bài giảng tổ hợp

Hãy kể một vài vectơ khác vectơ – không được tạo từ các điểm trên?. Hãy kể tên một vài đoạn thẳng được tạo từ các điểm trênb. Sau đó đổi vị trí 2 điểm cho nhau a.Hãy kể một vài vectơ k

(Tiết 23)

KiÓm tra bµi cò

Câu 1:

a Nêu định nghĩa và công thức tính số các chỉnh hợp

chập k của n phần tử

b Cho tập A={1;2;3;4;5} Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập A

Câu 2 :Cho 4 điểm A, B, C, D

a Hãy kể một vài vectơ (khác vectơ – không) được tạo từ các điểm trên?

b Hãy kể tên một vài đoạn thẳng được tạo từ các điểm trên?

c Kể vài tập con có 3 phần tử của tập A

Chỉnh hợp Tổ hợp

Chọn ra 2 trong 4 điểm và đặt vào

vị trí 2 đầu mút của VT ( đổi vị trí

cho nhau )

Chọn ra 2 trong 4 điểm và đặt vào

vị trí 2 đầu mút của đt.( Sau đó đổi

vị trí 2 điểm cho nhau )

a.Hãy kể một vài vectơ (khác vectơ

-không )được tạo từ các điểm trên

,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

,

DC DB

DA CD

CB

CA BD

BC BA

AD AC

AB

b Hãy kể một vài đoạn thẳng được tạo từ các điểm trên

AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Có số VT là: A42 = 12

Được gọi là : chỉnh hợp chập 2

của n ptử.,

Câu 2 : Cho 4 điểm A, B, C, D

a Hãy kể một vài vectơ (khác vectơ – không) được tạo từ các điểm trên?

b Hãy kể tên một vài đoạn thẳng được tạo từ các điểm trên?

Tạo ra 1 kết quả mới Không tạo ra 1 kết quả mới

TiÕt 23

Bµi 2

III TỔ HỢP

1 Định nghĩa tổ hợp

Giả sử tập A có n phần tử ( ).Mỗi tập con gồm k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

1

n ³

Chú ý

+)

+) Qui ước: Tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử 1 £ £ k n

Nhắc lại định nghĩa chỉnh hợp

Giả sử tập A có n phần tử ( ) Mỗi cách sắp xếp thứ

tự k phần tử của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của

n phần tử.

1

n ³

(n ≥ 1)

(n ≥ 1)

0 ≤ k ≤ n

TiÕt 23

Bµi 2

III TỔ HỢP

1 Định nghĩa tổ hợp

Giả sử tập A có n phần tử ( ).Mỗi tập con gồm k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

1

n ³ (n ≥ 1)

VD: Cho t p A={ậ 1;2;3;4} Hãy liệt kê các tổ hợp chập 2, chập 3

của 4 phần tử của A

Giải:

Theo đ.n Các tổ hợp chập 2 của 4 phần tử là các tập con gồm 2 pt của A

{1;2}; {1;3}; {1;4}; {2;3}; {2;4}; {3;4}

TT Các tổ hợp chập 3 của 4 phần tử là các tập con gồm 3 pt của A

{1;2;3}; {1;2;4}; {1;3;4} ;{2;3;4}

1 Định nghĩa

2 Số các tổ hợp

a Định lí:

TiÕt 23

Bµi 2

k n

C £ £ k n

Kí hiệu:

2 Số các tổ hợp

Định lí:

!

!

k

k n

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-Chøng minh: Sgk

(tr52) b VÝ dô:

(0 ≤ k ≤ n): số các tổ hợp chập k của n ptử

VD1:Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F trong đó không có 3

điểm nào thẳng hàng Hỏi:

a Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không được tạo từ các điểm trên?

b Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo từ các điểm trên?

c Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là các điểm trên ?

VD2: Có 16 đội bóng tham gia thi đấu Hỏi cần phải

tổ chức bn trận đấu sao cho hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng 1 lần?

!

!

k

n

A C

k

n

k n k

=

=

-1 Định nghĩa

Tiết 23

Bài 2

2 Số cỏc tổ hợp

Định lớ:

Ví dụ :

b) Mỗi cách lập 1 đoạn thẳng là một tổ hợp chập 2 của

6 Vì vậy số đoạn thẳng l :à

Gi i:ả

Gi i:ả

a) Có bao nhiêu VT( khỏc vecto – khụng) b) Có bao nhiêu đoạn thẳng

c) Có bao nhiêu tam giỏc.

VD1: Cho 6 điểm

A, B, C, D, E, F

trong đú khụng

cú 3 điểm nào

thẳng hàng Hỏi từ

cỏc điểm trờn:

!

!

!( )!

k

k n

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-15

2

6 =

C

a) Mỗi cách lập 1 VT ( khỏc VT – khụng) là một ch nh ỉ hợp chập 2 của 6 Vì vậy số VT l :à A62 = 30

c) Mỗi cách lập 1 tam giỏc là một tổ hợp chập 3 của 6 Vì vậy số tam giỏc l :à C63 = 20

Ví dụ 2: : Cú 16 đội

tham gia thi đấu Hỏi

phải tổ chức bao

nhiờu trận đấu sao

cho 2 đội bất kỳ được

gặp nhau 1 lần

VD2: Vì hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau đúng một trận nên số trận đấu bằng số các tổ hợp chập 2 của 16 Vậy số trận đấu cần phải tổ chức là:

1 Định nghĩa

TiÕt 23

Bµi 2

2 Số các tổ hợp

Định lí:

!

!

!( )!

k

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-* Cách dùng máy để tính bài toán tổ hợp

VÝ dô 3: Sử dụng MT tính:

570-MS

?

?

? 73 74 152 1513

4 6

2

C

?

;

6 9

6 8

5 8

3 7

3 6

2 6

C sosánh

C C

C sosánh

C

C

+ +

Dự đoán: Cn k và Cn n−k ?

? 1

1 1

k n

k n

k

C −− + −

Dự đoán:

=

=

Nam:

Nữ:

1 Định nghĩa

TiÕt 23

Bµi 2

2 Số các tổ hợp

Định lí:

!

!

!( )!

k

k n

n

A

C

k

n

k n k

=

=

3 Tính chất của

các số C n k

3 Tính chất của các số Cn k

a Tính chất 1

3 5

C

Ví dụ 1:

(0 k£ £ n)

k n - k

n n

C = C

b Tính chất 2

C +C

2 5

= C

4 6

C

=

1

k k k

n

n n

- + - = (1 k£ £ n)

k n - k

C = C

a Tính chất 1

b.Tính chất 2

1

1 1

k k k

n

n n

- + - =

=10

=15

cc tt

(0 ≤ k ≤ n)

(1 ≤ k < n) (công thức Pa-xcan)

Cho tập A gồm n phần tử

Lấy n phần

tử của A

sắp thứ tự

Lấy k phần

tử của A sắp thứ tự

Lấy k phần tử của A ( không quan tâm đến thứ tự )

ch p k của n ậ Tổ hợp chập k của n

Số hoán

vị Số chỉnh

hợp

Số tổ hợp

k n

n

n k

−

! ! ( )!

k

n

−

Tiết 23

Bài 2

(1 ≤ k ≤ n)

TiÕt 24

Bµi 2

Ví dụ 5: Từ t/c 2

Ví dụ 4

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 4 lọ khác nhau

(mỗi lọ cắm không quá 1 bông) nếu:

a Các bông hoa khác nhau

b Các bông hoa như nhau

cc tt

) 2

, ,

(

2 :

min

n k

N k

n

C C

C C

h

C n k n k n k n k

≤

≤

∈

= +

1 Định nghĩa

2 Số các tổ hợp

Định lí:

!

!

!( )!

k

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-k n - k

C = C

a Tính chất 1

b.Tính chất 2

1

n

C - C C

TiÕt 24

Bµi 2

Giải

a Các bông hoa khác nhau.

Mỗi cách cắm 3 bông hoa vào 3 trong 4 lọ

khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 3 của 4 ptử

b Các bông hoa như nhau.

Mỗi cách cắm 3 bông hoa vào 3 trong 4 lọ

khác nhau là 1 tổ hợp chập 3 của 4 ptử.

Nên số cách cắm là 53 5! 60

2!

Ví dụ 4 ( Bài 3/ 54)

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 4 lọ khác nhau

(mỗi lọ cắm không quá 1 bông) nếu:

a Các bông hoa khác nhau

b Các bông hoa như nhau

Nên số cách cắm là 3

5

5!

10 3!2!

cc tt

4

! 3

!.

1

!

4

3

C

24

!

4

! 1

!

4

3

4 = = =

A

1 Định nghĩa

TiÕt 23

Bµi 2

2 Số các tổ hợp

Định lí:

!

!

!( )!

k

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-VÝ dô 5:

) 2

, ,

(

2 :

n k

N k

n

C C

C C

m

C n k n k n k n k

≤

≤

∈

= +

k n - k

C = C

a Tính chất 1

b.Tính chất 2

1

1 1

k k k

n

n n

k n

k n

k n

k n

k n

k n

k n

k n

k n

k n

C C

C

C C

C C

C C

C

2 1

1 1

1 1

2 2

1

2

+ +

− +

−

−

−

−

−

= +

=

+ +

+

= +

+

B µi t p c ng c ậ ủ ố

Câu 1:Có bao nhiêu cách tặng 4 quyển sách giống nhau,

3 chiếc bút giống nhau, 2 chiếc cặp giống nhau cho 9 HS (Mỗi HS 1 món quà)

TiÕt 23

Bµi 2

1 Định nghĩa

2 Số các tổ hợp

Định lí:

!

!

!( )!

k

k n

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-3 Tính chất của

các số C n k

k n - k

C = C

a Tính chất 1

b.Tính chất 2

1

1 1

k k k

n

n n

- + - =

C 234

Câu 2: Tại 1 bữa tiệc có 13 cặp vợ chồng Mỗi ông bắt tay 1 lần với mọi người trừ vợ mình Các bà không bắt tay với nhau Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay

D 312

C C

D.

C C C

C.

tt

DẶN DÒ

• Ôn tập lại nội dung toàn bài: Hoán vị-Chỉnh hợp- Tổ hợp

• Làm các bài tập còn lại trong SGK / 54,55

Kính chúc sức khỏe các vị đại biểu các thầy cô giáo và các em học

sinh

Xin chân thành cảm ơn!

1 Định nghĩa

Tiết 25

Bài 2

2 Số cỏc tổ hợp

Định lớ:

!

!

!( )!

k

k n

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-Ví dụ 2: :

(Hoạt động5.SGK)

Cú 16 đội tham

gia thi đấu Hỏi

phải tổ chức

bao nhiờu trận

đấu sao cho 2

đội bất kỳ được

gặp nhau 1 lần

Vì hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau đúng một trận nên

số trận đấu bằng số các tổ hợp chập 2 của 16

Vậy số trận đấu cần phải tổ chức là:

Ví dụ 2: : (Hoạt động 5 - SGK)

1 Định nghĩa

2 Số cỏc tổ hợp

(*)

!

!( )!

k n

k n k

=

-a Định lớ:

Tiết 25

Bài 2

k n

C Ê Ê k n

Kớ hiệu:

2 Số cỏc tổ hợp

Định lớ:

!

!

k

k n

n

A

C

k

n

k n k

=

=

-Chứng minh: Sgk (tr52)

b Ví dụ:

Ví dụ 6-SGK: Một tổ có 10 ng ời gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 ng ời Hỏi

a) Có tất cả bao nhiêu cách lập

b) Có tất cả bao nhiêu cách lập trong đó có 3 nam và 2 nữ

c) Cú bao nhiờu cỏch lập trong đú cú phõn cụng rừ 1 người làm trưởng đoàn

(1 ≤ k ≤ n)

1 Định nghĩa

Tiết 25

Bài 2

2 Số cỏc tổ hợp

Định lớ:

Ví dụ 6: :

Một tổ có 10

ng ời gồm 6

nam và 4 nữ

Cần lập một

đoàn đại biểu

gồm 5 ng ời

Hỏi

a) Mỗi cách lập là một tổ hợp chập 5 của 10 Vì vậy số cách lập đoàn đại biểu là

Gi i:ả

Gi i:ả

5 10

10!

252 5!.5!

C = =

5

10 252

b) Có cách chọn 3 nam từ 6 nam C63 = 20

Có cách chọn 2 nữ từ 4 nữ C42 = 6

Theo qui tắc nhân có 20x6=120 cách

a) Có tất cả bao nhiêu cách lập b) Có tất cả bao nhiêu cách lập trong đó có 3 nam

và 2 nữ

c) Có bao nhiêu cách lập trong đó có 1 tr ởng đoàn

c) Theo a) số cách lập đoàn đại biểu là Với mỗi cách lập đó, ta chọn 1 ng ời trong số 5 ng ời làm tr ởng đoàn, vậy có C51 = 5

Theo quy tắc nhân, có 252x5=1260 cách lập