Trường THPT Số 3 An NhơnTổ Toán Trường THPT Số 3 An Nhơn Tổ Toán... KiÓm tra bµi cò Nªu các khái niệm Hoán vị,Chỉnh hợp, Tæ hîp Công thức tính và phân biệt các khái niệm này... Từ công
Trang 1Trường THPT Số 3 An Nhơn
Tổ Toán
Trường THPT Số 3 An Nhơn
Tổ Toán
Trang 2KiÓm tra bµi cò
Nªu các khái niệm Hoán vị,Chỉnh hợp, Tæ hîp Công thức tính và phân biệt các khái niệm này
Trang 3Tiết 29
Khai triển các hằng đẳng thức sau:
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
= a3 + a2b + ab2 + b3
= a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4
Tính nhanh: 0
2
C
2
( a b ) C a b C a b C a b C a b
3
4
0
4
4
4
( a b ) C a b C a b C a b C a b C a b
Vậy với mọi số tự nhiên n 1 và với mọi cặp số (a; b) ta có công
thức sau gọi là công thức nhị thức Niutơn
n
n n
k k n
k n
n n
n n
n n
b
a )
(1)
0 3
C C40
= a2 + ab + b2
1 2
C
2 2
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
= 2
= 1
= 3
= 3
= 1
= 1
= 4
= 6
1
3 3
1
1 2
1
0 2
2
C C22
0 3
C C31 2
3
C C33
0 4
4
4
C C43 4
4
C
Trang 4Dïng dÊu ta cã thÓ viÕt c«ng thøc nhÞ thøc d¹ng
n
k
k k n
k n
b
a
0
) (
VÝ dô 1: a/ Khai triÓn ( x + y)6 thµnh ®a thøc bËc 6
b/ Khai triÓn ( 3x - 4)5 thµnh ®a thøc bËc 5
6 5
4 2 3
3 2
4 5
6
6 0
6 6
5 1
5 6
4 2
4 6
3 3
3 6
2 4
2 6
1 5
1 6
0 6
0 6 6
6 15
20 15
6
)
(
y xy
y x y
x y
x y
x x
y x C y
x C y
x C y
x C y
x C y
x C y
x C y
x
5 0 5 0 1 5 1 2 4 2 3 3 3
4 2 4 5 1 5
(3 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4) (3 ) ( 4)
n
n n
k k n
k n
n n
n n
n n
b
Trang 5Từ công thức khai triển trên,hãy cho biết số hạng tổng quát của khai triển là gì? Và
đó là số hạng thứ bao nhiêu?
1
k n k k
Trang 6Ví dụ 2: Tim số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của
khai triển (-2x + 1)9
Giải:
4 5
6 7
8 9
9 0 9
9
8 1 8
9
7 2 7
9
6 3 6
9
5 4 5
9
4 5 4
9 3
6 3
9 2
7 2
9 1
8 1
9 0
9 0
9 9
2016 4032
5376 4608
2034 512
1 ) 2 ( 1
) 2 ( 1
) 2 ( 1
) 2 ( 1
) 2 (
1 ) 2 ( 1
) 2 ( 1
) 2 ( 1
) 2 ( 1
) 2 ( )
1 2
(
x x
x x
x x
x C
x C
x C
x C
x C
x C
x C
x C
x C
x C
x
Từ công thức => số hạng đứng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai
triển trên là:
k k n k
n a b
C
6
9 ( 2 x ) 1 C ( 2 x ) 1 84 ( 8 ) x C
Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng
Hệ số của x8 trong khai triển (4x - 1)12 là:
A: 32440320 C: 495 B: -32440320 D: -495
Ví dụ 4: Tính hệ số x21y12 trong khai triển
Giải:
Từ công thức => k = 12 Vậy hệ số của x21y12 trong khai triển là:
45 2 15
k n k k k k k n
C a b C x y
12 15
15!
455 3!12!
C
1 18
144 2
3
672x
3
672x
( x xy )
Trang 7Tõ c«ng thøc : suy ra c¸c c«ng thøc sau:
( b + a )n = ? vµ ( a - b )n = ?
n
k
k n k
k n
n
b
a
0
) (
) (
n
k
n
k
k k n
k n
k k
k n
k n
n
b
a
) 1 ( )
( ))
( (
) (
n
k
k
k n
k
x
0
) 1 ( )
1
n
k
k n
k n
k n
x
0
) 1 ( )
1
n
k
k k n
k n
b
a
0
) (
Trang 8+/ Sè c¸c sè h¹ng cña c«ng thøc b»ng ?
+/ Tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng
b»ng ?
+/ Sè h¹ng sè d¹ng lµ sè h¹ng thø mÊy trong khai triÓn ?
k k n
k
CỦNG CỐ
Trang 101 Số các số hạng của công thức bằng n + 1
2 Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n - k) + k = n
3 Số hạng tổng quát có dạng ( k = 0, 1, 2,…, n), n)
(Đó là số hạng thứ k + 1 trong sự khai triển của nhị thức (a + b)n)
4 Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì
k k n k n
k C a b
1
k n n
k
n C
C
5 Ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn d ới dạng t ờng minh hơn nh sau:
n n
k k n n
n n
k
k n n
n b
a n
n b na a
b
a 1 2 2 1
3 2 1
) 1 ) (
1 (
2
) 1 (
) (
n n
k n n
n n
n
n ( 1 1 ) C C C C C
n n
n k
n
k n
n n
n C C C ( 1 ) C ( 1 ) C
) 1 1 (
Tiết 30
6
7
Trang 111
C
0
0
C
0
3
C
0
2
2
C
1 1
C
2 2
C
1 2
3
3
C
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
+
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Trang 12Bµi tËp: +/ H·y thiÕt lËp tam gi¸c pascal 11 dßng
+/ Khai triÓn ( x - 1) 10
Trang 13CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2011-2012
TRƯỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
Bài 1: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2006)
Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức
Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng 1024
Ta có
Suy ra n = 10
Vậy hệ số của trong khai triển là
0
k
5
C
Trang 14CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2011 - 2012
TRƯỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
Bài 2: (Đề thi CĐ - ĐH khối D – 2004)
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển: với
Bài 3: (Đề thi CĐ - ĐH khối B – 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển
Biết
Ngoài ra còn một số dạng khác như: Tính tổng các dựa vào phương pháp lấy đạo hàm hoặc dựa vào phép tính tích phân Hay gặp trong các đề thi tuy ển sinh Cao đẳng - Đại học.
Trang 15CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NĂM HỌC 2011 - 2012
TRƯỜNG THPT SỐ 3 AN NHƠN
BÀI TẬP LUYỆN TẬP.
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển:
Bài 3: Khai triển có tổng các hệ số của ba số hạng đầu là 28 Tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó.
Bài 4: Xét khai triển
a) Tìm hai hạng tử chính giữa.
b) Tính hệ số của hạng tử chứa
Trang 1611 11
15x C
Học sinh làm bài tập trắc nghiệm sau:
Chọn ph ơng án đúng
1 Khai triển: ( 2x - 1)5 là:
A 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1;
B 16x5 + 40x4 + 20x3 + 20x2 + 5x + 1;
C 32x5 - 80x4 + 80x3 - 40x2 + 10x - 1;
D -32x5 + 80x4 - 80x3 + 40x2 - 10x + 1;
2 Số hạng thứ 12 kể từ trái sang phaicủa khai triển ( 2- x)15 là:
A -16
Trang 17Chứng minh: Ta chứng minh bằng ph ơng pháp qui nạp theo
n
* Khi n = 1, ta có
( a + b)1 = a + b = => Vậy công thức (1) đúng khi n = 1
* Giả sử (1) đúng khi n = m, tức là ta có
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = m + 1, tức là ta có
Thật vậy, ta có:
Vì nên ta có (2)
Vậy công thức nhị thức Niutơn (1) là đúng với mọi số tự nhiên n
1 1
1 1
0 1
1
0
1 1
0
1 1
0 1
) (
) (
) (
)
(
)
( ) (
) (
)
(
m m m m
m m
m m k
k m k
m
k m
m m m
m
m
m m m k
k m k m
m m
m
m
m m m k
k m k m
m m
m m m
m
b C ab
C C
b a
C C
b a C C
a
C
b b C b
a C b
a C a
C
a b C b
a C b
a C a
C b
a b
a b
a
b C a
1
0
1
m m m k
k m k m
m m
m m
m C a C a b C a b C b b
a )
1 1
1
1 1
1 1 1
0 1
1
)
a
k m
k m
k m
m m
m m m
C0 0 1 1 , 11 1 , 1 1
(2)
1