chuyen đề toán hình hhocj không gian

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNGBổ sung : Sử dụng định nghĩa : Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Nếu đường thẳng aP ( )P thì mọi đường thẳng b ( )P đều vuông góc với a.

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đó.



Phương pháp 1( ĐL 1 - tr 97)

P c b a

Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

 Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o

b H

Q P

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

1) Góc giữa hai đường thẳng : Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d1’

và d2’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó

trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

a

a ' a

P

3) Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

a b

P

Q

Q R

P

Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ

việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q.

Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q

B

B '

C ' C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)

1 Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD

S

1.a/ * CMR: MN BD

+) Ta có: SAB SAD AM AN (2 đường cao tương ứng)

 BM ND (do MAB NAD)

2 Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2, AB = a

+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC

a/ Vì ABBC và ABCD nên ABmp BCD 

Mặt khác BCCD nên ACCD (định lý ba đường vuông góc)

Vậy AD2 AC2 CD2 AB2 BC2 CD2

tức là: AD a2 b2 c2

b/ Vì ABD ACD   90 0 nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD

Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)

Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC

A' H

H là trực tâm của tam giác ABC

* Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì AK BC, mặt khác OABC nên

BC AOK , suy ra BCOK Tương tự như trên ta cũng có: ABOK Vậy OK ABC, tức là K trùng với H

c/ Nếu AH BC tại A thì BCOA

Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA(vuông tại O) và OA là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên

Cho hình chóp S.ABC có SA mp ABC, các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H

và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng:

C S

Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A

b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH AC, mà BH SA nên BH SC

Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên BK SC

H

Kẻ SH mp ABC , do SA SB SC  nên ta có HA HB HC 

Mặt khác, ABC là tam giác đều nên H trùng với trọng tâm G của tam giác đó

B

C

S C1

Dễ thấy ABSC Vì (P) đi qua A và vuông góc với SC nên AB nằm trong (P) Kẻ đường cao AC1 của tam giác SAC thì (P) chính là mpABC1

Do tam giác SAC cân tại S nên điểm C1 nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi

ASC 90 0

Điều này tương đương với AC2 SA2 SC2 hay a2  2b2

Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P) là tam giác ABC1

2 2 1

3

3

2

a a b

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều Tính diện tích thiết diện đó

Giải

Q R

S

N M

D

C A

C' A'

B'

D' B

nên M thuộc mặt phẳng trung trực   của AC

Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt

là trung điểm của CD, DD D A A B B B ,   ,   ,  )

Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp   là MNPQRS Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh bằng 2

S

O1

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vuông góc với SC, dễ thấy mpBO D1  vuông góc với

SC

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO1 và

1

.tan 60 3

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD

= BC = BD = a; CD = 2x Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

B

D A

a/ Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ CD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC

a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J

a/ Vì BC // AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD

Từ giả thiết, ta có SABC nên SAAD

Mặt khác SA bằng cạnh của hình thoi ABCD, nên SDA  45 0 là góc phải tìm

Vậy góc giữa BC và SD bằng 45 0

b/ Do ABCD là hình thoi nên ACBD

Mặt khác IJ // BD nên ACIJ tức là góc giữa IJ và AC bằng 90 0 không đổi

a/ Vì ABCD là hình bình hành và OACBD nên OA = OC và OB = OD

Vậy SOmp d d , 1

Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)

Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF Chứng minh rằng

a/ ACH và BFK là các tam giác vuông

Vậy ACH là tam giác vuông tại H

Tương tự, ta có BKF là tam giác vuông tại K

a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC)

và I là trung điểm của DH Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc

b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC) Gọi D là điểm đối xứng của H qua I Chứng minh tứ diện DABC

có các cạnh bằng nhau

Giải

I

M A

B

C D

H

a/ Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC Từ đó

Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc

b/ Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên

mp(ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm

a/ Chứng minh rằng mp SAB  mp SAD  và mp SAB  mp SBC 

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng

a/ Gọi H là trung điểm của AB thì SH AB

Do SAB  ABCD nên SH ABCD  SH AD

Mặt khác ADAB

Vậy ADSAB

Từ đó SAD  SAB

Tương tự như trên ta có SBC  SAB

b/ Giả sử SAD  SBC St, dễ thấy St // AD, từ đó mp ASB  St

Do ASB 60 0nên góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng 60 0

c/ Vì ABCD là hình vuông; H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HCDI, mặt khác DI SH

Vậy DI SHC, từ đó SDI  SHC

Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)

Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc

a/ Vì MN AB SO, AB nên ABSMN  SAB  SMN

Vậy góc giữa SMN và SAB bằng 90 0

Tương tự như trên, góc giữa SMN và SCD cũng bằng 90 0

Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tuỳ ý thì SMN vuông góc với cả hai mặt phẳng SAB

a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp

b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hìnhchóp

Giải

D A

B I

nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng 90 0

Ta có SDA CDvà SDA là tam giác vuông tại A nên SDA là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD)

Từ đó  1

tan

2

SDA 

Tương tự tanSBA   1 SBA  45 0

Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng  mà tan 1

2

  và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc 45 0

b/ Vì SAD  SAB nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 0

Ta cũng có CDSAD nên SCD  SAD

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 90 0 Tương tự, ta cũng có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 90 0

Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

Trong mp(ABCD), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng

2 5 6

2 6

a/ Tam giác ASC vuông

b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau

Giải

O

B C

Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC) Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC Chứng minh rằng :

F

D

C

B A

a)Vì AD vuông góc (DBC) nên AD vuông góc BC

Mặt khác AE vuông góc BC Vậy BC vuông góc (ADE), từ đó ta có (ABC) vuông góc (ADE)

vì K là trực tâm tam giác DBC nên BK vuông góc DC Theo giả thiết AD vuông

góc(DBC)

Vậy BK vuông góc với AC ( định lý 3 đương vuông góc)

Kết hợp với BF vuông gọc với AC ta có

AC vuông góc (BFK) từ đo (ABC) vuông góc (BFK)

b) từ a) ta có (BFK) vuông góc (ABC)

và (ADE) vuông góc (ABC)

HK là giao của (ADE) và (ABC)

Vậy HK vuông góc (ABC)

D'

E

F

K H'

Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a Gọi E, F lần lượt làtrung điểm của AD và BC Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P)

Dễ thấy (SAD) giao (SBC) tại St, St//AD

Do AD vuông góc (SEF), từ đó St vuông góc (SEF), tức là cung ESF hoặc 180o- cung ESF là góc giữa hai mặt phẳng (ASD) và (SBC)

Vì S thuộc đường tròn đường kính È nên cung ESF là 90o

Bài 19 (BT 52 - tr 124-SBT)

Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a

a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC' và A'B

b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', BC, Đ'

Chứng minh rằng AC' vuông góc với mp( MNP)

M

D'

C' B'

A'

P N

D

C B

A

Bài làm

a) ta có C B' ' ABB A' ' , ' B AA B'

nên A B' AC'( định lý ba đường vuông góc)

Vậy góc giữa AC’ và A’B bằng 90ob)

Bài làm

P N

A

Vì ABCD.A'B'C'D' là tứ diện đều

Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNPQ

Trong đó M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB', AD', D'C,B'C.

Do AB'CD' là tứ diện đều nên B'D' vuông AC

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông nên có diện tích là (a 2 :2)

Cũng từ kết quả trên, ta có CMC''AB và CMC’’ là tam giác vuông tại C

Nên góc giữa mpBAC v CAB'' à   là CMC ''

Ta có tan '' '' 2 1

2

a CC

ĐỀ BÀI

Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)

1 Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD

Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC

c/ Chứng minh rằng 1 2 12 12 12

Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK)

Cho hình chóp S.ABC có SA mp ABC, các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H

và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng:

Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều Tính diện tích thiết diện đó

Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA mp ABCD, SA = x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o

Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD

= BC = BD = a; CD = 2x Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J

a/ ACH và BFK là các tam giác vuông

b/ BF AH và ACBK

Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)

a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC)

và I là trung điểm của DH Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc

b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC) Gọi D là điểm đối xứng của H qua I Chứng minh tứ diện DABC

có các cạnh bằng nhau

Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT)

Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều vàmp(SAB) vuông góc với mp(ABCD)

a/ Chứng minh rằng mp SAB  mp SAD  và mp SAB  mp SBC 

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng

Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)

Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc

Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a Tính:

a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp

b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hìnhchóp

a/ Tam giác ASC vuông

b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau

Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC) Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC Chứng minh rằng :

+) Ta có: SAB SAD AM AN (2 đường cao tương ứng)

 BM ND (do MAB NAD)

2 Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2, AB = a

+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC

vuông ở A Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)

Bài 18 (Đề số 34 – tr 45- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu củađiểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ bằng  Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ

Bài19 ( Đề CĐ Giao thông Vận tải 2007)(Đề số 35 – tr 46- stt ĐTTS 2002-2003 đến

SA a Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD.

Bài 25( Đề CĐ Công nghiệp Tp HCM 2007)(Đề số 42 – tr 54- stt ĐTTS 2002-2003 đến

2008-2009)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Các mặt bên (SAB) và (SCD) tạo với nhau một góc 600 Qua AB dựng mặt phẳng ( )  vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt SC và SD lần lượt tại M và N Tính diện tích thiết diện ABMN

C

B A

 là trung điểm của SK và m, N lần lượt là trung điểm của SC, SD

Tứ giác ABMN là hình thang cân , có diện tích là :

1

2

I

O D

C

B S

Ta có SABD  BD SAC và ACBD  BD SACtại O trong mặt phẳng (SAC), kẻ

AI SC và kẻ OK SCtại K; OKBD

OK

 là đường vuông góc chung của SC và BD

 Khoảng cách d(SC;BD)=OK=1

2AI( vì OK//AI, qua O là trung điểm AC)

Trong tam giác vuông AIC, ta có:

2 2 2 2 2 2

a AI

Bài làm