Suy ra d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm cố định với mọi k.. thỏa mãn đ/kiện.. Cho đờng tròn O;R có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau.. 1 Chứng minh rằng ABEP và PQEF là các tứ
Trang 1TRƯỜNG THCS VINH THANH
sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2005-2006
môn : Toán
Bài 1
Rút gọn biểu thức sau :
a)A =
5 1
1
9 5
1
13 9
1
+
2005 2001
1
2009 2005
1
b) B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2
Giải :
a) A =
1 5 1 5
+
5 9 5 9
+
9 13 9 13
+ +
2001 2005
2001 2005
+
2005 2009
2005 2009
Rút gọn, đợc A =
4
1
2009 b) áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=3 3 2 2 , b=3 3 2 2
và biến đổi => x3 = 6 + 3x
Suy ra A = 2006
Bài 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai đờng thẳng có phơng trình:
(d1) : (k + 1)x - y + 1 = 0 ; (d2) : 2(k - 3)x + ky - k = 0 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số k, các đờng thẳng (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại một điểm cố định
Giải :
Với k = 0 thì (d1) : x - y + 1 = 0 ; (d2) : - 6x = 0
Dễ thấy hai đờng thẳng đó cắt nhau tại điểm M0(0 ; 1)
Chứng minh đợc điểm M0(0 ; 1) luôn thuộc (d1) và (d2) với mọi k
Suy ra (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại một điểm cố định với mọi k
Bài 3
Giải hệ phơng trình :
1 2
2
1 2
2
1 2
2
y x
z
x z
y
z y
x
Giải :
Điều kiện của ẩn : x, y, z 1/2
Cộng vế-vế cả 3 phơng trình lại, ta đợc phơng trình:
2x + 2y + 2z = 2 2 x 1 + 2 2y 1 + 2 2 z 1 (*)
Biến đổi (*) <=> ( 2 x 1-1)2 + ( 2y 1-1)2 + ( 2 z 1-1)2 = 0
<=> 2 x 1 = 2y 1 = 2 z 1 = 1 <=> x = y = z = 1 thỏa mãn đ/kiện Thử lại, thấy x = y = z = 1 thỏa mãn hệ
Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1)
Bài 4
Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau
Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD Dây AM cắt BD tại Q, cắt BC tại E, dây AN cắt DB tại P, cắt DC tại F
1) Chứng minh rằng ABEP và PQEF là các tứ giác nội tiếp
2) Biết góc MAB = , tính diện tích tam giác AEF theo R và
Giải :
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST
Trang 2TRƯỜNG THCS VINH THANH 1)Trớc hết từ giả thiết suy ra MAN = 450
Có : EAP = 450 = EBP => ABEP là tứ giác nội tiếp
Tơng tự chứng minh đợc ADFQ là tứ giác nội tiếp
EPF = EQF = 900 => tứ giác PQEF nội tiếp
2) Có SAEF = (1/2).AF.EP
Tính đợc EP = R/cos.; AF = R/ 2cos(45 0 - )
Suy ra SAEF = (R2 / 2.cos .cos(45 0 - ))
Bài 5
Chứng minh rằng với a 3 ta luôn có : a
21
16
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Giải :
Ta có: (21/a) + 3a = (21/a) + 7a/3 + 2a/3
áp dụng BĐT Côsi, đợc (21/a) + 7a/3 2
3
7
21 a
Dấu bằng xảy ra <=> (21/a) = 7a/3 <=> a = 3
Mặt khác do a 3 nên : 2a/3 (2.3/3) = 2 Dấu bằng xảy ra <=> a = 3
Từ đó suy ra: (21/a) + 3a 16 với a 3 (đpcm!))
Dấu bằng xảy ra <=> a = 3 <=> x = 0
Cách giải khác:
BĐT cần chứng minh : (21/a) + (3a) 16 (*) với a 3
Có (*) <=> 3a2 - 16a + 21 0 <=> (a - 3)(3a - 7) 0
Do a 3 nên (a - 3) 0 và (3a - 7) 3.3 - 7 = 2 => (a - 3)(3a - 7) 0
Dấu bằng xảy ra <=> a = 3 <=> x = 0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST