phương pháp giải toán ở THCS

Trong giai đoạn này cần kết hợp một cách hợp lý, vừa sức học sinh làm cho học sinh lĩnh hội đợc một hệ thống kiến thức đơn giản, có thể vận dụng về mặt thực tiễn với từng bớc bồi dỡng và

A - lời nói đầu

Bậc tiểu học là bậc học rất quan trọng trong việc đạt nền móng cho việc hình thành nhân cách ở học sinh trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học ban đầu về xã hội và tự nhiên, phát triển các năng lực nhận thức, trang bị các

ph-ơng pháp và kỹ năng ban đầu, về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn, bồi dỡng và phát huy các tình cảm, thói quen và đức tính tốt đẹp của con ngời Việt Nam Mục tiêu nói trên đợc thực hiện thông qua việc dạy học các môn học và thực hiện thông qua các hoạt động có định hớng theo yêu cầu giáo dục Trong các môn học ở tiểu học, cùng với môn Tiếng việt, môn Toán có vị trí rất quan trọng Bởi vì:

- Toán học với t cách là một khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực có một hệ thống kiến thức cơ bản của phơng pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết cho đời sống, sinh hoạt và lao động Đó cũng là những công cụ rất cần thiết để học các môn học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn

- Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn, nó có nhiều khả năng để phát triển t duy lô gíc bồi dỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực nh trừu tợng hoá, khái quát hoá, phân tích và tổng hợp, so sánh, dự đoán, chứng minh và bác bỏ Nó có vai trò to lớn trong việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác, nó có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông minh, t duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong việc hình thành

và rèn luyện nền nếp, phong cách và tác phong làm việc khoa học, rất cần thiết trong mọi lĩnh vực hoạt động của con ngời, góp phần giáo dục ý chí và những

đức tính tốt nh cần cuf, nhẫn nại, ý thức vợt khó khăn

Vì thế, đối với giáo viên vấn đề quan trọng không phải chỉ làm sao dạy đợc cho học sinh các kiến thức trong chơng trình mà còn là nắm vững khả năng giáo dục đó thông qua các biện pháp s phạm cụ thể nhằm góp phần đào tạo học sinh thành những con ngời có nhân cách phát triển toàn diện

Do những đặc điểm về phát triển t duy của lứa tuổi tiểu học, dạy và học

toán ở tiểu học phải là sự giáo dục toán học mạng lại mhữmg tri thức toán học sơ

đẳng cần thiết cho cuộc sỗng và phát triển phù hợp với lứa tuổi học sinh, đồng thời là một giai đoạn chuẩn bị quan trọng cho thực hiện quá trình giáo dục Toán học tiếp theo ở phổ thông Trong giai đoạn này cần kết hợp một cách hợp lý, vừa sức học sinh làm cho học sinh lĩnh hội đợc một hệ thống kiến thức đơn giản, có thể vận dụng về mặt thực tiễn với từng bớc bồi dỡng và rèn luyện các thao tác t duy, phát triển khả năng suy luận dựa vào trực giác và thực nghiệm, tạo tiền đề chuyển dần từ phơng pháp ít nhiều còn tính chất thực nghiệm mò mẫm( thử sai) sang phơng pháp suy luận của lôgíc hình thức Vì vậy việc sử dụng phơng pháp chung dới hình thức các thủ thuật thích hợp với lứa tuổi, đồng thời cũng mang lại kết quả mong muốn Do vậy, ở bài viết này tôi xin đợc trình bày về:

Các thủ thuật giải toán thờng dùng ở tiểu học

B- phần cơ bản

I) Phép giải từ cuối

Một dạng bài toán phổ biến ở tiểu học là các bài mà yếu tố cơ bản của bài toán đợc diễn đạt ít nhiều tờng minh dới dạng biểu thức toán học trong đó ẩn số( kí hiệu bằng dấu hay một chữ) đợc “ nguỵ trang” bởi một dãy phép tónh trong đó chỉ có phép tính đầu có ẩn số tham gia, các phép tính tiếp theo sau đợc thực hiện trên các số đã biết Muốn tìm ẩn số, cha thể sử dụng các phép biến đổi

đồng nhất nh thờng làm khi dùng phơng pháp đại số vì cha phù hợp với sự phát triển t duy của học sinh tiểu học Thủ thuật thích hợp ở đây là tớc bỏ dần từ phép tính cuối cùng những cái nguỵ trang nó và suy luận theo trình tự ngợc lên ẩn số

1 Ví dụ: Tìm một số mà thêm 2,1 rồi bớt 3,4 thì bằng 1,5

Dùng x thay cho ẩn số và diễn đạt đầu bài bằng ngôn ngữ kí hiệu, ta có biểu thức:

x+ 2,1- 3,4 = 1,5

Giáo viên giúp học sinh tính ngợc từ cuối nh sau:

Nếu không bớt 3,4 thì có số : 1,5+ 3,4 = 4,9

Nếu không thêm 2,1 thì có số: 4,9 - 2,1 = 2,8

Vậy 2,8 là số cần tìm.

Thử lại: 2,8 + 2,1 - 3,4 = 1,5

2 Ví dụ 2:( Lớp 2) Điền số thích hợp vào

+ 6 = 8

Học sinh sẽ giải từ cuối bằng suy luận: Nếu không thêm 6 thì ta đợc số:

8 - 6 = 2

Vậy 2 là số cần tìm

3 Ví dụ 3: ( lớp 3) Chỉ dùng một can 9 lít và một can 5 lít mà đong đợc một lít nớc

Đây là một bài toán suy luận nên giáo viên cần giúp học sinh đi từ phân tích

đến tổng hợp Qúa trình phân tích tìm thủ thuật giải diễn ra nh sau:

Ta tởng tợng trớc mắt cả hai can 9 lít và 5 lít đều không có nớc Nay ta giả thiết đã có một lít nớc trong cnan 5 lít Nếu ta lấy nớc đổ đầy can 9 lít rồi đổ vào can 5 lít cho đầy( sử dụng hết 4 lít) sau đó đổ ra rồi đổ tiếp lợng nớc còn lại trong can 9 lít thì vừa hết Tổng cộng hai lần đổ là: 4 + 5 = 9(lít) đó là cái đã biết trong đầu bài

Cách làm mô tả ở trên cho phép giải thực hiện theo trình tự ngợc lại:

Lấy đầy nớc vào can 5 lít rồi đổ hết sang can 9 lít, nh vậy ở can 9 lít lúc này

đã có 5 lít, tiếp tục múc đầy can 5 lít rồi đổ tiếp cho đầy can 9 lít( lần này chỉ sử dụng hết 4 lít) Nh vậy sẽ còn lại 1lít trong can 5 lít- Đó chính là cái cần tìm Ta

có thể biểu diễn qua hình vẽ sau:

9 lít 9 lít đầy

5 lít can can 5 lít 5 lít 5 lít còn 1l 1lít can

4 Ví dụ 4: Một ngời bán trúng, lần thứ nhất bán đợc nửa số trứng hiện có

và 0,5 quả trứng Lần thứ hai bán nửa số trứng còn lại và 0,5 quả Lần thứ ba bán nửa số trứng còn lại và 0,5 quả trứng thì vừa hết Hỏi ngời đó đã bán mỗi lần bao nhiêu quả trứng?

ở bài toán này giáo viên cần giúp học sinh tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng rồi giải ngợc từ cuối

Theo đề bài ra ta có:

0,5q 0,5q 0,5q

Lần 1 Lần 2 Lần 3

Nh vậy lần 3 bán ẵ số trứng còn lại và 0,5 quả thì hết, do đó 1/2 số trứng đó chính là 0,5 quả

Suy ra, số trứng bán lần 3 là: 0,5 + 0,5 = 1 (quả)

Lần 2 bán 1/2 số trứng còn lại sau khi bán lần 1 và 0,5 quả Vì vậy số trúng bán lần 2 bằng số trứng bán lần 3 + 0,5 quả + 0,5 quả Tức là:

1 + 0,5 + 0,5 = 2 (quả)

Lần 1 bán 1/2 số trứng hiện có và 0,5 quả, cho nên số trứng bán lần 1 sẽ bằng số trứng bán lần hai cộng lần ba + 0,5 + 0,5 tức là:

1 + 2 + 0,5 + 0,5 = 4 ( quả)

Đáp số: Lần 1 bán 4 quả

Lần 2 bán 2 quả

Lần 3 bán 1 quả

II) Phép thử - sai hay thử- chọn

Thử- sai là một thủ thuật mò mẫm, thử thấy yếu tố này không phù hợp thì thử yếu tố khác ( trong tập hợp các yếu tố cho phép) cho đến khi chọn đợc yếu tố phù hợp Có thể coi phép thử- sai là một dạng của phép phân tích sàng lọc Nhợc

điểm của nó là khi bài toán có nhiều lời giải thì có khả năng bỏ sót lời giải Trong trờng hợp dễ học sinh có thể hình dung ra để xem xét tất cả các trờng hợp

có thể để áp dungj phép thử- sai thì nó có giá trị nh phép quy nạp hoàn toàn và có thể coi là phép chứng minh ở tiểu học Tuy nhiên, yêu cầu đó không phải là bắt buộc đối với học sinh tiểu học nên có thể gợi ra cho học sinh khá giỏi mà thôi

Ví dụ 1: Điền số thích hợp vào

< 6 ; 10 < < 15 ; 18 < < 20

Trong trờng hợp thứ 3 chỉ có 1 nghiêmk duy nhất là 19 nên học sinh sẽ tìm

ra một cách dễ dàng Cong đối với hai trờng hợp đầu, các em thờng chỉ tìm ra 1-

2 nghiệm Nếu giáo viên gợi cho các em sử dụng tia số để hỗ trợ suy luận thì các

em có thể tìm ra các nghiệm khác

ở ví dụ a: < 6

Ta biễu diễn tia số sau:

Vậy x= 0; 1; 2; 3; 4; 5 6 Đây là các số cần tìm

Ví dụ b: 10 < < 15

Ta biễu diễn trên tia số sau:

Vậy số cần tìm là 11; 12; 13; 14

Ví dụ 2: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng hai số bằng 9 và chữ số này gấp

2 lần chữ số kia

Bài toán này khó vì có nhiều điều kiện, việc giải đợc thực hiện bằng các bớc sau:

+ Phân tích 9 thành tổng hai số, ta có thể tìm ra tất cả các trờng hợp có thể

có nh sau

( không viết các kết quả giáo hoán)

9 = 0+9 = 1+8 = 2+7 = 3+6 = 4+5 Hai số cần tìm có thể là một trong các cặp

(0,9); (1,8); (2,7); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (7,2); (8,1); (9,0)

+ Trờng hợp 1 loại vì trong số tự nhiên chữ số 0 đứng đầu không có giá trị Tất cả các số trong tập hợp các số cần thử- sai là:

18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90

+ Vì chữ số này gấp 2 lần chữ số kia nên ta chọn đợc 2 số là: 36 và 63

Nh vậy bài toán đã đợc giải

III) Phép khử ẩn số.

Việc đa các yếu tố vào tiểu học với việc dùng chữ thay số, giải phơng trình

và bất phơng trình đơn giản bao hàm yêu cầu làm cho học sinh tiểu học sớmtiếp cận với các phơng pháp mới một cách thích hợp với sự phát triển t duy của các

em Một trong các thủ thuật của phơng pháp mới đó là phép khử ẩn số Khi sử dụng phép khử ẩn số ở tiểu học, cần nắm thực chất của nó và dựa vào các suy

luận vừa sức gần gũi để học sinh có thể cảm nhận đợc ý nghĩa của nó.

Ví dụ 1: Có một số hộp bánh và một số gói kẹo nh nhau Hai hộp bánh và 4 gói kẹo nặng hơn 1 kg 800g Hia hộp bánh và 7 gói kẹo nặng 2kg 400g Tính xem 9 gói kẹo nặng bao nhiêu?

Ta có: 2 (hộp bánh) + 4 ( gói kẹo) = 1800g (1)

2 (hộp bánh) + 7 (gói kẹo) = 2400g (2)

So sánh ta thấy, ở hai trờng hộp đều có số hộp bánh ngang nhau nhng số gói kẹo lại khác nhau Nếu bỏ ở (2) đi 4 gói kẹo thì chỉ còn 3 gói kẹo (7-4) và khối l-ợng chỉ còn:

2400- 1800 = 600g 600g này là khối lợng của 3 gói kẹo

Vậy 1 gói kẹo nặng: 600: 3 = 200(g)

9 gói kẹo nặng: 200 x 9 = 1800(g)

Đáp số: 1800(g)

Nh vậy bài toám đã đợc giải xong ở bài này chúng ta đã sử dụng phép khử

ẩn số bằng phép trừ

Ví dụ 2: Tuổi của Tùng bằng 1/9 tuổi của ông và bằng 1/5 tuổi của bố Ông hơn bố 32 tuổi Hỏi Tùng bao nhiêu tuổi?

Ta sẽ tóm tắt bài toán nh sau:

Tuổi Tùng = 1/9 tuổi ông (1)

Tuổi Tùng = 1/5 tuổi bố (2)

Tuổi ông - tuổi bố = 32 tuổi (3)

Việc giải bài toán bắt đầu bằng việc biến đổi các điều kiện để dễ xử lý hơn

Ta có:

Tuổi Tùng x 9= Tuổi ông ( 1)

Tuổi Tùng x 5= Tuổi bố (2)

Tuổi ông - Tuổi bố = 32 tuổi (3)

Giải:

Vì tuổi ông và tuổi bố đều đợc diễn đạt qua tuổi Tùng nên có thể dùng tuổi tùng làm số đo chung Thay tuổi ông bằng( 1) và tuổi bố bằng (2) vào(3) thì đợc:

Tuổi Tùng x 9 - tuổi Tùng x5 = 32

hay: Tuổi Tùng x4 = 32

Vậy Tuổi Tùng là 32 : 4 = 8 (tuổi)

Đáp số: 8 (tuổi)

Nh vậy, bài toán này sử dụng phép khử bằng quy về số đo chung, nó là một dạng của phép khử ẩn số bằng phép thế

IV) Thủ thuật tìm lời giải bằng sơ đồ

Do tính chất đơn giản của đại bộ phận các bài toán ở tiểu học nên các dữ kiện và điều kiện của chungs có thể diễn đạt trực quan bằng sơ đồ đoạn thẳng, loại sơ đồ này dùng phổ biến làm chỗ dựa cho việc tòm, kế hoạch giải bài toán hoặc một phần bài toán Đặc biệt sơ đồ đoạn thẳng là công cụ trực quan đợc sử dụng trong việc giải hầu hết các bài toán thờng gọi là các bài toán “ điển hình” ở tiểu học Chẳng hạn bài toán sau:

Tuổi con bằng 2/9 tuổi mẹ Con kém mẹ 25 tuổi Hỏi con bao nhiêu tuổi,

mẹ bao nhiêu tuổi?

Bìa này là dạng toán” Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng” Do đó, ta

sử dụng sơ đồ đoạn thẳng biểu diễn tuổi mẹ làm 9 phần, đoạn thẳng ứng với tuổi con làm 2 phần thì các phần này sẽ là các đoạn thẳng nhỏ bằng nhau và khoảng chênh lệch ứng với đoạn thẳng nhỏ nói trên làm số đo chung để tìm ra kế hoạch giải

Tuổi con 28 tuổi

Tuổi mẹ

Tuổi con là: 28 : (9-2) x 2 - 8 ( tuổi)

Tuổi mẹ là: 28 + 8 = 36 ( tuổi)

Trong nhiều bài toán có liên quan đến việc so sánh xếp thứ tự, việc dùng tia

số thay cho sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn các số và quan hệ giữa các số tỏ ra thích hợp và mạng lại kết quả tốt hơn

Ví dụ: a Điền số thích hợp vào ô trống

30 < < 23

b) Tìm tất cả những số hơn 30 nhng bé hơn 33

Học sinh vẽ tia số và biểu diễn các số đó trên tia số nh sau:

Vậy số cần tìm là 31; 32; 33

Ví dụ 2: Tìm 2 số tự nhiên liền nhau a và b biết: a) a< 9, 111< b

b) a< 33, 99< b Giáo viên hớng dẫn học sinh biểu diễn các số thập phân trên trục số:

a) 9,111

9 10

Vậy số cần tìm là 9 và 10

b) 33,99

33 34

Vậy 2 số cần tìm là 33 và 34

* Các bài toán mà việc giải đòi hỏi phải xét các trờng hợp khác nhau, mỗi trờng hợp này lại bao gồm những trờng hợp khác và tiếp tục nh vậy tạo ra những quan hệ phân nhánh thể hiện trên sơ đồ thì việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng không thích hợp Đó thờng là những bài toán khó đối với lứa tuổi này Tuy nhiên trong các trờng hợp đơn giản có thể hớng dẫn học sinh ở các lớp trên sử dụng sơ đồ thichs hợp là sơ đồ cây để hỗ trợ việc suy luận khi tìm cách giải

Ví dụ: Với 3 chữ số 7;5;9 Hãy viết tất cả các số khác nhau có 3 chữ số đó mỗi chữ số chỉ viết 1 lần

Giải:

Vì mỗi chữ số trong 3 số trên đều có thể là chữ số hàng trăm Do đó có 3 khả năng nh vậy

Sau khi đã chọn 1 chữ số để viết ở hàng trăm thì chỉ còn 2 chữ số có thể chọn để viết ở hàng chục

Nh vậy mỗi chữ số ở hàng trăm kết hợp theo 2 cách( ứng với 2 chữ số còn lại) với một trong chữ số đó ở hàng chục Do đó có tất cả 3 x 2 = 6 trờng hợp khác nhau nhng điều có khả năng xảy ra Sau khi viết chữ số hàng chục ở mỗi

tr-ờng hợp trong số 6 trtr-ờng hợp nói trên chỉ còn một khả năng duy nhất là sử dụng nốt chữ số 3 còn lại để viết ở hàng đơn vị Nh vậy có 3 x 2 x 1 cách viết khác nhau theo điều kiện của bài:

Ta có: 5- 9 = 759

7 - 9 - 5 = 795

7 - 9 = 579

5 - 9 - 7 = 597

7 - 5 = 957

9 - 7 - 5 = 975

Các số viết đợc từ 3 chữ số trên là:

759 ; 795 ; 579 ; 597 ; 957 ; 975

V) Lực chọn và kết hợp các phép giải

Các bài toán thờng có nhiều cách giải, có bài toán khi giải bằng cách này thì đơn giản nhng khi giải bằng cách khác lại phức tạp, có những bài toán khi giải bằng phép khử ẩn số thì đơn giản và tổng quát hơn cách giải bằng phép thử chọn, hay sử dụng sơ đồ, nhng học sinh lại cha sử dụng đợc Có bài sử dụng phép giải nào đó thì đơn giản trong khi giải bằng các phép tính khác lại rất phức tạp

Ví dụ: X + 2,1 - 3,4 = 1,5

Bài này thật đơn giản đối với học sinh lớp 8 nhng không đơn giản đối với học sinh tiểu học, trong khi phép giải từ cuối thích hợp với học sinh trung bình trở lên, còn các phép giải khác có thể sử dụng ở tiểu học nh: Thử chọn khử ẩn số

đại khó mang lại kết quả

Cần chú ý rằng chỉ luyện tập giải toán qua các bài giải mẫu chứ không mang lại hiệu quả lâu dài trái lại khi điều khiển quá trình dạy học sinh giải toán phải làm sao khêu gợi đợc cho học sinh coó gắng tự tìm ra cách giải, tự tìm ra các thủ thuật thích hợp, biết mò mẫm, quan sát, phỏng đoán, huy động các kinh nghiệm đã có để tìm ra lời giải theo tinh thần đó, không thể coi trọng việc học sinh tìm ra đáp số hơn là việc tìm hiểu xem học sinh đi đến đáp số bằng các

ph-ơng pháp, thủ thuật nào, có biện pháp giúp các em nắm đợc các phph-ơng pháp, thủ thuật từ mức độ đơn sơ đến dần dần hoàn chỉnh

Nhiều bài toán ở tiểu học có những điều kiện tơng đối đơn giản có thể diễn

đạt bằng các phơng trình bậc nhất có một ẩn số Việc hớng dẫn các em trớc hết

là học sinh khá giỏi biết từng bớc dùng chữ số thay số cần tìm, diễn đạt quan hệ bài toán bằng phơng trình và giải nó bằng các thủ thuật thích hợp, vừa sức với các em là điều cần chú ý

Ví dụ: Phải bớt đi ở 17 và 7 cùng một số nào để có một số gấp 6 lần số kia.’

Học sinh sử dụng phép thử - chọn và tìm ra đáp số là 5 (Đối với học sinh lớp 3)

Lên lớp 4, khi các em đã học về quy tắc nhân một số với một hiệu, h/s có thể giải bài toán này bằng phơng trình sau:

17 - x = 6 x (7-x)

17 - x = 42 - 6x Kết hợp với sơ đồ đoạn thẳng

x

x

=> 6x - x = 42 - 17

5x = 25

vậy x = 5

C Kết Luận

Tóm lại: để học sinh có thể vận dụng các thủ thuật vào giải toán một cách thuần thục, ngời giáo viên phải giúp học sinh nắm đợc các dạng toán Từ cần khắc sâu để các em nhớ đợc khi nào cần sử dụng phơng pháp giải này là phù hợp, khi nào phải sử dụng phơng pháp kia mới tối u Bởi vì một bài toán thờng có nhiều cách giải khác nhau nhng biết sử dụng cách giải nào nhanh và hay nhất lại

là cả một quá trình rèn luyện mới có đợc

Với học sinh tiểu học của chúng ta , t duy của các em cha đợc trừu tợng, mọi cái cần phải cụ thể , rõ ràng thì việc rèn luyện đa ra nhiều cách giải để chọn cách giải hay nhất là rất cần thiết khi các em đã thuộc cách giải cho từng dạng