DẠNG MA TRẬN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Các biểu diễn trạng thái khác nhau của hệ lượng tử Chúng ta có các biểu diễn cho các trạng thái hàm sóng: - Biểu diễn theo tọa độ theo “x”, - Theo xung lượng “p” - Biểu diễn năng l

Bài 32 Các biểu diễn trạng thái

khác nhau của hệ lượng tử

Chúng ta có các biểu diễn cho các trạng thái hàm sóng:

- Biểu diễn theo tọa độ (theo “x”),

- Theo xung lượng “p”

- Biểu diễn năng lượng “E”.

CHƯƠNG VI DẠNG MA TRẬN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

2

- Ta có thể biến đổi hàm sóng từ biểu diễn “p” sang một

hàm sóng trong biểu diễn “x” và ngược lại.

( ) ( ) * ( )

, ,          (32.1) , ,          (32.2)

- Khai triển hàm sóng  (x,t) theo các hàm riêng của toán

tử năng lượng, với E của hạt là biến độc lập

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

   Tương tự C(p, t), ta viết C(E, t) là hàm sóng trong

biểu diễn “E”.

4

Như vậy, xác suất tìm thấy một giá trị nào đó của biến độc lập bằng môđun của hàm sóng cho trong biểu diễn tương ứng.

   E tn,    C tn    C E tn,          (32.7)

* Xác suất tìm thấy giá trị của tọa độ nằm giữa x và x+dx là:

*  Xác suất tìm thấy giá trị của xung lượng nằm giữa  p  và 

Chúng ta xét toán tử trong các biểu diễn khác nhau µR

1 Xét toán tử trong biểu diễn µR “x”

µ ( ) ( )        (33.1')

R ψ x = ϕ x

Ta viết

6

2 Xét toán tử trong biểu diễn µR “E”

Giả thiết các trị riêng En của năng lượng tạo thành một phổ gián đoạn

Gọi n (x) là các hàm riêng tương ứng Khi đó ta có:

      (33.2)      (33.3)

Nhân (33.4) với và lấy tích phân trên toàn miền của x,

3 Xét toán tử trong biểu diễn µR “p” với phổ liên tục

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

          (33.2 ')           (33.3')

p p

Các đại lượng đặc trưng cho trong biểu diễn “p” và cũng được gọi là phần tử ma trận của trong biểu diễn

Kết luận: ta có thể nói trong mọi biểu diễn các toán tử đều có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận

10

Ma trận đơn vị là ma trận chéo trong đó các phần tử ma trận chéo đều bằng 1 Đối với ma trận đơn vị ta có:

6 Ma trận unite

R là ma trận unite nếu R+R = RR+ = 1

Suy ra R+ là ma trận nghịch đảo của R, R+ = R-1, do đó một

ma trận unite không phải là ma trận ecmitic

7 Ma trận không, ma trận hằng số Spur của ma trận

      (34.31)''

8.3 Các công thức biến đổi hàm sóng từ biểu diễn tọa độ

sang biểu diễn xung lượng và ngược lại cũng có thể viết dưới dạng ma trận

b Xét toán tử tọa độ x trong biểu diễn riêng (biểu diễn“x”)

( ) ( )

' '

' '       (34.35) ' '       (34.36)

Kết luận: Tác dụng của hàm sóng F(x) trong biểu diễn “x”

quy về việc nhân với ψ ( )x F x( )

c Xét toán tử tọa độ trong biểu diễn “x” µp

22

Dựa trên các công thức (34.35), (34.38), mọi toán tử được cho dưới dạng

(34.31)

µ $ p x ,

Bài 35 Giá trị trung bình của một đại lượng dưới dạng ma trận Đưa ma trận về dạng chéo

µ

*        (*)

f = ∫ ψ ψf dx

1 Giá trị trung bình của một đại lượng dưới dạng ma trận

Xét trường hợp phổ gián đoạn, gọi là hàm riêng ψ n ( )x

m m n

Nhân 2 vế cho rồi lấy tích phân theo dx, chú ý hàm

là trực chuẩn, nên ta có được

Phương trình (35.7’) cho ta các nghiệm f (f = f1, f2, …,fn,…)

Thay vào (35.6) một trong các nghiệm ở trên (ví dụ fα) ta giải được các nghiệm tương ứng: