co hoc luong tu

Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian là sử dụng để nghiên cứu quá trình hấp thụ và bức xạ bởi nguyên tử.. Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số.. quá trình này không thể đánh gi

sự chuyển dời từ trạng thái này sang trạng thái khác

Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian là sử dụng để nghiên cứu quá trình hấp thụ và bức xạ bởi nguyên tử Tổng quát hơn là xét chuyển dời của

hệ lượng tử từ mức năng lượng này đến mức năng lượng khác Trong quá trình chuyển dời các mức năng lượng, xuất hiện sự hấp thụ và phát xạ

photon Để làm sáng tỏa hơn chung ta nghiên cứu các nội dung sau

1 Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

2 Xác suất chuyển dời

3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số

4 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa

A PHẦN LÝ THUYẾT

1 Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.

Ở đây ta xét hiện tượng mà được mô tả bởi hàm Hamiltonians và hàm Hamiltonnians tách thành hai phần, một phần H0 không phụ thuộc vào thời gian và một phần V(t) phụ thuộc thời gian mà V(t) rất bé so với 0

H

H∧(t)=H∧0+V∧(t) (1) Trong đó H∧0được mô tả bởi hệ không nhiễu và giả sử đã biết nghiệm xét hệ này khi không có nhiễu loạn nó được diễn tả bởi hàm Hamilo-nian độc lập với thời gian H∧0 và có trị riêng E n , hàm riêng Ψn

t H i n

n

e e

t t

V t

V

, 0 0

0 ) ( ) ( (4)

Trong khoảng 0 ≤t ≤ τ thì Hamiltonian của hệ là H∧ (t)= H∧0+V∧(t) và phương trinh Schrodinger tương ứng là

( ) (H0 V(t)) (t)

dt

t d

i Ψ = ∧ + ∧ Ψ (5)Trong đó V∧(t) là tương tác đặc trưng của hệ với nhiễu loạn bên ngoài

Ảnh hưởng của V∧(t) tới hệ như thế nào? Khi hệ tương tác với V∧(t)thì nó cũng hấp thụ hoặc bức xạ năng lượng quá trình này không thể đánh giá được vì hệ chuyển dời từ một trạng thái không nhiễu đến trạng thái khác Ý chính của lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian là trả lời các câu hỏi: Nếu hệ là không nhiễu trong trạng thái riêng Ψi của ∧

0

H

mà xác suất mà hệ sẽ tìm thấy tại thời điểm sau đó trong trạng thái riêng không nhiễu khác Ψj là gì?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình Schodinger (5) Phương pháp chuẩn để giải (5) là tìm Ψ(t) trong các số hạng của hệ số khai triển C n (t)

n

t iE n n

n

e t C

Ψ ( ) ( ) −  (6) Sau đó thay vào (5) để tìm các C n (t) khác nhau bằng phương pháp gần đúng Thay vì tính tích này, chúng ta kết hợp với thế độc lập thời gian, nó sẽ thích hợp với nghiệm (5) trong bức tranh tương tác

I V I t t I

dt

t d

ih Ψ( ) = ∧ ( ) Ψ ( ) (7)Trong đó (t) e iH0t (t)

H i i

dt

t t U d

I

I

dt t t U t V

i t

1 )

I

I

dt t V

i t

t

U(1) ( , ) 1 ( , ) ,

) , ( )

,

( ' (1) ,

i I

Bây giờ chúng ta tính xác suất chuyển dời Nó có thể được cho các yếu tố ma trận của (14) với trạng thái riêng của H∧0

Xác suất chuyển dời tương ứng với sự chuyển dời từ trạng thái không nhiễu ban đầu Ψi đến trạng thái không nhiễu khác Ψj được cho

từ (14) và do ∑ Ψ Ψn =1

n

(15)Trong đó ta sử dụng

(16)Trong đó ωfi tần số chuyển dời giữa mức đầu i và mức cuối f , được

Xác suất chuyển dời ở (15) có thể viết theo khai triển hằng số C n (t)như giới thiệu ở (6) là.

P fi(t) = C(f0 ) +C(f1 ) +C(f2 ) + 2 (18) Trong đó:

C f( 0 ) = Ψf Ψi = δ ,i ; = − ∫t Ψ ∧ Ψ i t

i f

C

0

, ,

) 1

Xác suất bậc nhất cho bởi Ψi → Ψf với i≠ f ( ở đây Ψf Ψi = 0)

là thu được ở (15) tại bậc thứ nhất V I (t)

( )

i f

1.2 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số.

Trong trường hợp V∧ độc lập với thời gian, từ (20) dẫn đến

2 2

2 2

0

, 2

11

1)

fi

t i i f

t t i i f

ìf

fi

V dt

e V

Ψ

=

∧

2sin

4)

2 2

2

t

V t

fi

i f

ìf

ωω

(hình.1): Nó đáng kể khi ωfi ≈ 0 và giảm rất nhanh khi xa 0 ( ở đây, t xác định, chúng ta giả sử rằng



i f fi

Nghĩa là xác suất chuyển dời của hệ tìm thấy trong trạng thái Ψf và

năng lượng E f là lớn khi E i ≈E f hoặc khi ωfi ≈ 0 Chiều cao và rộng của đỉnh, xung quanh tâm ωfi = 0 là tỉ lệ với t2 và

t

1 Riêng, diện tích giới hạn tỉ

lệ với t; vì diện tích ở dưới đỉnh tâm, xác suất chuyển dời tỉ lệ với t vì thế xác suất chuyển dời cùng đường với thời gian Đỉnh tâm hẹp và rộng khi thời gian tăng, nó thuộc hàm Delta Do đó, khi lim → ∞ thì xác suất chuyển dời như hình dáng của hàm Delta

Như t →∞ ta sử dụng mối quan hệ sau

limsin2(2 ) (y)

t y

ω



 2 2 sin 2

Tốc độ chuyển dời, được định nghĩa như là xác suất chuyển dời trên thời gian, cho bởi

− Ψ

Chuyển dời cuối trở nên liên tục.

Bây giờ tính tốc độ chuyển dời toàn phần ứng với chuyển dời từ trạng thái ban đầu Ψi liên tục cho đến trạng thái cuối Ψf Nếu ρ( )E f

là mật độ cho trạng thái cuối, số mỗi trạng thái cho khoảng năng lượng,

số trạng thái cuối với khoảng năng lượng E f và E f +dE f là bằng



(27)Hoặc

W if = 2 π Ψf V∧ Ψi 2δ ( Ef − Ei)

Mối quan hệ này gọi là quy tắc Fermi golden rule Nó hàm ý rằng, trong trường hợp nhiễu loạn hằng số, nếu ta đợi đủ lâu thì tốc độ chuyển dời toàn phần trở thành hằng số

1.3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa.

Bây giờ xét nhiễu loạn điều hòa phụ thuộc thời gian

Xác suất chuyển dời tương ứng với nhiễu loạn này có thể thu được từ (20) là

2

0

, ) ( 0

, ) ( 2

, ,,

1

1 )

i f

t

t f i i f

Số hạng chéo bỏ qua, vì nó không đáng kể so với hai số hạng khác,

ta có thể viết biểu thức như sau

2 ) ( 2 2

2 ) ( 2 2

1 1

1 1

) (

ω ω ω

ω

ω ω ω

ω

−

− Ψ

Ψ +

+

− Ψ

Ψ

fi

t i i f

fi

t i i f if

fi

v

e v

t P

Ψ +

+

+ Ψ

Ψ

2 2 2

2

2 2

) ((

sin 1

2 / ) ((

sin 1

)

(

ω ω

ω ω ω

ω

ω ω

fi

fi i

f fi

fi i

2 4

2 4

)

của chuyển dời là lớn nhất khi tấn số của trường nhiễu loạn là ± ωfi Còn

2 ) (

2 )

(

2 2

ϖ δ

π ϖ δ

) (

2 ) (

ϖ δ

π ϖ δ

ở trên có năng lượng  ω cho thế V∧(t)thấy ở hình.3 Quá này gọi là phát

xạ cưỡng bức, hệ dễ dàng phát xạ photon với năng lượng  ω Điều kiện thứ hai, E f =E i +  ω năng lượng cuối lớn hơn năng lượng ban đầu, hệ hấp thụ photon với năng lượng  ω từ thế V∧(t) Như vậy ta có thể thấy số hạng e iωt và e−iωt trong thế V∧(t) tương ứng với phát xạ và hấp thụ photon

có năng lượng  ω

Cuối cùng, hiệu ứng nhiễu loạn điều hòa là truyền cho hệ hoặc nhận

từ hệ một photon có năng lượng  ω Ngược lại, nhiễu loạn hằng số không truyền cho hệ cũng không lấy năng lượng của hệ

=

i

f E E f i

(34)

Từ (29) là Hermitian, Ψf V∧ Ψi = Ψi V∧+ Ψf ∗, ta có

2 2

i f i

emi if E

E f

abs if

E

W E

W

) ( )

Biểu thức này biết như điều kiện của cân bằng chi tiết

B PHẦN BÀI TẬP Bài 1:

a Tính vị trí và toán tử xung lượng X∧H (t) và P∧H (t) trong bức tranh Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều

b Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho X∧H (t) và P∧H (t)

Bài giải.

Trong bức tranh schodinger trong đó toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian Hàm Hamilto-nian của dao động tử điều hòa có dạng ∧

i X P m X

! 3

1 ,

,

! 2







 +

A A B

A B

( ) cos( ) 1 Psin( t).

m t X

Tương tự ta tính được.

(1.7)Hoặc

t A d

H H

, 1 ) (

e P e m

i i e

H X e

i H t X i dt

( 1 )

e X e i

m i e

H P e i H t p i

( 1

∧

∧

) ( ), (t1 H t2

) cos(

), sin(

1 ) cos(

) (

),

m t X

t P

t

ω ω

=X,Pcos( ωt1) cos( ωt2)−P,Xsin( ωt1) sin( ωt2)

1 ) cos(

), sin(

1 ) cos(

) (

),

m t X

t P m t X

t X

t

ω ω

ω ω

ω

1 , cos( 1) sin( 2) 1 P,X sin( t1) cos( t2)

m t t

P X

ω ω

X t

X H H = − −



ω ω



(2.4)Tượng tự, ta có

) cos(

), sin(

) cos(

) (

 (2.6)

Bài 3 Tính lượng n X H t X n

∧

∧

) ( cho trạng thái thứ n của dao động tử điều hòa một chiều, trong đó X∧H (t) và X∧ là các toán tử vị trí trong bức tranh Heisenberg và bức tranh Schrodinger

Bài giải.

Sử dụng biểu thức của ( ) cos( ) 1 Psin( t).

m t X

X n n X t X

∧

a a m

∧

a a

m i p







 +

∧

n a a a a n m n X n

= n a∧+ a∧ a∧+a∧ a∧a∧+ n m

2 2

i n X P n

= i n a+ a∧ a+a∧ a∧a+ n

2 2 2



(3.3)

Ta có: n a∧+2 n = n a∧2 n =0 , n a∧+a∧ n =n , n a∧ a∧+ n =n+1 nên (3.2) và (3.3) là

ω



(3.4)

2



i n X P

n ∧ ∧ = − (3.5)

Vậy

2 )

m n X t X

Bài 4 Hàm Hamiltonian tương tác của một hạt có khối lượng m, điện tích q

và spin S trong trường điện từ dọc theo trục z là S z

trình chuyển động Heisenberg cho các toán tử S∧x (t), S∧y (t) và S∧z (t), và giải

chúng thu được các toán tử như hàm của thời gian

Bài giải.

Ta được phép viết H∧ =ωS∧z trong đó ω =−mc qB Giao hoán H∧ với các

toán tử spin tương ứng có thể được suy ra từ S∧x,S∧z= −i S∧y và

x z

e H A e

i H t A i dt

t A d

), 0 (

1 ),

( 1 )

dẫn đến

)()

0(),

0(

1),

(1

)

(

t S e

S e i

i e

H S

e i H t S i

i y H it H

it x

H it x

0 ( ),

0 (

1 ),

( 1

)

(

t S e

S e i

i e

H S

e i H t S i

i x H it H

it y

H it y

H it z

z

e H S

e i H t S i dt

t S

∧

∧

) ( ) (

∧

∧

) ( ) (

1 )

d z => S∧z(t)=S∧z(0) (4.8)

Bài 5: khảo sát hạt không spin có khối lượng m, chuyển động trong hố thế

một chiều sâu vô hạn với tường tại x= 0 và x=a.

a) Tìm X∧H (t) và P∧H (t) trong bức tranh Heisenberg

2

) ( ) ( )

0 ,

Bài giải:

a) Vì hàm Hamiltonian của hạt là động năng thuần túy

m

P H

2

1 ,

! 3

1 ,

,

! 2







 +

A A B

A B

1 ,

) (







 +

=

X H H

it X

H

it X e

X e t

i X

H

∧ = ∧+ ∧ ∧= ∧ +m P∧

t X X H

it X t

X H( ) ,

 (5.3)Còn P∧H (t)

! 2

1 ,







 +

=

P H H

it P

H

it P e

P e t

( )

a

x e

a

t iE t

sin sin

1 2 )

( 2 1 2

2 1

2

1 ) , ( )

= Φ

a

x a

x x

a X

X

0

2 1

2 2

1

9

16 2

sin sin

2

π

π π

Chúng ta có thể viết (5.8) là

∧

)(

9

16222

1),()

,

2

1 2 1

E

e a a

a t

x X t x

8

t a

x a

x x a i P

P

0 1

2 2

1

3

8 2

cos sin

Ψ x t P∧ x t P∧ P∧ P∧ e−i E −E t  P∧ e i(E −E)t

1 2 )

( 2 1 2

2 1

2

1 ) , (

)

,

(

(5.10)

2 )

( )

(

2

3sin3

8)(

3

82

1),()

,

ma

t a

e e

a

i t

x P

x t X t

2

3 sin 3

8 2

3 cos 9

8 2 ) , ( ) ( ) ,

(

ma

t am

t ma

t a

a t x t X t

8),(),(,

)(,

ma

t a

t x P t x t

x t P t

2 2

2

4

ma ma

x x

e

2 2

9

16 sin

2 sin

2

π

ε π

a

x n a

Thay (6.2) và (6.3) vào (6.1) ta được.

2

0

2 2 2

1

2 21

2 2

0 4 2

2 2

1

8

9 exp 9

16 4 9

21

a m

a dy

e e

ε

π π

Kết luận

Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian đã giải quyết sự hấp thụ hoặc phát xạ năng lượng khi có thế tương tác V∧(t) , bằng việc giải nghiệm gần đúng của phương trình Schrodinger và tính được xác suất chuyển rời cụ thể hơn là xác suất chuyển rời hằng số và xác suất chuyển dời điều hòa Tính được các xác suất chuyển dời đó, thì chúng ta sẽ tính được tốc độ chuyển dời Từ tốc độ chuyển rời đó sẽ hiểu hơn về việc hấp thụ hoặc phát xạ photon của hệ

Trong quá trình làm tiểu luận này, do trình độ dịch tiếng anh của tôi còn kém nên không thể không thiếu sót Kính mong thầy và các anh (chị) trong lớp đóng góp cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

Trang

Mở đầu

A PHẦN LÝ THUYẾT……… 2

1 Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian……… 2

1.1 xác suất chuyển dời………4

1.2 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số……… 5

1.3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa……….7

B PHẦN BÀI TẬP……….11

Kết luận……… 20

Mục lục………21