Phương pháp tính... • Định lý: nhân 1 hàng hoặc 1 cột của ma trận A với 1 số khác 0, sau đó đem cộng các thành phần tương ứng vào một hàng hoặc một cột khác của ma trận đó thì giá trị củ
Trang 1Phương pháp tính
Trang 2n n
a a
a
a a
a
a a
a
.
.
2 1
2 22
21
1 12
11
∑ n a A
Trang 3• Định lý: nhân 1 hàng hoặc 1 cột của ma trận A với 1 số khác 0, sau đó đem cộng các thành phần tương ứng vào một hàng hoặc một cột khác của ma trận đó thì giá trị của định thức không thay đổi
b
b b
b b
b
00
0
2 22
1 12
b
b b
b b
b
00
0
3 33
2 23
22
11
b b 22
2 , 2
b
b b
b b
b
00
0
4 44
3 34
n n n
n
b
b b
,
, 1 1
, 1
0 b 11 b n , n
Trang 4a a
a
222
21
112
11
0 11
11 21 21
a
a a a
b
11
1
21 2
2
a
a
a a
11
21 / a a
Trang 5• Theo (1.2), với j = 1
det A = ⇒ det A = det
Lặp lại với ⇒ det A =
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
.
.
3 2
3 33
32
2 23
b
b b
a a
a
0 0
.
.
0
2 22
1 12
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
.
.
3 2
3 33
32
2 23
n n
c c
c c
b b
b a
0
.
.
2 23
22 11
n
j b
b
b b
ll
l lj
l il l
ij
l
ij ( 1) , 1(0) 1
)1()1
()
Trang 6⇒ det A = det ( 1 ) ( 1 )
22
) 0
( 11 )
1 (
) 1
( 2
) 1
( 22
1 12
11
0 0
.
.
n nn
n
n
a a
a a
a a
a a
a
Trang 7n n
A A
A
A A
A
A A
.
det 1
21
222
12
121
111
.
.
0
1 0
0
0 1
1 12
11
n
na a
a
a a
a I
A
Trang 8Sau khi biến đổi (1.8)
+ +
+ +
n n n
n n
n
n n
n
n n
n
c c
c
c c
c
c c
c I
A
2 , 2
, 1
,
2 , 2 2
, 2 1 , 2
2 , 1 2
, 1 1 , 1
1
0 0
.
.
.
.
0
1 0
0
0 1 ,
++
++
−
n n n
n n
n
n n
n
n n
n
c c
c
c c
c
c c
c A
2,2
,1
,
2,22
,21,2
2,11
,11
,11
.
.
1 0
0
0 /
1 /
/
1 12 11 1n 11 11
a a
a
a a
a a
a
Trang 9B2: nhân hàng 1 với rồi cộng vào hàng 2 ⇒
j=2,3,…,n+1
Tiếp tục áp dụng với hàng thứ l
Vậy có 2 bước tìm mt nghich đảo
- Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả cho ,j=l,…,n+l
- Với mỗi i=1,2,…,n; i ≠ l ta thay bằng
2
) 1
(
) 1
( l −
lj
ll a
) 1
( l −
ij a
a
a
a a
ll
l lj
l il l
( )
1 (
l
a
Trang 101.2 Hệ phương trình đại số tuyến tính Công thức Kramer
Cho hệ pt sau:
(1.10)
Hệ pt này có thể viết dưới dạng:
A= x= b=
det A≠0 thi (1.10) có nghiệm tính theo CT
n n
nn n
n
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 nn n n n n a a a a a a a a a
2 1 2 22 21 1 12 11 n x x x 2 1 n b b b 2 1 b A x = − 1 A b A b A b A A b A b A b x n n
det 1 21
2 11 1 1
+ + +
+ + +
=
Trang 11n n
a a
b
a a
b
a a
b A
x
.
.
det 1
2
222
2
112
11
−
−
nn j
n n
n j
n j
j n n
n
n
j j
a a
b
a a
b
a a
b
a a
a
a a
a
a a
.
.
.
det 1
1,
21
,22
11
,11
1,2
1
222
21
1,112
a a
a
a a
a
a a
a A
x
.
.
.
21
1,112
11
Trang 121. Phương pháp trực tiếp
a) Phương pháp khử dùng ma trận nghịch đảo
Ý tưởng: Thêm ma trận I vào bên phải của ma trận A ta được ma trận [A,I] dạng (1.7) Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp lên các
hàng của ma trận [A,I] cho đến khi [A,I] ở dạng (1.8) Khi đó nghiệm của phương trình (1.10):
⇒
n n n n
n n
n
n n
n n
n n
n n
c b c
b c
b x
c b c
b c
b x
c b c
b c
b x
2 , 2
, 2 1
, 1 1
2 , 2 2
, 2 2 1
, 2 1 2
2 , 1 2
, 1 2 1
, 1 1 1
+ + + = + + + = + + + = + + + + + + n i b c x n j i n j j i , 1 , 2 , ,
1 ,
=
= ∑
Trang 13b) Phương pháp khử Gauss
Cho hệ pt đại số tuyến tính sau:
(1.11)
G/sử ta áp dụng CT (1.5) cho TH l=1 lên (1.11) ta được
(1.12)
Tiếp tục, nếu thì (1.12) được đưa về dạng
1 , 2
2 1
1
1 , 2 2
2 22 1 21
1 , 1 1
2 12 1 11
+ + + = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a 0 11 ≠ a ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 ( 2 ) 1 ( 1 , 1 1 2 12 1 11 1 , 2 1 , 2 2 22
+ + = + + = + + = + + + + n n nn n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a n n n n n 0 ) 1 ( 22 ≠ a ) 2 ( ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 , 1 1 3 13 2 12 1 11 1 , 3 3 33 1 , 2 2 23 22
+
+
= +
+
= +
+ +
= +
+ +
n n
n n
a x a x
a
a x a x
a x a
a x a x
a x a x a
n n
n n
n
Trang 14Tiếp tục cho đến n-1 lần:
Nghiệm của hệ pt là:
(1.14)
) ( )
1 (
) 2 ( )
2
( 3
) 2 (
) 1 ( )
1
( 3
) 1
( 2
) 1 (
1 , 1 1
3 13 2
12 1
11
1 ,
1 , 3 3
33
1 , 2 2
23 22
n n
n
n n
n n
n
n n nn
n n
n n
a x
a
a x
a x
a
a x
a x
a x
a
a x
a x
a x
a x
a
+
+ +
=
= +
+
= +
+ +
= +
+ +
+
−
+
) (
1 ( 1 ) ( 1 )
1 , )
1 (
) 1 (
) 1
( 1 ,
−
=
=
∑
+
=
−
− +
−
−
− +
x a
a a
x
a
a x
j
n
i ij
i n i i
i
n nn
n n n n
Trang 15( l −
ll
a
) 1 (
) 1
( 1 ,
) 1
( 1 ,
) 1 (
−
− +
− +
−
=
=
i ii
n n
i i
n n i i
i ii
a
a x
a x
a
Trang 16d) Phương pháp Cholesky ( giải pt 1.10 )
0 det
; 0 det
0
3332
31
2322
21
1312
11
2221
1211
a
a a
a
a a
a a
a
a
a a
.
.
.
0
1
0
0 1
0
0 0
1
3 2
1
32 31 21
n n
l
l l
l L
u
u u
u u
u
u u
u u
U
0 0
0
.
.
.
0 0
0
3 33
2 23
22
1 13
12 11
Trang 17n n
b b b
y
y y y
l l l
l l l
1
.
.
0
1
0
0 1
0
0 0 1
3 2 1 3
2 1
3 2 1
32 31 21
n i
y l b
y
b y
i
j ij j i
i 1 2 , 3 , ,
1
1 1
nn
n n n
y
y y y
x
x x x
u
u u
u u
u
u u
u u
0 0
0
.
.
.
0 0
0
3 2 1
3 2 1
3 33
2 23
22
1 13
12 11
n i
x u y
x
u y x
n
j ij i
i
nn n n
, , 3 , 2 )
( 1
Trang 18.
.
0
1
0
0 1
0
0 0 1
3 2 1
32 31 21
n n
n l l l
l l l
u
u u
u u
u
u u
u u
0 0
0
.
.
.
0 0
0
3 33
2 23
22
1 13
12 11
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
.
.
2 1
2 22
21
1 12
11
n j
a
u 1 j = 1 j , = 1 , 2 , ,
11 1
1 1
11
1 u a , i 2 , 3 , , n l a / u
n i
u l a
u a
u u
l 21 1 j + 2 j = 2 j ⇒ 2 j = 2 j − 21 1 j = 2 , 3 , ,
Trang 19Hàng thứ i của U và cột thứ j của L
j i
u l
a u
l
j i
u l a
u
j k
kj ik
ij ij
ij
i k
kj ik ij
1 1
1
Trang 20i j j
ij
, 1
n
n n
n
a a
x a
a x
a a
x a
a x
a a
x a a
x a a
x a a
x
/ )
/ (
) /
( )
/ (
/ )
/ (
) /
( )
/ (
111
222
23
2223
12221
2
111
111
13
1113
21112
1
+
++
− + +
− +
−
=
+
− + +
− +
−
=
Trang 21Tổng quát:
Bước xuất phát
Các bước lặp tiếp theo được tính theo công thức
k= 0,1,2,…
) 15 1 (
, ,
2 , 1 ) ( , 1 , 1 n i a a x a a x ii n i n i j j ii j ij i = − + + = ≠ = ∑ nn nn k n nn n n k nn n k nn n k n n k n n k k k n k n n k k k a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x / ) / (
) / ( ) / (
/ ) / (
) / ( ) / ( / ) / (
) / ( ) / ( 1 ) 1 ( 1 1 , ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 11 1 2 ) ( 22 2 ) ( 3 22 23 ) 1 ( 1 22 21 ) 1 ( 2 11 1 1 ) ( 11 1 ) ( 3 11 13 ) ( 2 11 12 ) 1 ( 1 + + − − + + + + + + + + + − + + − + − = + − + + − + − = + − + + − + − = 0 , ,
0 ,
0 ,
k
Trang 22( ε là một số dương nhỏ chọn trước một cách bất kỳ)
Trang 23b, Phương pháp lặp Jacobi
G/t ma trận A có tính chéo trội Ma trận A= D+L+U
Viết lại phương trình (1.10) như sau:
.
.
.
0
0
0
0 0
0
0 0
0
32
1
3231
21
n n
a
a a
a L
0 0
0
.
.
.
0 0
0
0 0
0
3
223
113
12
n n n
a
a a
a a
a U
a
D
0 0
0
.
.
.
0
0 0
0
0 0
0
0 0
3322
11
) 16
1 ( )
(
) (
) (
1
D x
b x
U L
Dx
b x
U L
−
=
⇔
= +
+
Trang 24D
/ 1
0 0
0
.
.
.
0
/ 1 0
0
0
0 /
1 0
0
0 0
/ 1
3322
111
.
.
1
332
31
223
21
113
12
n n
n
n n n
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a b
a b
b D
/ /
/
222
111
1
Trang 25nn n
nn n
nn n
n n n
a b
a b
a b
x
x x x
a a a
a a
a
a a a
a a
a
a a a
a
a a a
a
x
x x
/ / / /
0
/ /
/
.
.
.
/
/ /
/
0 /
/
/ 0
.
222
111
321
32
1
333
223222
31
222
2221
111
11122
1
k k
k k
n
k n n
k k
k
n
k n n
k k
k
a a
x a
a x
a a
x a
a x
a a
x a
a x
a a
x a
a x
a a
x a a
x a a
x a a
x
/ )
/ (
) /
( )
/ (
/ (
) /
( )
/ (
/ )
/ (
) /
( )
/ (
)()
()
()
1
(
111
2
)
(222
)
(32223
)
(12221
1
)
(111
)
(31113
)
(21112
++
+
− + +
− +
−
=
+
− + +
− +
−
=
+
− + +
− +
−
=
; 0 , ,
0 ,
0
:
) 0 ( )
0
( 2
) 0
( 1
) (
=
=
k i
x x
x x
Trang 262 , 1 , 0 , ,
2 , 1
) 17
1 ( )
(
1
, 1
) ( )
1 (
i
x a
b a
i j j
k j ij
i ii
k i
Ví dụ
Trang 270
2 2 1
1
2 2
2 1
21
1 1
2 12 1
= +
− +
+
= +
+ +
−
= +
+ +
+
−
n n
n n
n n
n n
b x
x a x
a
b x
a x
x a
b x
a x
a x
) , ,
, ( 1 ( 0 ) 2 ( 0 ) ( 0 )
) 0
(
n
x x
x
x =
) 0 (
x
n n
n n
R b
x x
a x
a
R b
x a x
x a
R b
x a x
a x
= +
− +
+
= +
+ +
−
= +
+ +
+
−
) 0 ( )
0 ( )
0 (
2 2
) 0
( 2
) 0
( 2
) 0
( 21
1 1
) 0
( 1
) 0
( 2 12
) 0 (
Trang 28Chọn
Thay đổi biến một lượng ⇔
⇒ Pt thứ k:
Các hàng khác:
⇒sai số hàng thứ i thay đổi 1 lượng
tiếp tục quá trình trên cho đến khi đủ nhỏ thì dừng
) , ,
) ( ( 0 ) 2 ( 0 )
) 0
( 1 1
i n
in
k k
i k
i i
a R
b x
a
x a
x x
a x
a
k i
∆
−
= +
+
+
∆ + +
+
− +
) 0 (
) 0
( ,
) 0 ( )
0
( 1 2
) 0
(
1
k ik
Trang 29CHƯƠNG 2 XẤP XỈ NGHIỆM CỦA
) ( )
( x = P x = a x n + a x n − 1 + a x n − 2 + + a x n + a =
f
Trang 31Lược đồ Horner
Phương pháp này được phân tích như sau:
Trang 332 Một số phương pháp lặp
a) Phương pháp chia đôi:
Ý tưởng: Cho pt f(x)=0, liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b)<0 Theo định lý trên [a,b] pt có ít nhất 1 nghiệm
µ.
Trang 35b) Phương pháp dây cung
Lấy giao điểm của đoạn thẳng nối hai điểm (a, ƒ (a)) và (b, ƒ (b)) với trục hoành.
Có 3 khả năng xảy ra:
(
) )(
(
a f b
f
a b
b
f b
Trang 36c) Phương pháp lặp đơn
Trang 39d) Phương pháp lặp Newton-Raphson
Trang 43e) Phương pháp tiếp tuyến
Ta thay
Thì ta được phương pháp tiếp tuyến
và chọn bất kỳ gần nghiệm x
) (
) (
) )(
( )
n n
n n
n
x f x
f
x x
x
f x
x f
, 2
,
1 )
( )
(
) )(
x f
x x
x
f x
x
n n
n n
n n
n
0
Trang 442.2 Hệ phương trình phi tuyến
Cho hệ pt phi tuyến
(2.4)
, 0 )
, , ,
, , ,
(
, 0 )
, , ,
(
2 1
2 1
2
2 1
n n
x x
x f
x x
x f
x x
x f
Trang 451 Phương pháp lặp
Đưa hệ pt (2.4) về dạng
Nếu có
), , ,
, (
) 5 2 ( ),
, , ,
(
), , ,
, (
2 1
2 1 2 2
2 1 1 1
n n
n
n n
x x
x g
x
x x
x g
x
x x
x g x
1
22
21
2
12
11
+
∂
∂ +
+
∂
∂ +
∂
∂
n n
g g
g
x
g x
g x
g
x
g x
g x
g
Trang 46Tại lân cận nghiệm thì phương trình lặp đơnr = ( r 1 , r 2 , , r n )
) 7 2 ( )
( ( )
) 1
x + =
Trang 472 Phương pháp lặp Seidel
Với điều kiện (2.4), xuất phát từ bước lặp ban đầu
Bước lặp được tính theo công thức
) , ,
, ( 1 ( 0 ) 2 ( 0 ) ( 0 )
) 0
(
n
x x
x
), ,
(
.
(
),
(
) ( )
1
( 1
) 1
( 2
) 1
( 1
) 1 (
) ( )
( 3
) 1
( 1 2
) 1
(
2
) ( )
( 3
)
( 2 1
) 1
(
1
k n
k n
k
k n
k n
k n
k k
k
k n
k k
k
x x
x x
g x
x x
x g
x
x x
x g
x
+
−
+ +
+
+ +
+
+ +
+
=
+ +
+
=
+ +
+
=
) 1 ( k +
x
Trang 483 Phương pháp lặp Newton_Raphson
Trang 52Chương 3
Nội suy và xấp xỉ
hàm số
Trang 533.1 Số gia hữu hạn
Cho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc
Là …,
1 Số gia hữu hạn tiến
- Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm ƒ(x) tại điểm x là
m m
m i
ih x
x i = 0 + , = − , − , , 0 , 1 , ,
), ( x m
f − f ( x − m + 1 ), f ( x m ),
) ( )
( )
( x f x h f x
∆
Trang 54- Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn:
……….
k=1,2,…
) ( )
( 2 )
2 (
) ( )
( )
( )
2 (
) ( )
( )
(
2
x f h
x f h
x f
x f h
x f h
x f h
x f
x f h
x f x
f
+ +
− +
=
+ +
− +
− +
=
∆
− +
∆
=
∆
) ( )
1 (
) ) 2 (
(
! 2
) 1 (
) ) 1 (
( )
(
) ( )
( )
x f h
k x
f
k k
h k
x kf kh
x f
x f h
x f x
f
k
k k
k
− + +
− +
−
+
− +
− +
=
∆
− +
∆
=
Trang 55là một số (hệ số binôm) ( 1 ) ( ( ) )
) 1 3 ( )
( )
1 ( )
(
0
0
h i k x
f i k
ih x
f i
k x
f
k i
i
k i
i k k
− +
) 1
( 2
i k
k k
k i
2 )(
1 (
Trang 562 Số gia hữu hạn lùi
Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại điểm x
………
) 2 (
) (
2 )
(
) (
) ( )
(
) (
) ( )
(
2
h x
f h
x f x
f
h x
f x
f x
f
h x
f x
f x
f
− +
) 1 (
) 2 3 ( ),
) (
( )
1 ( )
(
0
ih x
f k
h i k x
f i
k x
f
k
i
k i
i k k
Trang 573 Số gia hữu hạn trung tâm
Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại điểm x
………
) (
) ( 2
) (
) 2 / (
) 2 / (
) (
) 2 / (
) 2 / (
)
( 2
h x
f x
f h
x f
h x
f h
x f
x f
h x
f h
x f
x f
− +
− +
=
−
− +
=
−
− +
=
δ δ
δ
δ
) 4 3 (
) 2
( )
( )
(
) 3 3 ( ),
) 2
/ ( (
) 1 ( )
(
0
h
k x
f kh
x f x
f
h i k
x
f i
k x
f
k k
k
k
i
i k k
+
= +
Trang 583.2 Các bảng số gia
Bảng số gia hữu hạn tiến
Trang 59Bảng số gia hữu hạn lùi
Trang 613.3 Các phương pháp nội suy
1 Nội suy với mốc cách đều
xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn
• Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến
x x
Trang 62Nội suy Gregory-Newton tiến
Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa
), 1 ) (
2 )(
1 (
.
), 1 (
,
, 1
] [
] 2
u u
u u
u u u
u u
u
k
Trang 63Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k]
Tương tự
] [ ]
u = + −
∆
] 1 [
] [ ]
1
) 1
=
k
k k
ku
u k
u u
u
!
) 1
( ]
[
] 2 [ ]
[
2
k u
u k
Trang 66• Nếu |ƒ(N+1)(x)|<M 1 , M 1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton tiến với sai số
) (
!
) 1 ( ] 1 [ 1
, 0
0
] [
h E
E i
y
u y
N N
N N
N
N i
i i
ξ
Trang 67Nội suy Gregory-Newton lùi
Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa
), 1 ) (
2 )(
1 (
.
), 1 (
,
, 1
][
]2[
]1[
]0[
− +
+ +
u u
u u
u u u
u u
u
k
Trang 68Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u[k]
[]
[k u k ( u 1 ) k
∇
]1[
]1[]
1
) 1
=
k
k k
ku
u u
u k
u
!
) 1
(
][
]2[]
[2
k u
u k
k
u
k k
k k
Trang 691
[1
]1
[1
[1
]
[0
(
1 0
] 0 [ 1
] 2 [ 1
] 1 [ 0) (
) 1 (
) (
− +
=
∇
N N
N
N N
N
c x
P
u c u
c N
u Nc x
P
2
]3
[1
]2
[0
2PN( x ) = N ( N − 1 ) c u N + ( N − 2 )( N − 1 ) c u N + + 2 × 1 × cN
Trang 70Như vậy:
0 0
2 0
2
1 0
0
!
) (
! 2
) (
, )
(
, )
(
c N
x P
c x
P
c x
P
c x
P
N N
N N
N N
N N
x P
u N
x
P x
!
)
( )
(
Trang 71• Nếu |ƒ(N+1)(x)|<M 1 , M 1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton lui với sai số
) (
!
) 1 ( ] 1 [ 1
, 0
0
] [
h E
E i
y
u y
N N
N N
N
N i
i i
ξ
N N
N N
N
N p
p p
p
y
p p
p y
p
p y
p y
∇
− +
∇ +
=
) 1 ) (
2 )(
1 (
! 3
) 2 )(
1
(
! 2
) 1
( )
Trang 72Nội suy Gauss
• Gauss tiến:
•Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1)[2k]δ2ky o /(2k)! thì sai số là:
•Nếu số hạng cuối là thì sai số là
! 2
) 1
( 2 )!
1 2
(
) 1
(
! 6
) 2
( 2
!
5
) 2
(
! 4
) 1
( 2
! 3
) 1
(
! 2 2
02
]2[1
12
]12[0
6
]6[1
5
]5[
04
]4[1
3
]3[0
2
]2[1
]1[0
k u
y k
k
u y
u y
u
y
u y
u y
u
y u
y
y
k
k k
k
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
)!
1 2
(
) ( )
( [2 1] 2 1 (2 1)1
k
u E
k k
k k
ξ
2 )!
1 2
(
) 1
Trang 73• Gauss lùi
Nếu số hạng cuối cùng là thì sai số là:
Nếu số hạng cuối là thì sai số là
)!
1 2
(
)
( )!
2 (
) (
! 5
) 2
) 1
(
! 2
) 1
( )
(
2 / 1
1 2 ] 1 2 [ 0
2 ] 2 [ 2
/ 1 5 ] 5 [ 0
4 ] 4 [
2 / 1 3
] 3 [ 0
2
] 2 [ 2
/ 1
] 1 [ 0
+ +
=
− +
k u y
k
k u y
u y
u
y
u y
u y
u y
u
y
k
k k
k
δ δ
δ δ
δ δ
δ
2/1
12
]12[
)!
1 2
(
)
(
−+
2 (
) ( )
( [ 2 ( 1 )] 2 ( 1 ) ( 2 ( 1 )) )
1 (
k
u E
k k
k k
ξ
0 2 ] 2 [
)!
2 (
) (
y k
Trang 742 Nội suy với mốc không cách đều
Nội suy Lagrange
Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi, i = 0, 1, 2, …, n:
a ≤ x0, x1, x2, …, xn ≤ b
tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f(x) là yi = f(xi),
i = 0, 1, 2, …, n
Trang 78Nội suy bằng đa thức Newton
Trang 82• Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu
Giả sử có 2 dạng đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một dạng đã biết:
y = a + bx + cx2 + ….
Chưa biết các giá trị cụ thể a, b, c …
Các cặp giá trị tương ứng (xi , yi) đã biết:
Trang 84• Trường hợp:
y = a + bx + cx2 Thì a, b, c là nghiệm của hệ chính tắc:
⇒ na + b∑x i + c∑x i 2 = ∑y i
a∑x i + b∑x i 2 + c∑x i 3 = ∑x i y i
a∑ x i 2 + b∑x i 3 + c∑x i 4 = ∑ x i 2y i
Trang 85Chương 4 Xấp xỉ đạo hàm, tích phân và nghiệm pt vi, tích phân
4.1 Tính đạo hàm
