Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE = AE F là trung điểm cạnh AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF.. Với mỗi điểm P trên đường thẳng d, ta dựng điểm Q sao cho: PAuuur+2PBuuur
Trang 1Đề số 6: Huế 2009- 2010
Bài 1: (4 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
x
b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
5 10
4
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC và đường thẳng (d) Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho
BE = AE F là trung điểm cạnh AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF Với
mỗi điểm P trên đường thẳng (d), ta dựng điểm Q sao cho: PAuuur+2PBuuur+3PCuuur=6IQuur Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi
b) Cho hai đường tròn đồng tâm O, khác bán kính và đường tròn (O') Dựng tam giác đều có một đỉnh ở trên (O') và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai đường tròn đồng tâm O
Bài 3: (4 điểm)
ïïí
2
x
f x
x
é æç + ÷öù
ç +
Bài 4: (4 điểm)
a) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau ?
b) Tính tổng: 2 1 2 22 2 2 33 3 2 k k 2 n n
Bài 5: (4 điểm)
Khi cắt mặt cầu (O, R) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu (O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của
Trang 2hình trụ với nửa mặt cầu Cho R = , hãy tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp1 nửa mặt cầu (O, R) để khối trụ đó có thể tích lớn nhất
Trang 3Đáp án Đề số 6: Huế 2009- 2010
Bài 1 NỘI DUNG ĐIỂM
(4đ)
2
x
a)
(2,0) Trên đoạn 0; pé ù
2
f x = - æççç - öæ÷÷÷÷ççç + ö÷÷÷÷
Trên đoạn 0; pé ù
ë û: 0£ x2£ 2p Þ sinx2³ 0Þ sinx2+ 36>0
0 0
x x
0
0
x
đồng biến trên khoảng 0;
2
p
çè ø).
Suy ra: f x'( )< Û0 x> x0
Do đó, '( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x , nên hàm số ( )0 f x có
một cực trị duy nhất, cũng là giá trị lớn nhất của hàm số tại x 0
( )0 2; ( ) 0
( )
2
0 0;
p
é ù
ê ú
ë û
æ ö÷
ç
çè ø
0;
5 10 ( )
4
Max f x
p
é ù
ê ú
ë û
= ; Min f xé0;pù ( ) 0
ê ú
ë û
=
0,5
0,5
0,5
0,5
b)
(2,0) b) Trong tam giác ABC:
2
C
C
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
0,5
0,5 0,5
Trang 4cos 1
2
6
ïïî
Hay tam giác ABC cân tại C và 2arcsin 6
4
C =
0,5
Bài 2
(4đ)
a)
(2,0)
Ta có:
PAuuur+ PBuuur+ PCuuur=PIuur+IAuur+ PIuur+IBuur + PIuur+ICuur
6PI IA 2IB 3IC
= uur+uur+ uur+ uur
IAuur=IEuur+IFuur = - ACuuur- ABuuur
IBuur =IEuur+EBuuur= - ACuuur+ ABuuur
ICuur =IFuur+FCuuur= - ABuuur+ ACuuurSuy ra: IAuur+2IBuur+3ICuur =0r
Do đó: PAuuur+2PBuuur+3PCuuur=6PIuur
Ta có: PAuuur+2PBuuur+3PCuuur=6IQuur Û 6PIuur =6IQuur Û IPuur = - IQuur
Suy ra, Q là ảnh của P qua phép đối xứng tâm I
Vậy tập hợp Q khi P chạy khắp (d) là đường thẳng (d') đối xứng của (d) qua I
Nếu (d) đi qua I thì (d') trùng với (d); nếu (d) không đi qua I thì (d')//(d) và (d') đi
qua điểm M đối xứng với một điểm 0' M chọn trước trên (d).0
0,5
0,5
0,5 0,5
Gọi (C1) và (C2) là hai đường tròn đồng tâm O
Lấy một điểm A trên (O') Giả sử dựng được tam giác đều ABC sao cho B ở trên
(C1) và C ở trên (C2)
Khi đó, C là ảnh của B qua phép quay Q(A, 600) (hoặc Q'(A, -600)), nên C ở trên
đường tròn (C'1) ảnh của (C1) qua phép quay Q(A, 600) (hoặc Q'(A, -600)), do đó C là
giao điểm của (C'1) và (C2) (nếu có)
b)
(2,0)
Cách dựng: Lấy trước một điểm A trên (O')
Dựng đường tròn (C'1) là ảnh của C1) qua phép quay Q(A, 600) (hoặc Q'(A, -600)),
nếu (C'1) và C1) cắt nhau tại điểm C, ta dựng ảnh B là ảnh của C qua phép quay
Q'(A, -600) (hoặc Q(A, 600)), điểm B phải ở trên đường tròn(O1) Tam giác ABC là tam giác đều cần dựng Có hình vẽ đã dựng
Chứng minh: Theo cách dựng, (C'1) là ảnh của (C1) qua phép quay góc 600 (hoặc (-600), nên trong phép quay ngược lại C biến thành B thuộc (C1)
Tùy theo số giao điểm của (C'1) và (C2) mà bài toán có bấy nhiêu nghiệm hình
Bây giờ, nếu dựng ảnh (C2') của (C2) qua phép quay Q(A, 600) (hoặc Q'(A, -600)), (C2') nếu cắt (C1) thì ta có thêm một số nghiệm
hình nữa
0,5
0,5
0,5 0,5
Trang 5Bài 3 (4đ)
a)
ïïí
ïïî
0,5
1,0
ïï
Û íï
ïïî
Logarit hóa 2 vế của (1): log 317( x +2y)+log 317( x- 2y) =1
Biến đổi (2) về cùng cơ số 17:
17
log 5
Đặt u=log 317( x+2 ;y) v=log 317( x- 2y) Khi đó, hệ phương trình trở thành:
1
v
v
ì
17
17
ïî
0,5
0,5
b)
2
x
f x
x
é æç + ÷öù
÷
ç +
1
2
1
ïî
Vậy: Tập xác định của hàm số là 1; 1
2
D = -êéêë ùúúû
0,5 0,5
0,5
Bài 4 (4 đ)
a)
(2,0) Gọi a a a a a a là số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập từ tập1 2 3 4 5 6
{0,1,2,3,4,5 }
+ Để lập thành một số dạng a a a a a a :1 2 3 4 5 6
a ¹ nên có 5 cách chọn a , sau đó chọn một hoán vị 5 chữ số còn lại.1
Do đó có tất cả 5.P = ´5 5 5! 600= số dạng a a a a a a 1 2 3 4 5 6
+ Ta tìm các chữ số có hai chữ số 0 và 1 đứng cạnh nhau:
Có 5 vị trí trong mỗi s ốa a a a a a để 2 chữ số 0 và 1 đứng cạnh nhau:1 2 3 4 5 6
xya a a a a xya a a a a xya a a a a xya a a a a xy trong đó vị trí đầu bên
0,5
0,5
Trang 6trái chỉ có một khả năng là 10a a a a3 4 5 6, các vị trí còn lại là một hoán vị của 0 và 1.
Sau khi chọn vị trí để hai chữ số 0 và 1 đứng cạnh nhau, ta chọn một hoán vị các chữ
số còn lại cho các chỗ còn trống
Do đó có 9 4! 216´ = số dạng a a a a a a , trong đó có chữ số 0 và chữ số 1 đứng1 2 3 4 5 6
cạnh nhau
Vậy: Có tất cả 600 216- =384số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó hai chữ số 0
và 1 không đứng cạnh nhau
0,5
0,5
b)
(2,0)
0 2 1 22 2 2 23 3 3 2n n n
Lấy đạo hàm hai vế, ta có:
Với x = , ta có:1
-1,0
0,5 0,5
Bài
+ Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O') Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu
+ Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của
hình trụ Ta có:
'
h OO= = R - r (0< £r R =1)
Thể tích khối trụ là: V r( )=p r h2 =p r R2 2- r2
0,5 0,5 0,5
0,5
3
1
r
V r = Û r = = V r > Û r < , do đó trên khoảng (0 ; 1) hàm
số V(r) đổi dấu từ âm sang dương, nên 0 6
3
r = là điểm cực đại của hàm số V(r)
Vậy:
(0;1
( )
û
æ ö÷
ç
6 3
3
h =
0,5 0,5 0,5
