de thi dap an toan 9 - 3

1 Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng MN là lớn nhất khi cát tuyến MAN song song với đờng thẳng OO'.. 2 Chứng minh rằng bốn điểm B, M, I, N nằm trên một đờng tròn... Hớng dẫn chấm này chỉ

sở giáo dục - đào tạo

quảng ninh

-kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 năm học 2004-2005

đề thi chính thức

môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút Chữ ký GT 1 (không kể thời gian giao đề)

Bài 1:

Giải phơng trình : (x 1 ) (x 2 ) + (x 1 ) (x 3 ) = 2

) 4 ( ) 1

(x x

Giải :

Điều kiện: (x-1)(x-2)  0; (x-1)(x-3) )  0; (x-1)(x-4) )  0 (*)

* Nếu x  4) thì áp dụng công thức A.B  A B với A, B  0, ta đợc:

(1) <=> x 1 x 2 + x 1 x 3 = 2 x 1 x 4

<=> x 2 + x 3 = 2 x 4 (1a)

Giải (1a) với x  4) , đợc kết quả (1a) vô nghiệm

* Nếu 1< x < 4) thì (x-1)(x-4) ) < 0, không thoả mãn điều kiện (*)

=> không có x nào thuộc khoảng (1 ; 4) ) là nghiệm của (1)

* Nếu x = 1, thử trực tiếp và thấy x = 1 là nghiệm của (1)

* Nếu x < 1thì áp dụng công thức A.B   A  B với A, B  0, ta đợc:

(1) <=> 1  x 2  x + 1  x 3  x = 2 1  x 4  x

<=> 2  x + 3  x = 2 4  x (1b)

Giải (1b) với x < 1, đợc kết quả (1b) vô nghiệm

Vậy phơng trình đã cho (1) có duy nhất nghiệm x = 1

Bài 2:

Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện : x  1 + x 2 = y  1 + y2 Chứng minh rằng x = y

Giải :

Giả sử có x, y thoả mãn x  1 + x 2 = y  1 +y2 => x  1; y  1

- Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!)

- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:

1



x + x 2 = y  1 + y2 <=> ( x  1 - y  1 ) + (x2 - y2) = 0

<=> (x - y)/( x  1 + y  1 ) + (x2-y2) = 0

<=> (x - y).(1/( x  1 + y  1 ) + x + y) = 0

<=> x - y = 0 (vì 1/( x 1 + y 1 ) + x + y > 0) <=> x = y

Vậy nếu có x, y thoả mãn x  1 + x 2 = y  1 + y2 thì x = y (đpcm!)

Chú ý: Có thể giải bằng cách xét các trờng hợp:

- Nếu x > y, CM đợc x  1 + x 2 > y  1 + y2

- Nếu x < y, CM đợc x  1 + x 2 < y  1 + y2

- Vậy nếu x  1 + x 2 = y  1 + y2 thì x = y

Bài 3:

Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x2 - 3) ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2

1) Tính theo a giá trị biểu thức A = 2

2 1 2 2

2 1

3

a x

ax a

x ax





 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Giải :

1) Do phơng trình x2 - 3) ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a2 + 4) a > 0 (1) ; x1 - 3) ax1 - a = x2 - 3) ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3) a

=> x1 = 3) ax1 + a ; x2 = 3) ax2 + a

2 1 2 2

2 1

3

a x

ax a

x ax





2 2

4

a a a

a





2) Theo (1) thì 9a2 + 4) a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A  2

A = 2 <=> 9a2 + 4) a = a2 <=> a = -1/2

Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x1 = -1 và x2 = -1/2

Vậy Anhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2

Bài 4:

Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Qua

A vẽ cát tuyến MAN với M thuộc (O) ; N thuộc (O') và M, N không trùng với

A Tiếp tuyến tại M của đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O') ở

I

1) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng MN là lớn nhất khi cát tuyến MAN song song với đờng thẳng OO'

2) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, I, N nằm trên một đờng tròn

Giải :

1) Gọi H, K lần lợt là trung điểm AM, AN => MN = 2 HK

Chứng minh đợc HK  OO', ở đó OO' không đổi => MN  2OO' ,

dấu = xảy ra <=> HK//OO' <=> MN//OO'

Suy ra MN lớn nhất <=> MAN // OO' (đpcm

2) Chứng minh đợc :

- nếu A ở giữa M và N thì MIN + MBN = 1800

- Nếu N (hoặc M) ở giữa AM (hoặc AN) thì MIN = MBN

Từ đó suy ra bốn điểm B, M, I, N thuộc một đờng tròn

hớng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005

môn toán lớp 9 - bảng B

điểm Bài 1 Điều kiện: (x-1)(x-2)  0; (x-1)(x-3) )  0; (x-1)(x-4) )  0 (*) 0,5 đ

5 điểm * Nếu x  4) thì áp dụng công thức A.B  A B với A, B  0, ta đợc:

(1) <=> x 1 x 2 + x 1 x 3 = 2 x 1 x 4

<=> x 2 + x 3 = 2 x 4 (1a)

Giải (1a) với x  4) , đợc kết quả (1a) vô nghiệm 1,0 đ

* Nếu 1< x < 4) thì (x-1)(x-4) ) < 0, không thoả mãn điều kiện (*)

=> không có x nào thuộc khoảng (1 ; 4) ) là nghiệm của (1) 1,0 đ

* Nếu x = 1, thử trực tiếp và thấy x = 1 là nghiệm của (1) 1,0 đ

* Nếu x < 1thì áp dụng công thức A.B   A  B với A, B  0, ta

đ-ợc:

(1) <=> 1  x 2  x + 1  x 3  x = 2 1  x 4  x

<=> 2  x + 3  x = 2 4  x (1b)

Giải (1b) với x < 1, đợc kết quả (1b) vô nghiệm 1,0

Vậy phơng trình đã cho (1) có duy nhất nghiệm x = 1 0,5 đ

Bài 2

5 điểm Giả sử có x, y thoả mãn

1



x + x 2 = y  1 +y2 => x  1; y  1

- Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!)

0,5 đ 1,5 đ

- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:

1



x + x 2 = y  1 + y2 <=> ( x  1 - y  1 ) + (x2 - y2) = 0

<=> (x - y)/( x  1 + y  1 ) + (x2-y2) = 0

<=> (x - y).(1/( x  1 + y  1 ) + x + y) = 0

<=> x - y = 0 (vì 1/( x 1 + y 1 ) + x + y > 0) <=> x = y

Vậy nếu có x, y thoả mãn x  1 + x 2 = y  1 + y2 thì x = y

(đpcm!)

1,5 đ

1,0 đ 0,5 đ

Chú ý: Có thể giải bằng cách xét các trờng hợp:

- Nếu x > y, CM đợc x  1 + x 2 > y  1 + y2

- Nếu x < y, CM đợc x  1 + x 2 < y  1 + y2

- Vậy nếu x  1 + x 2 = y  1 + y2 thì x = y

Bài 3

3 1)

2 điểm

Do phơng trình x2 - 3) ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta

có : 9a2 + 4) a > 0 (1) ; x1 - 3) ax1 - a = x2 - 3) ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3) a

=> x1 = 3) ax1 + a ; x2 = 3) ax2 + a

1,0 đ 0,5 đ

2 1 2 2

2 1

3

a x

ax a

x ax





2 2

4

a a a

a



điểm

3 2)

2 điểm Theo (1) thì 9a

2 + 4) a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A  2

A = 2 <=> 9a2 + 4) a = a2 <=> a = -1/2

Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x1 = -1 và x2 = -1/2 1,0 đ0,75 đ Vậy Anhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2 0,25 đ

Bài 4 Hình vẽ: I

M A N

B

4 1)

2,5

điểm

Gọi H, K lần lợt là trung điểm AM, AN => MN = 2 HK

Chứng minh đợc HK  OO', ở đó OO' không đổi => MN  2OO' ,

dấu = xảy ra <=> HK//OO' <=> MN//OO'

Suy ra MN lớn nhất <=> MAN // OO' (đpcm !)

1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ

4 2)

3,5

điểm

Chứng minh đợc :

- nếu A ở giữa M và N thì MIN + MBN = 1800

- Nếu N (hoặc M) ở giữa AM (hoặc AN) thì MIN = MBN

1,5 đ 1,5 đ

Từ đó suy ra bốn điểm B, M, I, N thuộc một đờng tròn 0,5 đ

Các chú ý khi chấm:

1 Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.

2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất

điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.

3 Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 nhng phải thống nhất trong tổ chấm.

Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, đợc làm tròn nh với thi tốt nghiệp.

Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh.

Bài 4:

Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng dA, dB, dC, dD sao cho dA

 OA, dB  OB, dC  OC, dD  OD Các cặp đờng thẳng dA và dB, dB và dC, dC

và dD, dD và dA tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N

1) Chứng minh ba điểm N, O, L thẳng hàng

2) Chứng minh rằng OK.OM = OL.ON

điểm Bài 4 Hình vẽ:

4 1)

3 điểm

Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp

và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A,

B, C, D của tứ giác ABCD

0,5 đ 0,5 đ

Có NOK + KOL =  - ONA - OKA +  - OKB - OLB

=  - ADO - ABO +  - BAO - BCO

=  - ( A + B + C + D )/2

0,5 đ

4 2)

3 điểm Trớc hết ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp Thật vậy, ta có:NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC

= (1/2).( A + B + C + D ) = 2

1,0 đ 1,0 đ

Bài 4:

Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC của đ-ờng tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiếp tuyến qua M cắt AB ở E, cắt AC ở F

a) Biết AO = a Tính chu vi tam giác AEF theo a và R

b) Đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q Hạ OH  BC (H  BC)

Chứng minh rằng:

EF

PQ

=

R OH

Bài 4 Hình vẽ:

B

E

M

A

F

C

4 1)

2 điểm Chứng minh đợc chu vi AEF = 2 ABTính đợc AB = AO 2 OB2 = a 2 R2 (do A nằm ngoài (O) nên a>R)

Suy ra chu vi AEF = 2 a 2 R2

1,0 đ

1,0 đ

4 2)

4 điểm Hạ OH  BC Vì EB và EM là tiếp tuyến nên OEB = OEM = 900 - (AEF)/2

Do đó BPE = 1800-ABC-OEB =(AEF +BAC)/2 = 900-AFE/2

Suy ra OPQ đồng dạng OFE