Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS đông hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo

A- ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình môn đại số cấp THCS có những bài toán , dạng toán mà đối với học sinh luôn mới mẻ và khó quá , khi các em gặp dạng này gần nhưmất

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình môn đại số cấp THCS có những bài toán , dạng toán

mà đối với học sinh luôn mới mẻ và khó quá , khi các em gặp dạng này gần nhưmất phương hướng giải và có cảm giác “ngợp” Song nó cũng rất đơn giản nếu

ta như ta có cách nhìn thích hợp - khai thác các vai trò của các “chữ “ có mặttrong bài toán đó, lúc đó ta sẽ tìm ra được những lời giải hết sức thú vị và phongphú, và ta mới hiểu được sự đang dạng của mỗi bài toán Hoặc có thể chúng tachú ý đến những trường hợp đặc biệt của một vấn đề nào đó trong chương trìnhhọc , nó cũng có thể giúp ta khai thác được cách giải hợp lý cũng như đó làđường lối làm bài toán hết sức thú vị

Chẳng hạn, giải và biện luận phương trình: -2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1= 0(x là ẩn) Nếu ta xem x là ẩn thì phương trình trên là phương trình bậc 3 đầy đủ, cách giải hết sức khó khăn với cấp học THCS Song ta nhìn vào các chức cótham gia vào phương trình và các chức này có vai trò như nhau thì vấn đề giảihết sức đơn giản.(Phần này sẽ được trình bầy kĩ hơn ở phần sau)

Thực ra lời giải bài toán có phong phú hay không là do cách nhìn bài toáncủa chúng ta, có những nhà toán học thường nói có cái nhìn, góc nhìn “chếtngười” và cũng có cái nhìn “nẩy lữa” Song cũng có những quan điểm khácnhau, có nhiều khi ta phải xuất phát từ những trường hợp “ hẩm hưu, bất hạnh” ,

ví dụ như: tìm nghiệm duy nhất của một hệ phương trình nào đó thì giã sử cónghiệm là (x,y,z) là duy nhất thì bộ nghiệm (-x,-y,-z) cũng là nghiệm, nên cóx=-x,y=-y,z=-z hay x=y=z=0

Trong chương trình cấp học THCS để đưa đến một cách giải hay , thì theobản thân tôi đều do bản thân có cách nhìn thích hợp, và quan niệm về các chữ cómặt trong bài toán đều có vai trò như nhau Đây là vấn đề hết sức chú ý cho họcsinh khi giải bài toán và theo tôi thiết nghĩ đó cũng có thể coi là một phương

pháp Chính vì vậy tôi chọn đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS

Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo để

giải quyết những vướng mắc của học sinh, đồng thời tạo cho các em có một cáchnhìn toàn diện và khai thác triệt để những vấn đề được coi là đặc biệt

II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Căn cứ vào những yêu cầu trên thì bản thân phải có những qui trìnhgiải một cách tổng quát, hoặc phải đưa ra được những ví dụ điểm hình để minhchứng vấn đề mà bản thân đặt ra Thực ra chúng ta phải cho học sinh nắm đượctrong một biểu thức (phương trình) có chứa chữ thì vai trò của các chữ hay ẩn lànhư nhau, tuỳ theo cách nghỉ của từng người, từng dạng bài toán, và đây là vấn

đề xem là then chốt - cũng có thể phải sử dụng vài tính chẵn lẻ của hàm số

Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, qua các bài tập rènluyện cho học sinh tính tư duy tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mìnhtìm tòi ra kiến thức mới, những phương pháp mới những thủ thuật đặc trưng đểgiải toán từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê với môn học và pháthuy năng lực của các em khi giải toán.

Đào sâu hơn nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp họcsinh nắm được các phương pháp phân tích, rèn kỹ năng áp dụng vào giải toánloại có liên quan đến có liên

quan đến những trường hợp riêng, đặc biệt trong quá trình học, nhằm pháttriển năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh

Qua bài tập áp dụng rèn cho các em cách nhìn, góc nhìn và có thể quanniện “thoáng” về các biến trong một biểu thức, phương trình, hệ phương trình….nhằm phát huy trí tuệ của học sinh, kỹ năng vận dụng những kiến thức đã học vànhững kiến thức tiếp theo, tư duy lôgic toán học từ đó nâng cao chất lượng giáodục để sau khi tốt nghiệp trung học cơ sở các em có một hành trang vững vàngmọi mặt để bước tiếp con đường dẫn đến tương lai tươi sáng của các em gópphần làm cho xã hội ngày càng phát triển đáp ứng được nhu cầu công nghiệphóa, hiện đại hóa của thế giới

III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:

Do điều kiện về thời gian nghiên cứu , cho nên đề tài này đề cập đếnđối tượng học sinh khá giỏi ở khối 9

IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm

-

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

2

A- NỘI DUNG

I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Trong quá trình học tập về giải và biện luận phương trình bậc nhát một

ẩn ở môn đại số lớp 8 (Hoặc giải và biện luận hệ phương trình ở đại số 9 ).Chúng ta có thể tóm tắt cách giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩnnhư sau:

Ta cho phương trình ax=b (1)

- Nếu a≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x=

a b

- Nếu a = 0 và b≠0 thì phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình (1) trở thành 0x = 0 và có vô sốnghiệm

Ở trường hợp thứ ba này ta coi nó là trường hợp “hẩm hưu và bấthạnh” nhất ví nó ít gặp và rất ít quan tâm Những cũng chính trường hợp “hẩm hưu và bất hạnh” này nếu ta suy rộng ra một chút , nhìn sâu hơn mộtchút thì sự hẩm hưu” đó, “bất hạnh” đó trở nên một kết quả tuyết vời và hếtsức thú vị đến bất ngờ Thực vậy khi a=0 và b=0 thì giá trị của x muốn lấybao nhiêu cũng được , hay nói cách khác đẳng thức (1) xẩy ra với mọi giá trị

x ∈R

Vâng ! quả vậy chúng ta đi theo trường hợp này, nếu ta thay a và bbằng hai biểu thức chứa chữ ( hay chứa ẩn ) còn x ta coi như một biến sốtham gia và đẳng thức (1) thì ta sẽ thu được dạng mới là: m.A(x,y) +B(x,y) =

0 (2) Cúng như đẳng thức trên ta thấy (2) sảy ra với mọi m khi và chỉ khi

,

(

0 )

Cũng như vấn đè đặt ra, việc xem như a,b là chữ thay bằng biểu thứcchứa ẩn , còn x coi như một biến số Đây cũng chính là việc quan niệm vaitrò của các chữ , các ẩn là bình đẳng , mà ta có thể coi đây là vấn đề tế nhị vàtinh tế

II/ THỰC TRẠNG:

kết quả khảo sát học tập của học sinh trường THCS Đông Hương khi thựchiện sáng kiến kinh nghiệm:

III/ NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ ĐỂ MINH HOẠ:

Bài toán 1: Tìm tất cả giá trị của a và b để hệ phương trình sau có

= +

= +

4

2 2 2

2

z y x

b z xyz

a z xyz

Nếu như trong việc giải và biện luận hệ phương trình thì ta có thể sử dụngtính chẳn lẻ của hàm số Cụ thể trong bài này, không ít học sinh lúng túng vàkhông tìm ra hướng giải quyết Song đây không phải là bài toán giả và biệnluận hệ bình thường mà để giải bài toán này ta phải suy luận chặt chẽ, và sửdụng ngay tính chẳn lẽ của hàm số Trước hết ta cần tìm a , b để hệ cónghiệm day nhất

a, Điều kiện cần: Nếu (x0,y0,z0) là nghiệm của hệ thì (-x0,-y0,-z0) cũng là

nghiệm của hệ Và hệ có nghiệm day nhất nên ta có: x0=-x0; y0=-y0; z0=-z0Thay vào hệ ta có

z

b z

a z

vậy z0=2 hoặc z0=-2 do đó (a,b)=(2,2) hoặc (a,b)=(-2,-2)

= +

= +

(*) 4

(*) 2

(*) 2

2 2 2

2

z y x

z xyz

z xyz

Hệ có nghiệm (0,0,2)

Từ (*) và (**) suy ra: xy(z2-z)=0 Nếu x=0 thì từ (**) và (***) suy ra z=z vày=0 Đây là nghiệm đã biết Nếu y=0 ta cũng suy ra được nghiệm đó bằngcách lập luận tương tự

-

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

4

Bây giờ nếu z2-z=0 ⇔z=0 hoặc z=1 Nhưng z=0 thì mâu thuẩn với (*) và

= 3

1

2

2 y x

−

= +

−

= +

4 2 2

2 2 2

2

z y x

z xyz

z xyz

hệ có nghiệm (0,0,-2)

Vậy lập luận tương tự ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất (0,0,-2) khi a=b=-2

Bài toán 2: Giải phương trình:

-2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1 = 0 (1)

Nếu ta xem x là ẩn thì đây là phương trình bậc 3 đầy đủ, cách giải rất khókhăn đối với bậc học Vậy ta nhìn vào vai trò của các chữ x, m trong phươngtrình và quan niệm nó có vai trò như nhau , khi đó gọi m là ẩn ta có :

m2- 2(x2- x) m -2x3-1 = 0 (2) giải phương trình nay ta có: ∆= (x2-1)2 khi đó m1,2= x2-x±(x2-1)

2 , 1

∆ m Phương trình vô nghiệm

Hai phương trình (1), (2) có nghiệm chung: 1-x=2x2-x-1 hay x2=1 nên x=

x là tham số tham gia và phương trình như vậy ta viết phương trình (1)dưới dạng sau: a2 − 2 (x2 − 1 )a+x4 − 6x2 + 4x = 0 (2)

∆ ' = ( 2x− 1 ) 2 2 1 ( 2 1 )

2 ,

⇔a x x và đưa đến giải hai phương trìnhbậc hai: x2 + 2x−a− 2 = 0 (3) và x2 − 2x−a = 0 (4)

Điều kiện để (3) có nghiệm là 3 +a≥ 0 ⇔ x1,2 = − 1 ± 3 +a

Điều kiện để (4) có nghiệm là 1 +a≥ 0 ⇔ x3,4 = 1 ± 1 +a

Kết quả: Nếu a<-3 (1) vô nghiệm

Nếu a=-3 (1) có một nghiệm x=-1

Nếu -3<a<-1 (1) có hai nghiệm x1,2 = − 1 ± 3 +a

Nếu a=-1 (1) có ba nghiệm x1,2 = − 1 ± 2 và x3=1

Nếu a>-1 (1) có bốn nghiệm x1,2 = − 1 ± 3 +a ;

a

x3,4 = 1 ± 1 +

Bài toán 4: Chứng minh rằng các đường thẳng sau luôn đi qua một

điểm cố định khi a thay đổi: (a− 1 )y− (a+ 1 )x+a+ 5 = 0(1)

Giả sử có điểm cố định M(x0,y0) thoả mãn yêu cầu của đề bài toán thìđẳng thức (a− 1 )y0 − (a+ 1 )x0+a+ 5 = 0 (2) sẽ thoả mãn mọi giá trị của a.Nếu coi a là ẩn của phương trình đó, ta cố gắng đưa về dạng

0 ) , ( ) ,

(x0 y0 +B x0 y0 =

aA phương trình này muốn có vô số nghiệm khi và chỉkhi A(x0,y0) = 0 ;B(x0,y0) = 0 Đó chính là hệ phương trình cho phép tìmđược điểm cố định , như vậy có tìm được điểm cố định hay không là taphải nhờ vào việc hệ phương trình

0 ) , (

0 0

0 0

y x B

y x A

có nghiệm hay không.Quả là thú vị khi tìm điểm cố định của mộ đường thẳng lại liên quan đếnnghiệm của hệ phương trình Trở lại bài toán ta biến đổi:

−

⇔

0 5

0 1

0 0

0 0

x y

x y

0 0

x y

x y

Với cách làm trên thì ta xây dựng được phương pháp tìm điểm cố định

mà đồ thị hàm số đi qua

Cũng như việc quan niệm trên về các chữ có mặt trong phương trình ,

ta làm bài toán sau:

Bài toán 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:

P= 4x4 −x2y2 + 2x2y−x2 + 2xy− 2x− 1

-

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

6

Nếu ta để như thế này rất khó hình dung được, vì các số hạng không cónhư tử chung Ta dựa vào cách “nhìn” linh hoạt xem như bậc 2 đối vớibiến y nên ta nghỉ ngay đến phương pháp phân tích thành nhân tử dựa vàohằng đẳng thức Thật vậy:

Đến đây ta xem như phân tích đã xong, những còn vấn đề hai nhân tử

đó khi phân tích thì như thế nào ? Song việc hai tam thức bậc hai trên có

phải là bất khả qui trên trường số R hay chứa ? Việc đó trong đề tài này ta

không có nghiệm ( k nguyên dương )

Riêng bài này ta dùng vào tính chẵn lẽ mà biện luận Thực vậy ta có

199393 là một số lẽ, do vậy xy cũng lẻ , hay x và y lẽ , cho nên xk,yk là số

lẻ Vì vậy

xk+yk là số chẵn trong khi đó 931994 là số lẻ Mâu thuẩn Vậy hệ phươngtrình đã cho không có nghiệm

Bài toán 7: Chứng minh rằng các đường parabol sau luôn đi qua

điểm cố định khi m thay đổi: y=x2 + 2 (m+ 1 )x+m− 5

= +

4 23 2 1 0

5 2

0 1 2

2

y

x y

x x

1 ( −

ax x x y

2 3 2

2 3 2

4 4

Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình, khi đó (y,x) cũng là nghiệmcủa hệ phương trình đó Do vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y Từ đósay ra

0 ) 5 ( 0

3 − x +ax = ⇔ x x − x+a =

Nếu x=0 thì x=y=o Muốn cho hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình

x2-5x+a = 0 (*) hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm bằng 0

ở bài toán này , yêu cầu chúng ta phải có cách nhìn tinh tế và sâu sắc

Nếu chúng ta chỉ nghỉ rằng phải khai triển thì chắc có lẻ rất rối rấm và

khó tìm lời giải Song nếu ta có nhận xét như sau, ở vế phải có dạng

(a+b-2x) có liên quan gì đến vế trái hay không ? mà sự liên quan đó như thế

nào ? Thật vậy ta có (a-x) +(b-x) = (a+b-2x) , đây là mấu chốt của việc

giải phương trình này Do đó phương trình đã cho viết thành:

[( ) ( )] ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) )

( )

) 2 )(

Đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có điều kiện, vậy miền giá trị

của S chính là những giá trị của S thoả mãn hệ phương trình sau có

nghiệm

2

1 1

2 ) (

2 2

2 2

y x y x y x S

y x

Vậy S Max= 2 ; SMin=− 2 Khi đó ta tìm được x và y

Bài toán 11: Giải phương trình

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

8

Nếu sử dụng phương pháp giải phương trình bậc bốn bằng cách phân

) 1 2 ( 1 1

4 4 1 4

6 1

2

2 2

(*) 0 2

Bài toán 12: Cho phương trình

x4 − 10x3 − 2 (a− 11 )x2 + 2 ( 5a+ 6 )x+ 2a+a2 = 0 (10)

a Giải phương trình khi a = 2

b Giải và biện luận theo tham số aĐây là phương trình bậc 2 đối với x và có tham số a tham dự vào phươngtrình

Trước hết ta xem xét câu a: ở đây ta chỉ việc thay a = 2 vào phương trình

0 4 0

x x

x

khi

đó ta có nghiệm của phương trình như sau: x1 = 0 ;x2 = 4 ;x3 = 3 − 7 ;x4 = 3 + 7

như vậy phương trình (10) có 4 nghiệm khi a= 2

Câu b: Để giải và biện luận phương trình này, chúng ta chưa có đường lối

cụ thể với phương trình bậc bốn Nhưng nhờ có cách nhìn sáng tạo và vai trò củacác chữ trong phương trình là như nhau nên ta có thể coi phương trình (10) dướiphương trình ẩn là a và ta có: a2 + 2 ( 1 + 5x−x2 )a+ (x4 − 10x3 + 22x2 + 12x) = 0 (10’)

Xem (10’) là phương trình bậc hai của a ta có:

2 2

2 3

4 2

5 1

6 (a−x2 + x a−x2 + x+ =

(*) 0 6

2

2

a x x

a x x

Khi này ta giải vàbiện luận các phương trình (*)và v (**) theo tham số a.t

Tóm lại thông qua sơ đồ sau:

-

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

3

4 + bx + cx + dx + e = a ≠

ax

(*) 02

2 + ct + e =

at ( 2 + 12)+ ( + 1)+c=0

x x b x x

x x b x x a

0

2 + bt + c =

Bài toán 13: Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm

1999x4 + 1998x3 + 2000x2 + 1997x+ 1999 = 0 (11)

(Thi Học sinh giỏi quận i TPHCM 1998T-1999 )

Để chứng minh phương trình này vô nghiệm ta làm như thế nào? nên xuấtphát từ đâu? đâu có như các dạng phương trình đã được học Nhưng nếu tachọn một khoảng nào đó mà xét thì thấy nó cũng đâu là hướng đi thích hợpchăng! Thật vậy ta có:

* Nếu x≥ 0: Thì vế trái là dương

* Nếu − 1 ≤ x< 0: Vế trái lúc này vẫn dương nếu ta nhóm hợp lý

* Nếu x< − 1: Vế trái dương bằng cách nhóm hợp lý Chỉ cần xét một khoảng hợp lý nào đó (như trên n) thì nhận thấy phươngtrình (11) vô nghiệm ∀x

Hay chúng ta đi xét một ví dụ về phương trình trùng phương sau:

Bài toán 14: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có ba

nghiệm phân biệt: x4 − 2 (a2 +b2 − 1 )x2 + (a2 −b2 + 1 ) 2 − 4a2 = 0 (12)

ở bài toán này thì ta đưa về phương trình bậc hai khi ta đặt t = x2 ≥ 0 Khi

đó phương trình (12) ⇔t2 − 2 (a2 +b2 − 1 )t+ (a2 −b2 + 1 ) 2 − 4a2 = 0 (12’)

Như thế, để cho phương trình (12) có ba nghiệm phân biệt thì phương

trình (12’) phải có thoả mãn điều kiện:

2

1

t t

= +

− +

=

⇔

= + +

1 ) ( 2 ) 1 (

4 4 ) 1 (

) 1 (

'

2 2

2 2

2 2

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2

b a ab b

a t

b a ab b

a t b a a b

a b

a

Do t2 > 0 với mọi a, b do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân



 +

) 1 )(

1 (

0 1 ) (

2

a b

b a b

a b a a

a

Ngoài ra còn một số cách nưa như giải phương trình bằng phương pháp

đồ thị thì ta chuyển phương trình: x4 +ax3 +bx2 +cx+d = 0(I) bằng cách ta đặt

− + + +

+

=

(**) )

1 4 ( ) 2 8 2 (

(*) 2

2 3

2 2

4

d y

a b x c ab a a y x

x

a x y

Hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị của (*)và của đường tròn đồthị v (**)là nghiệm của phương trình l (I) Hay chúng ta cũng có thể xây dựngđược công thức nghiệm

Do thời gian không cho phép nên trong bài viết này tôi chỉ nêu ra haiphương pháp để giải phương trình bậc bốn mà trong quá trình giảng bản thân đãtích luỹ củng như thường xuyên phải sử lý bằng những cách giải trên là cơ bản

Bài toán 16: Cho bốn số thực u, v,x,y sao cho u2 + v2 = 1 và x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng: - 2≤ u ( y - x ) + v (x + y ) ≤ 2

Nếu ta đã quen biết với việc chứng minh bất đẳng thức , thì ta lại có thể có ý nghĩ liên hệ khác Ta lần lướt qua trong đầu các bất đẳng thức : Bất đẳng thức Cô-si à ? Bất đẳng thức Cô-si chỉ phát biểu cho số dương thôi ở đây u,v,x,y là những số thực mà !

Đến đây ta nhìn nó giông giống cái bất đẳng thức của ta ? Và ta đặt thử A = u, C

= y-x, B = v, D = y+x Quả nhiên ta có lời giải thứ nhất:

Đặt như ta vừa nói, theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

] ) ( ) )[(

(u2 +v2 y−x 2 + y+x 2 ≥ P ≥ - (u2 +v2 )[(y−x) 2 + (y+x) 2 ]

hay 1 (y2 +x2 +y2 +x2 ) ≥ P ≥ - 1 (y2 +x2 + y2 +x2 ) hay 2 ≥ P ≥ - 2

(đpcm)

Ta lại suy nghĩ về cái biểu thức P Ta thử "phá ngoặc" ra xem sao:

P = uy - ux + vx + vy = (uy + vx) + (vy - ux)

Nếu ta đặt A = (uy + vx), B = (vy - ux) , ta có P = A + B

Mà:

-

Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán

thông qua cách nhìn sáng tạo

12