bNếu tồn tại ít nhất một số bé hơn A thì sẽ tồn tại ít nhất một số lớn hơn A.. Nếu trong B1 vẫn còn thừa số khác A ,thì ta lại tiếp tục thay thế nh trên.. Cách 5: Sử dụng Bđt Bernoulli N
Trang 1
bất đẳng thức cauchy
A.Bất đẳng thức Cauchy
1.Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm :
Cho a, b 0 Khi đó a b a.b
2
Đẳng thức xảy ra a b
Chứng minh:
Cách1: (Phơng pháp biến đổi tơng đơng)
b a b
a
.
0 ) ( 2
2 2
a b ab a b Bđt hiển nhiên đúng.
Đẳng thức xảy ra a b
Cách 2: (Phơng pháp hình học)
+ Nếu a =0 hoặc b=0 thì Bđt hiển nhiên đúng.
+ Nếu a>0 và b>0 thì ta đặt: HA=a, HB = b ( Hình vẽ )
b a HB HA HC
OI
b
a
.
2
Đẳng thức xảy ra HCOI H O ab
2.Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm:
Cho a,b,c 0 Khi đó 3
c b a
Đẳng thức xảy ra abc
Chứng minh: áp dụng Bđt Cauchy cho 2 số không âm, ta có
3 3
3
( ) (ab c abc ab c abc abc abc abc
3
3 abc c
b
a
3.Bất đẳng thức Cauchy tổng quát
Cho a1 ,a2 , ,a n 0 Khi đó
n n
i i n
i
a
1 1
1
( )
Đẳng thức xảy ra a1 a2 a n
Chứng minh:
Cách 1: (Phơng pháp quy nạp)
Ta có Bđt( ) đúng với n=2 (Bđt Cauchy cho hai số không âm !)
Giả sử Bđt ( ) đúng với n=k ,( k 2 )
Ta chứng minh Bđt ( )đúng với n=k+1 Thật vậy:
Không mất tổng quát ,giả sử a1 a2 a k a k1
y x a cho sao y
x k
a a
a
B
Trang 2Theo giả thiết quy nạp ,ta có : x k a1.a2 a k
1
.
1
1
1 1
1
1
1 2
1 1
2
1
1 2
1 1
1
1 1
1 1 2
1
k
k k k
k
k k k
k k k
k
k k
k k k
a a a a k
a a a
a
a a a a y x x y x x k
y x k
x
k
y x k
y x x k k
a a a
a
Vậy Bđt ( )đúng với n N*
Cách 2: (Phơng pháp hàm số )
n
i i n
n
i i
n
1 1
, 1
1
x B
a B
n x f
x n
i n
n
i x
n
i n n
i x n
i n
B
a B
a B n x f B
a B
a B n
x
f
1
2 1
ln 1
) ( , ln 1
)
(
) ( 0 0
)
0 0
1 ln 1 ln
1 ) 0 ( )
n B
a B
n f
x
n
n i i n
)
(x
f
n
i
n n
i
n B
a B n f
f
1
1 1
) 0 ( ) 1 (
n n
i i n
n
i
a
1 1
1
Dấu = xảy ra (1) (0) 1 1,2 1 2 n
n
a a
a n i
B
a f
Cách 3 : (Phơng pháp hàm lồi -Bất đẳng thức Jensen)
a Nếu a i 0 thì Bđt ( )hiển nhiên đúng
b Nếu a i 0 i 1 , 2 n ,Xét hàm số f(x) lnx ,x 0
) ( 0 0
1 ) ( ,
1
)
x x f x
x
n
i
i n
i i n
i i n
i
n
a n a
f n
a
n
f
1 1
1 1
ln 1
1 ln )
( 1 1
Trang 3
n
i i n
i
n
a
1 1
n
i i n
i
a
1 1
Đẳng thức xảy ra a1a2 a n
Cách 4: (Polya)
n
A1 1 2 Bđt Cauchy A n a1.a2 a n B ( )
a)Nếu a1a2 a n A thì a1.a2 a n A n ,khi đó dấu “=” trong ( ) xảy ra
b)Nếu tồn tại ít nhất một số bé hơn A thì sẽ tồn tại ít nhất một số lớn hơn A.
Do vai trò bình đẳng,ta có thể giả sử a1Aa2
Khi đó thay a1 bởi a 1 A thay a2bởi a2 a1a2 A
0 ) ).(
(
.
.2 2 1 2 2 1 2
2
1
2
1
A a a A a A
a
a
A
a
a
a
a
a
a
1 3
2 3
2 1 2
1.a a a a a a A.a a a B
a
Nh vậy trong B1 có thêm một thừa số bằng A
Nếu trong B1 vẫn còn thừa số khác A ,thì ta lại tiếp tục thay thế nh trên Sau tối đa n-2 lần ta sẽ
đổi đợc mọi thừa số a i thành A
A so n
a a
Vậy Bđt Cauchy đã đợc chứng minh
Cách 5: (Sử dụng Bđt Bernoulli)
Nếu a j 0 thì Bđt Cauchy hiển nhiên đúng
Do đó ta chỉ cần xét a j 0 , j 1 , 2 , 3 , ,n
j
a a
a
S j 1 2 j , 1 , 2 , ,
Từ Bđt Bernoulli (1a)n 1na, nN*,aR,a1.
t j 1 ( 1 ) 0 ,
t j jt (j 1 ) t 0 , j N (1)
áp dụng (1) với , 2 , 3 , ,
1
n j
S
S t
j
j
Ta đợc
S j
S
S j
S
j j
j j j j
j j j
j j
j
j
, , 3 , 2 , )
1 ( )
1 (
1 1
1 2 1
1 1 2 1
2 2 1
1
S
a
n n n
n n n
n
Bđt Cauchy đợc chứng minh
Cách 6:
Trang 4Đặt n
n
i i n
n
i
i
n
1 1
, 1
Sử dụng Bđt e x 1x , Đẳng thức xảy ra x 0 Ta có:
n n n n
i
i n
n
i n
i n
i
A
B a A A
a A
a A
a
1 exp
1 exp
1
n
A
n
A
a
1 0 1,2, , 1 2
Cách 7: (Cách chứng minh của Kong-Ming-Chong @ Malaysia )
Đặt n 1(a1 a2 a n)
n
T Bđt Cauchy T n n a1a2 a n (1)
*) Nếu a1a2 a n thì (1) đúng và xảy ra đẳng thức
*) Nếu a1,a2, ,a n không đồng thời bằng nhau ,ta sẽ chứng minh T n n a1a2 a n (2)
Với n=2 ,Bđt (2) hiển nhiên đúng
Giả sử (2) đúng với n=k ( k 1 ) Ta c/m (2) đúng với n=k+1 Thật vậy :
Giả sử a1,a2, ,a k1 không đồng thời bằng nhau và ( )
1
1
1 2
1
k T
j k i j
, sao cho 1 Giả sử a1T k1a2 (Nếu cần có thể đánh lại thứ tự )
0 0
) )(
(
1
2 1 1 2 1 2
1 1
k k k
a a T a a a
T
a
Xét k số không âm a3,a4, ,a k1, (a1a2 T k1) ta có
3 4 1 ( 1 2 1) 1
1
a
k
Theo giả thiết quy nạp ta có
1
2 1 1 4 3 1 2 1 1 4 3
k k k
k
k
a a a a a T
a a a a a T
1 3 2 1
1
T k k a a a a k (Đpcm)
Cách 8:
n
i
i
n
A
1
1
n
n
1
Khi đó Bđt Cauchy trở thành A n B n +) Với n=2 ,Bđt đúng
+) Giả sử Bđt đúng với n=k , ta c/m Bđt đúng với n=k+1 Thật vậy
k
A k a
A k1( 1) k1 k k1 k k11
Mặt khác
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 2
1 2
1
1 1
1
k k
k
k
k
k k
k
a k
k a k
a k
k a k
a k A A
k
k k
k
i i
k k k
k
i i k
k k
1
1 1
2 11 1
1
1 1 1 1
2
1 1
1
1
1
A k k B k k A k B k (Đpcm)
Cách 9:
Trang 5Ta c/m Bđt :
1 1
k k k k
k
B
A B
Thật vậy
1 1 1
1 1
1
1 1
1 1 1
1
1
1 1
1 1
k k k k
k k k k
k k k
k
k k
k k k
k k
k k k k
k
k
k A
a k a
A B
A k
A
a k a B
A a
B k
a kA B
A
(*)
A
a
k
k1
k
m k k
m k
m k k
A
a
k k k
1
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
Do đó , từ (*) suy ra
k k k k
k k k
k
k
B
A m m B
A B
A
.
1 1
n n n n n
B
A B
A B
A
1 1 1
1 1