽgiúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi

giải bài toán loại này

Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích

Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức

chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên

Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

y3 - x3 = 91 (1)Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*)

Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0 Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều

nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau :

y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I)

y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II)

y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III)

y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) Đến đây, bài toán coi như được giải quyết

Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩnNếu các ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y

≤ z ≤ để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này Từ đó,dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

≤ z Ta có :

2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1

Thay x = 1 vào (3) ta có :1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2

=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị

của (1 ; 2 ; 2)

Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minhphương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình

Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x2 - 2y2 = 5 (4) Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ Thay x = 2k

+ 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được :

4k2 +4k + 1 - 2y2 = 5 tương đương 2(k2 + k - 1) = y2

=> y2 là số chẵn => y là số chẵn

Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :

2(k2 + k - 1) = 4t2 tương đương k(k + 1) = 2t2 + 1 (**) Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t2 + 1 là số lẻ => phương trình

(**) vô nghiệm

Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên

Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z

thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5)

Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyênliên tiếp (với x là số nguyên) Do đó : x3 - x chia hết cho 3 Tương tự y3 - y và z3 - z cũng chia hết cho 3 Từ đó ta có : x3 +

y3 + z3 - x - y - z chia hết cho 3

Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠

2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có

nghiệm nguyên

Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

xy + x - 2y = 3 (6)Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3 Vì x = 2không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:

y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2)

Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay

x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3 Từ

giá này => các giá trị nguyên của ẩn này

Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x2 - xy + y2 = 3 (7)

Lời giải : (7) tương đương với (x - y/2)2 = 3 - 3y2/4

Vì (x - y/2)2 ≥ 0 => 3 - 4y2/4 ≥ 0

=> -2 ≤ y ≤ 2 Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x

Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :

(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ;

(1 ; -1)}

Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệmnguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác Mong các bạn tiếp tụctrao đổi về vấn đề này Các bạn cũng thử giải một số phương

trình nghiệm nguyên sau đây : Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên :

a) x2 - 4 xy = 23 ; b) 3x - 3y + 2 = 0 ;