lượng giác 10 đầy đủ các dạng

Mỗi góc lượng giác gốc Ođược xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì khác nhau k2π hay k3600, với k là số nguyên GIÁ T

Trang 1

LƯỢNG GIÁC 10 Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

• TÓM TẮT GIÁO KHOA

Mối liên hệ giữa độ và radian: 1800=π(rad)

Công thức về độ dài cung: l =α .R trong đó l là độ dài cung, α là số đo cung tính

bằng đơn vị radian, R là bán kính đường tròn

Mỗi góc lượng giác gốc Ođược xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó

Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì khác nhau k2π( hay k3600), với k

là số nguyên

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị(bán kính bằng l), định hướng, trên đó có

1 điểm A gọi là điểm gốc

Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM)=α gọi là điểm xác định bởi

số α ( hay bởi cung α , hay bởi góc α ) Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo α

Hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác: cho đường tròn lượng giác tâm

O, điểm gốc A Xét hệ toạ độ vuông góc Oxy sao cho tia Ox trùng với tia OA, góc lượng giác(Ox, Oy) là góc π 2π

2 +k , k Z∈ Hệ toạ độ đó được gọi là hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác đã cho Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc α

Hoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou,Ov) hay của α và

kí hiệu cos(Ou,Ov)=cosα = x

Tung độ y của M được gọi là sin của góc lượng giác( Ou,Ov)= sinα = y

Nếu cos≠0( tức , )

2 +k k∈Z

α

sin

cos được gọi là tang của góc α ,

kí hiệu là tan α

Nếu sin α ≠0( tức α ≠kπ,k∈Z)thì tỉ số

α

cos

sin được gọi là côtang của góc α

kí hiệu là cotα

Các hệ thức cơ bản

Cos(α +k2π)=cosα,sin(α +k2π)=sinα,k∈Z

tan(α +kπ)=tanα,cot(α +kπ)=cotα,k∈Z

−1≤cosα ≤1,−1≤sinα ≤1

cos2α+sin2α =1

Nếu sinα.cosα ≠0 thì

α

tan

1 cot =

1+

α

2

cos

1 tan =

1+cot2α sin2α

1

=

Trang 2

• BÀI TẬP

Câu 1) Rút gọn biểu thức: A= sin2 x(1+cotx)+cos2 x(1+tanx) Câu 2) Tính các giá trị lượng giác khác của α biết:

a) sinα =

5

4 (00<α <900) b) cosα =

13

5

− (1800<α<2700) c) cot

3

2

=

α (00<α <900)

d)cot 150=2+ 3

Câu 3) Cho sinα +cosα =m Tính giá trị của

a) sinα.cosα

b) sin4α +cos4α

c) tan2α +cot2α

Câu 4) Cho tanα = -2, tính giá trị biểu thức: A=

α α

sin 3 cos

cos sin

2

−

+

Câu 5) Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x –cos4x = 1- 2cos2x

b) cot2α −cos2α =cot2α.cos2α

c) tan2α −sin2α =tan2α.sin2α

d)

1 cos sin

cos 2 cos

1

1 cos sin

+

−

=

−

− +

x x

e)

β α

β

α β

α

β

α

2 2

sin sin

tan tan

tan

f) 1+sin a+cos a+tan a=(1+cos a)(1+tan a)

g) tan x.tan y=

y x

cot cot

tan tan

+ +

a

a a

tan 4 sin

1

sin 1 sin

1

sin









+

−

+

Câu 6) Rút gọn các biểu thức:

a) (tanx+cotx)2-(tanx-cotx)2

b) (1-sin2x)cot2x+1-cot2x

c) tanx+

x

sin 1

cos

+

x

x x

cos cot sin

tan

cos

2 −

e)

a

a a

a

sin 1

sin 1 sin

1

sin

1

+

−

+

Câu 7) Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

Trang 3

a)

x

x x x

x x

cot

cos sin cot

cos cot

2

2 2

+

−

b)

x x x

x

2 2 2

2 2

cos sin 4

1 tan

4

) tan

1

c) 2(sin6x+cos6x)-3(sin4x+cos4x)

d) 2(sin4x+cos4x+sin2x.cos2x)-(sin8x+cos8x)

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

Cung đối ( tổng bằng 0) : cos(-α )= cosα; sin(-α )= -sinα

tan(-α )= - tanα ; cot(-α)= -cotα

Cung bù ( tổng bằng π): sin(π −α)= sin α; cos(π −α )= -cosα

Tan(π −α)= - tanα; cot(π −α)=−cotα

Cung phụ (tổng bằng ):

2

π

α α

π

α α

π

cot ) 2 tan(

sin ) 2 cos(

=

−

=

−

α α

π

α α

π

tan ) 2 cot(

;

cos ) 2 sin(

;

=

−

=

−

Cung khác π( hiệu bằng π):

α α

π

α α

π α α

π

cos )

cos(

sin )

sin(

; tan ) tan(

−

= +

−

= +

• BÀI TẬP

Câu 1) Thu gọn các biểu thức sau:

0 0

36 tan 126 cos 144 sin

216 cos ) 234 sin(

−

0

0 0

0

18 cot 72 tan 316

cos

406 cos ) 226 tan 44

c) C=

) 2 , 6 tan(

) 8 , 5 cos(

) 7 , 6 cos(

) 2 , 5 cot(

) 7 , 5 sin(

)

8 , 4 sin(

π

π π

π

−

− +

−

d) D=cos200 + cos400 + cos600 +……….+ cos1600 + cos1800

e) E= tan10 tan20 tan30 tan880 tan890

f) F= sin2100+ sin2200 + sin2300 + + sin21800

g) G= sin8250.cos(-150)+ cos750 sin(-5550)+ tan1550 tan2450

Câu 2) Đơn giản các biểu thức sau:

2

3 tan(

) 2 cot(

) 2

2

3 cot(

)

2

tan(

2

3 sin(

) cos(π −x + x− π − π +x π −x

c) C= cos(2700-x)-2sin(x- 4500)+ cos(x+9000)+2sin(7200-x)

Câu 3: Chứng minh rằng nếu A,B,C là 3 góc của một tam giác thì:

a) A B C cosC

2

3

b) cos(A+B-C)= -cos2C

Trang 4

c)

2

3 cot 2

2 tan A+B− C = C

Câu 4)Chứng minh các đẳng thức sau:

x

x x

x

cos sin

1 tan

cos sin

cos

sin

2

+

=

−

+

−

b)

x x

x

2 2

4

2

cot tan

tan 1 cot

cot 1 tan

1

tan

+

=

+ +

c)

x

x x

x

x x

x

2

cos 1

cot 1 sin cos

cos cos

sin

−

+

=

−

− +

d)

y x

2 2

sin sin

tan

Câu 5) Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3(sin8x-cos8x)+4(cos6x-2sin6x)+6sin4x

b) B =

) 212 tan(

) 1022 cos(

)

508 cos(

572 cot

958 sin )

328 sin(

0

0 0

0

0 0

−

0 0

73 tan 197 tan ) 505 cot(

415 cot

408 cot 222 cot 475 cos 515 sin

+

− +

d) D=

x x

x cot2 cos2 sin

1

−

− với π < x<2π.

Câu 6) Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A=

x x

x x x x

3 3

2 3

cos sin

sin sin

cos cos

−

b) B=2sin4x+3cos4x biết 3sin4x+2cos4x=

81 98

2 sin(

1 ) 2 (x−π + = x+π

d) D=

x x

tan cot

−

+

biết sinx=

5

3

và 0<x<

2

π

Câu 7) Chứng minh rằng:

a)

x

x x

x

sin 3

sin 2 2

1 2 sin

1

sin

−

≥ +

−

+

b) Nếu0<x<

4

π

) sin (cos sin

cos

x x x

cot cos

tan sin >

+

x x

Câu 8) Cho a,b,x,y là các số thực thoã mãn đồng thời các điều kiện: a sin2x+b cos2x=1;

a cos2y+b sin2x=1; a tanx=b tany Chứng minh rằng a+b=2ab

Câu 9) Giả sử p, q, x, y là các số thực thoã mãn các điều kiện: p cot2x+ q cot2y=1; pcos2x+qcos2y=1; p.sinx=q.siny Chứng minh rằng (p2-q2)2= -pq

Câu 10) Cho tam giác vuông ABC, gọi D, E là 2 điểm trên cạnh huyền BC sao cho BD=DE=EC Biết độ dài cạnh AD=sinx, AE= cosx Tính độ dài cạnh huyền BC

Trang 5

CÔNG THỨC CỘNG

Công thức đối với sin và côsin:

Cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb

Cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb

Sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb

Sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb

Công thức cộng đối với tang:

Tan(a+b)=

b a

tan tan 1

tan tan

− +

Tan(a-b)=

b a

tan tan 1

tan tan

+

−

với mọi a, b làm cho các biểu thức có nghĩa

• BÀI TẬP

Câu 1)Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

4

3 cos(

) 6 cos(

) 4 cos(

)

3

cos(x−π x+π + x+π x+ π

Câu 2) Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức sau: a) A=cos800.cos400-sin800.sin400

b) B=cos(a-300) biết rằng: tana= 2 (0<a<900)

c) C=cos( )

3

π

α + , biết sin

3

1

=

α và 0<

2

π

α < Câu 3) Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức sau: a) A=cos( )

12

π

b) B=sin2850 c) C=sin(-1050) d) D=tan

12

5π

a) A=sin4x.cot2x-cos4x

b) B=cos(400-x)cos(x+200)-sin(400-x)sin(x+200)

c) C=sin(x+100)cos(2x-800)+sin(x+1000)cos(2x+100) d) D=sin(a+b)+sin( )sin( )

2 −a −b π

2

1 ) 4 cos(

)

4 cos(π + π − +

2 sin(

)

2 cos(π −a π −b − a−b

g) G=

x x

tan ) 2 90 cot(

1

) 90 cot(

2 tan

0

− +

+ +

Câu 5) Không dùng máy tính hãy tính các giá trị biểu thức sau: a) A=cos680.cos780+cos220cos120-sin1000

Trang 6

b) B= 0 0 0 0 0

251 tan 259 cot

71 cot 79 cot 225 cot

+

−

c) C=sin2200+sin21000+sin21400

d) D=cos(-530).sin(-3370)+sin(3070).sin(1130)

e) E=(cos700+cos500)(cos3100+cos2900)+(cos400+cos1600).(cos3200-cos3800) Câu 6) Không dùng máy tính hãy tính trị các biểu thức sau:

a) A=sin( )

3 a−

π

biết rằng:

cosa=-13

12

và < <

2 2

a

π

4

3π

b) B=tan(a+ )

4

π

biết rằng: cot( ) 2

2

5π −a =

Câu 7) Cho a, b là các góc nhọn và: sina=

4

3 ) 2

5 tan(

, 3

2

=

−b

π

Tính sin(a+b); cos(a-b) và tan(a-b)

Câu 8) Cho 0<a<

4

; 2 0

, 2

π π

π <b< a+b=

và tân.tanb=3-2 2 a) Tính tana+tanb

b) Tnhs tana, tanb, từ đó suy ra a, b

Câu 9) Rút gọn biểu thức:

a) A=sin2a sin2b-cos2a cos2b

28 cos 42 cos 62 cos 132 cos

17 cos 87 sin 3 cos 73 sin

+

−

b a b

a

b a

tan ) cos(

) cos(

) sin(

2

−

− +

+ +

d) D=

a c

a c c

b

c b b

a

b a

cos cos

) sin(

cos cos

) sin(

cos cos

)

e) E=

x x

2 2

tan 2 tan 1

tan 2 tan

−

a) a a) sina

3 sin(

) 3

sin(π + − π − =

b)

1 cot cot

1 cot cot ) cos(

) cos(

−

+

= +

−

b a

b a b

a

b a

4 sin(

2 ) 4 cos(

2 x−π = x+π

4 sin(

2 )

4 cos(

2 x+π =− x−π

Câu 11) Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C Chứng minh:

a) cosA=sinB.sinC-cosB.cosC

b)

2

sin 2

cos 2

a) sin(a+b)sin(a-b)=sin2a-sin2b

Trang 7

b) )

2

; 2 ( tan tan 1 cos

cos

) cos(

)

2

b a

b a b

c) Sin2(a-b)+sin2b+2sin(a-b)sinb.cosa=sin2a

Câu 13) Cho a, b thoã mãn

a) cos(a+b)=0 Chứng minh rằng: sin(a+2b)=sina

b) 3sinb=sin(2a+b) Chứng minh rằng: tan(a+b)=2tana (a≠π +kπ b≠π +lπ

2

; 2 c) Cos(a+b)=k.cos(a-b) Chứng minh rằng: tana.tanb= a π kπ b π lπ

k

+

−

2

; 2

( 1

1

) Câu 14) Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC (tam giác ABC không vuông)

2 tan 2

tan 2 tan 2

tan 2 tan

2

Câu 15) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

3 cos(

) 3

(π +x π −x

b) B=sin2x+sin2(600+x)+sin2(x-600)

Câu 16) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) A=cos2x+cos2(1200+x)+cos2(1200-x)

3

2 tan(

) 3

2 tan(

)

3 tan(

) 3

π π

π

+

CÔNG THỨC NHÂN

”

Công thức góc nhân đôi:

 Công thức nhân đôi:

Sin2a=2sina.cosa Cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a Tan2a=

a

2 tan 1

tan 2

−

 Công thức hạ bậc:

Sin2a=

2

2 cos

cos2a=

2

2 cos

Tan2a= )

2

( 2 cos 1

2 cos 1

π

a a

a

+

≠ +

−

Lưu ý: các công thức này cho phép biến đổicác biểu thức cos2α,sin2α,tan2α thành biểu thức của cos2α

 Công thức tính theo t=tan ( π 2π

2 1

2 sin

t

t a

+

= , cosa= 22

1

t

+

− , tana=

2 1

2

t

−

Công thức góc nhân ba:

 Sin3a=3sina-4sin3a

Trang 8

a

−

2 3 ( tan 3 1

tan tan

3

2

3

)

 Công thức hạ bậc ba Sin3a= (3sin sin3 )

4

1

a

a−

Cos3a= (3cos cos3 )

4

1

a

a+

• BÀI TẬP

a) A=cos2(x+450)-sin2(x+450)

b) B=cos42x-sin42x

c) C=(sinx+cosx)2

d) D=1-8sin2x.cos2x

2 2 sin(

)

2 sin(

sin

4 x x+π x+π

f) F=

) cot 1 )(

tan 1

(

2

a

−

g) G=(1-tan2a)cota

Câu 2) Tính theo cos2x các biểu thức sau:

a) A=1+cos2x

b) B=

x

2

cot 1

−

+

Câu 3) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) A=

24

cos 24 cos2 π − 4 π

b) B=tan2150+tan2750

Câu 4) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: A=

7

4 cos 7

2 cos

7

B=

6

cos 12

cos 24

cos 48

cos 48 sin

3

C=8tan180.cos180.cos360.cos720

D=sin60.sin420.sin660.sin780

E=

33

16 cos 33

8 cos 33

4 cos 33

2 cos

33

10 cos

3 10

sin

G=

8 tan

1

8

7

tan

2 π

π

−

Câu 5) Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

Trang 9

a) A=1+sin2x

b) B=1-sinx

Câu 6)

a) Tính: sina, cosa, tana biết a=112030’

b) Cho sina+cosa=

2

7

và 0<a<

6

π

Tính tan

2

a

c) Cho 0<a< ;3sin 2sin 1

2 0

; 2

2

<

π

và 3sin2a−2sin2b=0 Tính cos(a+2b) Suy ra số đocủa góc(a+2b)

Câu 7) Chứng minh rằng:

a) sin4a=4sinacosa(1-2sin2a)

b) cos4a=8cos4a-8cos2a+1

c) tanx+cotx=

x

2 sin 2

x

tan 2

sin

2 cos

x x

cot sin

2

sin

2 cos cos

−

+

−

f) Cos4x+sin4x-6cos2x.sin2x=cos4x

g) 4cosx.cos(600+x).cos(600-x)=cos3x Từ đó tính C=4cos100cos700cos500 Câu 8) Chứng minh rằng:

2

tan 2

sin sin

2

2 sin sin

a a

a

+

−

x x

x

4 sin 2

1 tan cot

4 cos

1

=

−

+

c)

2 tan 2 cos cos

1

2 sin

x x

= +

+

d)

a

a a

a

tan 1

tan 1 sin

2

1

sin

2

+

−

= +

−

e)

2

cos )

cos 1 ( 2

cos cos

a

a a

a

=

−

+

−

x

x x

x

2 cos 8 cos

3 cos sin

3

sin

2

=

a a

a

2 2

tan 4 sin 4 2

sin

sin 4 2

sin

=

− +

−

x

8 sin 4 cot 8 cos 2

cot

2

1 2

cot2

=

−

Câu 9) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x:

a) A=

sin

3 sin sin

cos

3 cos

x x

Trang 10

b) B=sin4x+sin4(x+ )+

4

π

sin4 









 +

2

π

x

+ sin4 









 +

4

3π

x

Câu 10) Chứng minh rằng nếu tan

b

a

x =

2 thì biểu thức A=asinx+bcosy không phụ thuộc vào a và x

Câu 11) Cho α,β,γ thoả: cos co

c a

b c

b

a

, cos

,

+

= +

α

a b

c s

+

=

γ Chứng minh biểu thức: E=

2

tan 2

tan 2 tan2 α + 2 β + 2 γ

không phụ thuộc vào a, b, c

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

Công thức biến đổi tổng thành tích

Cosa.cosb= [cos( ) cos( )]

2

1

b a b

Sina.sinb= [cos( ) cos( )]

2

1

b a b

Sina.cosb= [sin( ) sin( )]

2

1

b a b

Cosa.sinb= [sin( ) sin( )]

2

1

b a b

Đặc biệt cos2a= (1 cos2 )

2

1

a

+

Sin2a= (1 cos2 )

2

1

a

−

Sina.cosa= sin a

2 1 Công thức biến đổi tổng thành tích:

Cosx+cosy=2.cos

2

cos 2

y x y

Cosx-cosy=-2.sin

2

sin 2

y x y

Sinx+siny=2.sin

2

cos 2

y x y

Sinx-siny=

2

sin 2 cos

2 x+y x−y

tanx x π kπ y π mπ

y x

±

2

, 2

( cos cos

) sin(

cotx ( , )

sin sin

) sin(

y x

x y

±

Trang 11

Ghi chú: Các công thức:

1+cosx=2cos22

x

; 1-cosx=2sin2x 2

x

Cosx+sinx= 2cos )

4 sin(

2 ) 4

x x

Cosx-sinx= )

4 sin(

2 )

4 cos(

2 x+π =− x−π

Cũng thường dùng để biến tổng thành tích

• BÀI TẬP

Câu 1) Biến đổi thành tổng các biểu thức sau:

a) A=cos5x.sin3x

b) B=cos(x+y).cos(x-y)

c) C=sin150.sin750

d) D=2sinx.sin2x.sin3x

e) E=sinx.cos(x+600).cos(x-600)

Câu 2) Biến đổi thành tổng các biểu thức sau:

a) A=sin(a+300)cos(a-300)

b) B=8cosx.sin2x.sin3x

c) C=sin(x+ x ).cos2x

6 sin(

)

6

π

d) D=4cos(a-b).cos(b-c).cos(c-a)

a) A=1+2cosx

b) B=1-2sinx

a) A=cos(x-300)-cos(x-600)

b) B=1+sinx+cos2x

c) C=sin5a+sin6a+sin7a+sin8a

d) D=sin2x-2sin22x+sin23x

e) E=4cos2x-1

f) F=cos(600+x)+cos(600-x)+cos3x

g) G=sin700-sin200+sin500

Câu 5) Không sử dụng máy tính hãy chứng minh:

a) sin700+cos700=

2 6

b) sin650+sin550= 3 cos50

c) cos120-cos480=sin180

d) tan2670+tan930=0

Câu 6) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) A=4(cos240+cos480-cos840-cos120)

b) B=

7

6 cos 7

4 cos 7

2

c) C=

4

5 sin 4 sin x x biết x=600

Trang 12

d) D=sin200.sin600.sin8

Câu 7) Rút gọn biểu thức:

a) A=

a

a a

4 cos 2

3 sin 5 sin −

b) B=

x x

x

x x

x

3 sin 2 sin sin

3 cos 2 cos cos

+

−

+

−

c) C=

a a

4 sin 4 cos 1

4 cos 4 sin 1

+ +

− +

d) D=

5

8 cos 5

4 cos 5

2 cos 5

e) E=

7

5 sin 7

3 sin 7 sin x+ x+ x

f) F=sin4x.sin10x-sin11x.sin3x-sin7x.sinx

Câu 8) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức:

a) A=cos100.cos300.cos500.cos700

b) B= 0 4sin700

10 sin

5

4 cos 5

2 cos π + π +

5

8 cos 5

6π + π

0

0 0

0

0 0

0

15 tan 3 3

15 tan 3 3 ( 6 50 cos 45 cos 40 cos

50 sin 45 sin 40 sin

−

+

− +

−

+

−

a) A=

a a

2 sin 4 sin

2 cos 4 cos

+

−

b) B=

x x

2 cos cos

2 sin 4 sin

2 2

−

c) C=

x x

x

x x

x

6 cos 4 sin 2 cos

− +

−

d) D=

1 cos cos

2

3 cos 2

cos cos

1

+ +

+

a a

a

e) E=

) sin(

)

sin(

sin )

sin(

)

sin(

sin )

sin(

)

sin(

sin

b c a c

c c

b a b

b c

a b a

a

−

+

−

+

−

f) F=

a b

a

a b

a a

b a

a b

a

cos ) cos(

sin ) sin(

− +

+ +

− +

+

− +

Câu 10) Rút gọn các biểu thức:

a) A=cos2a+cos22ª+ +cos2na

3 sin 3

3 sin 3 3 sin 3 3

3 3 2 3 3

) 1 cos(

cos

1

3 cos 2 cos

1 2

cos cos

N n a n na a

a a

+ +

Câu 11) Chứng minh các đẳng thức:

a) sina.sin(b-c)+sinb.sin(c-a)+sinc.sin(a-b)=0

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	669,5 KB