1 Chứng minh chữ số tận cùng chữ số hàng đơn vị của các số tự nhiên n và n5 là như nhau.. Vậy: không có số nguyên tố p nào thỏa mãn đề bài.. Cho đường tròn tâm O, bán kính R > 0 không đổ
Trang 1đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs
Năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán Câu 1 (4 điểm) Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
1)
P
a b a c b c b a c a c b
, trong đú a b c, , là cỏc số đụi một khỏc nhau Giải :
P
a b a c b c b a c a c b
a c b b a c c b a
a b b c c a
0
ac ab ba bc cb ca
a b b c c a
Q
, trong đú x 2 Giải :
2 1 2 1 [(2 1) 2 2 1 1] [(2x-1)-2 2x-1 1]
Q
=
1
( 2 1 1) ( 2 1 1)
2
1
( 2 1 1 2 1 1)
2
(vỡ x 2 nờn x 1 1 và 2x 1 ≥ 1) = 2(x 1)
Câu 2 (4 điểm) Tỡm x, y, z thỏa món hệ sau:
x z
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3
3 3
3
Giải :
Biến đổi tương đương hệ ta cú:
2 3
( 2)( 1) 2
3 2 2
Trang 2Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2.
Vậy: với x = y = z = 2 thỏa mãn hệ đã cho
C©u 3 (4 ®iÓm) 1) Chứng minh chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của các số tự nhiên n
và n5 là như nhau
Giải :
Ta có: n5 n n n ( 4 1) n n ( 2 1)( n2 1) n n ( 1)( n 1)( n2 1)
Ta có (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) và 5n(n – 1)(n + 1) đều chia hết cho 10
Do đó n5 n chia hết cho 10, suy ra điều phải chứng minh
2) Tìm số nguyên tố p để 5p 2 1 là số nguyên tố
Giải :
+ Nếu p = 2 thì 5p 2 1 21 không phải là số nguyên tố
+ Nếu p > 2 thì p phải là số lẻ (vì p là số nguyên tố)
Do đó 5p 2 1 là số chẵn lớn hơn 2, suy ra 5p 2 1 không phải là số nguyên tố
Vậy: không có số nguyên tố p nào thỏa mãn đề bài
Câu 4 (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R > 0 không đổi và hai đường kính cố
định AB, CD vuông góc với nhau Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn OC (I không trùng với O và C); dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M
và N (khác điểm A)
1) Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng
Giải :
K O I
N C
B A
Vì góc NAM ˆ 900 nên MN là đường kính của đường tròn
(I, IA)
ba điểm I, M, N thẳng hàng
Trang 32) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K Chứng minh rằng: DM.DA = DK.DO
Giải :
Xét 2 tam giác KMD và AOD có:Vì góc NAM ˆ 900 và MK // AC nên ta có:
0
ˆ
Góc MDKˆ chung.
Suy ra hai tam giác vuông KMD và AOD đồng dạng
Từ đó suy ra: DK DA
DM DA DK DO
3) Tính tổng MA + NA theo R
Giải :
Từ
INC IMK
CN = MK
Vì MKD vuông cân nên CN = MK = MD
Vậy AM + AN = AM + CN + AC = AM + MD + AC = AD + AC = 2 2.R
C©u 5 (2 ®iÓm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
Giải :
Víi mäi sè thùc x ta cã :
2
x x x x x x x
a b c a b c a a b b c c
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
(a 1)(a 1) (b 1)(b 1) (c 1)(c 1) 0
Suy ra : 4 4 4 3 3 3
a b c a b c