Chuyên đề hsg phần dãy số 11

DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP... Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.Bài 12... Cho dãy số  u nđược xác định như sau... Hãy xác định số hạ

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.

Bài 1. Cho dãy số  u n

xác định bởi :

1 1

Bài 3. Cho dãy số  u n

q 

và 1

12

Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a d a a d , , 

Theo giả thiết ta có hệ:  2 2  2

9125

Từ đó ta có:

15n n

n u

Hướng dẫn giải

Ta có u11;u2 4;u3 25

Đặt

25

Từ hệ thức u u n2 n (u n11) ;2   n * và u u là các số chính phương suy ra1; 2 u là số chính phương với n

mọi n nguyên dương

Bài 7. Cho dãy số  a n n1

1 1

rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn

x n

*6

Hướng dẫn giải

Ta có:

1(3 ) (2 ) 2 (1)

Xét dãy ( )a , n n 1, 2, được xác định như sau:  1

23

a 

và

2 1

Thật vậy, khi n  thì theo (2), ta có ngay (3).1

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k Khi đó

Tiếp theo ta chứng minh lima  Thật vậy, ta thấy ngay n 1 a n 1   n * Do đó:

, suy ra dãy ( )a tăng ngặt n

Dãy ( )a tăng và bị chặn trên nên hội tụ Đặt lim n a n  thì l

Do đó từ (3) suy ra f x( )x với mỗi x  (đpcm).0

Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây

f x  e  

 

Cố định x   ta có 0  

0 2

x n

2 n 1

x n n

a  e  

  ta có:

0 2

20152016

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

Bài 12. Cho dãy số ( )u xác định như sau n

11;

Bài 13. Cho dãy số  u n

được xác định như sau

1

1,2013

1

1,2013

n n

u u

v   v

.Lại có: 1 1

Bài 17. Cho dãy số  u n

xác định bởi u  và 1 1 u n1 3u n2 với mọi 2 n  1a)Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n .

b)Tính tổng S u 12u22u32 u20112

là cấp số nhân với x  , công bội là 3.1 2Nên: x n 2.3n1 v n 2.3n1 1 u n 2.3n1 1

a) Ta có:

2

2 tan8

k

a k u



.Cho n 2015, ta có: 2015

1 12

u u

Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152

Bài 22. Cho dãy số

 

1

* 1

1:

n n

n n

u u

9( ) : 3

, ( )2

n

v v

Vì phương trình đặc trưng của dãy  y n

có hai nghiệm phân biệt 2;5 nên  2n 5n

B A

5

n n n

72:

n

u u

a) Chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm.

b) Lập công thức tổng quát của dãy số  u n

u u

b) Lập công thức tổng quát của dãy số  u n

Ta có

*7

n n

n

u x

x 

n n x

12016:

2015 1

,2016

n

n n

u u

.Giả sử: u k 1, (k1); Cần chứng minh: u k11

n n

u      n

1 2

23

u u

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy u n

.b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015

Hướng dẫn giải

1 2

11

v v

b) Ta có u20162015! 2016 chia cho 2015 dư 1

Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số

 

1

1 2 1

3:

y x

, khi đó ta được dãy  y n

xác định như sau: 1

13

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.

11lim

Giả sử công thức (1) đúng với n k ta có: u k 10kk.

Vậy u n 10nn, n N

1

* 1

41( 4 4 1 2 ),9

?.

Hướng dẫn giải

Đặt x n  1 2 u n  x n2  1 2 ,u n

2 10

u u

q 

và 1

12

n n n

u v u

   Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số  u n là n 33 2

n u

n n

* 1

u u

2

n v

2004

12

Với

 Viết lại 0u1 tồn tại duy nhất : 0 a1   2



và u1 sin a2 Lúc đó: u2 4sin a2 (1–sin a2 )sin a22 ; u3 4sin a22 1–( sin a22 )sin a24

Quy nạp ta được: u n sin2(2n1a)

n

1 1os(2 )

thỏa điều kiện đã cho

Bài 3. Cho x x1, , , , 2 x n là các nghiệm dương của phương trình tan x x được sắp theo thứ tự tăng

a   để dãy số ( ) u có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó n

Hướng dẫn giải

Ta có: u n1 u n (u n  a)2  0 u n1u n; n 1, 2,3,

* Suy ra dãy số ( )u tăng; từ đó dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên n

Giả sử tồn tại limu n L L(   , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ) u n1u n2(1 2 ) a u na2 ta có:

2 (1 2 ) 2

L L   a L a  L a

- Nếu có chỉ số k  * mà u k  thì a u n a;  nên L a n k  trái với kết quả limu n   L a

Do đó: u k  với mọi a k 1, 2, hay u n2 (1 2 ) a u na2 a,  n 1, 2,3, nói riêng

Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 u n a,  n 1, 2,3, (H/s trình bày ra)

Như vậy dãy ( )u tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn n

Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 thì dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn và lim n u n a

Bài 5. Cho hai dãy số  a n

a b

 

 ;b n1 a n1.b n

, n 1, 2,.Chứng minh rằng  a n

n a

n n n

9sin cos sin

n n n

n a

Bài 6. Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

1

2

12

 với mọi n  1

Vậy  x n

có giới hạn

Bài 7. Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác

trung bình của tam giác ABC .

Xây dựng dãy các tam giác A B C1 1 1, A B C2 2 2, A B C3 3 3, sao cho tam giác A B C là một tam giác đều1 1 1

cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n 2, tam giác A B C là tam giác trung bình của tam giác n n n

n n n

A B C   Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu r tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp n

tam giác A B C Chứng minh rằng dãy số n n n  r n là một cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát của

q 

và số hạng đầu 1

1.3

r 

+ Số hạng tổng quát: 1

1.3.2

Bài 8. Cho dãy số  a n

được xác định bởi: a  và 1 1 a n1a n2n với mọi 1 n  Xét dãy số 1  b n

mà: b n a n1 a n với mọi n  1

a) Chứng minh rằng dãy số  b n

là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp sốcộng đó

b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số  b n

theo N Từ đó, hãy suy

ra số hạng tổng quát của dãy số  a n .

Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết  b n 2n 1  b n là một cấp số cộng với số hạng đầu b  và công sai 1 1 d  2

b) + Tổng N số hạng đầu của dãy  b n

là: S N N2..+ Số hạng tổng quát của dãy  a n

u v

u 

, thì dãy (v ) n

n n n

1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Cho dãy số U n

n

U U

2

n n

1 tan

12

n n

n

u u

0, 1,

p i i p i i

x x

1

p i i

1 (1 1)

p i

3 3

g x 

a a 

,

2 1 1

1( , )

1

a a

3 3lim g(x)= ; lim g(x)=+

.Tập giá trị là:

3 3

;2

( ) n n i, a

i i

là đa thức bậc n có hệ tử bậc n là 2n–1.Chứng minh bằng quy nạp dựa vào công thức:cosntcosn1t2cos cost n1t

2n

f x  

,

k n

, k0,n

1max ( )

2n

f x  

Vậy   1;1  1

1min max | ( ) |

Bài 3. Cho dãy số  x n

không âm thỏa mãn x  ,1 0

Bài 4. Cho dãy số dương x n

thoả mãn: x nx n12x n2 với mọi số tự nhiên n  Chứng minh rằng1

Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến x n a  

Vậy dãy số {xn} hội tụ

Bài 5. Cho phương trình x2 x1 0 với  là số nguyên dương Gọi  là nghiệm dương của

Bài 6. Cho dãy  a n

với n > 0 được xác định bởi:

a b

n Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n để 2015 là một ước của b n

Vậy mệnh đề đúng với n  , do đó nó đúng với mọi n nguyên dương.4

Điều đó chứng tỏ a luôn chia hết cho n với mọi n nguyên dương n

b) Gọi r là số dư của n b cho 2015 với n n 1;2;3 .

Trước tiên ta chứng minh  r n

là một dãy tuần hoàn Thật vậy: Ta có

Bằng quy nạp ta chứng minh được: r m k r m T k  với k 1; 2;3; ;m1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra  r n ,n 0là một dãy tuần hoàn.

Bổ sung vào dãy  b n

phần tử b  thỏa mãn 0 0 b0b1  suy ra b2 r  0 0

Khi đó dãy  r n

là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên r  Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy0 0

 r n bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong.

Bài 7. Cho dãy số  u n

được xác định như sau: u 0 0,u 1 1, u n2 2u n1u n,n 0,1, 2, Chứng minh

Khi đó ta được dãy  S n

được xác định như sau: S 1 2, S 2 6,

Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1

Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào

Nếu cả a và 1 a đều chính phương, giả sử 2 2

Trường hợp 1:

3 3

12019

b a

3673

b a





 



 , vô lí do 335 không là lập phương

Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương

Bài 9. Cho dãy  u n

thỏa mãn các điều kiện sau :

2 3 9999

{0;1}

003333

3 2n 3

n

   , giả sử tồn tại n chẵn để  x  n 3

là lập phương của 1 số tự nhiên:

Khi đó 22n11 3 c3 Mặt khác n chẵn suy ra n  lẻ suy ra 1 1

Vậy không tồn tại n chẵn để  x  n 3

là lập phương của một số tự nhiên

Bài 11. Cho dãy số u n

được xác định như sau: u0 0,u1 1,u n2 2u n1u n n, 0,1, 2, Chứng minhrằng

Khi đó ta được dãy  S n

được xác định như sau:

khi và chỉ khi 2

k n

Bài 12. Cho dãy số thực  x n

được xác định như sau:

n H

Dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n

12

a 

thì

10,2

n

x   n

.Vậy

Hướng dẫn giải

Từ công thức truy hồi của xn ta có.

Giả sử n là số thỏa mãn x x n1 n 500 là số chính phương

(ở đây n 2016 ) Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n Khi đó nó sẽ đúng với n 2016.

Do u nguyên dương với mọi n , (5) tương đương n

Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi n 2,3,

Vì vậy (5) đúng n 2016 Ta có điều phải chứng minh!

Bài 5. Cho dãy ( )a n n 1

n

n n

 

 

 

k k

2

5 105

Bài 6. Cho dãy số  u n

1 2

*

12

u u

018

1230

n n

n n

Suy ra u chia hết cho 6n n

u   n  n + Nếu p 2: có ngay đpcm

1

(3 3)

p p

2014 1007 (3 3)

p i

Bài 10. Cho dãy số  x n xác định bởi

Hướng dẫn giải

Từ công thức truy hồi của xn ta có

Giả sử n là số thỏa mãn x x n1 n 500 là số chính phương.

Đặt x x n1 n 500b x x2, n1 n 1 a a b2, , ,a b

Ta có a2 b2 501 a b a b    1.501 3.167

.Khi đó ta tìm được a201,b1 thì x x n1 n 12600 n 2

Với a85,b82 thì 1

72245

n n

x x   n

Vậy n = 2 thì x n1.x n  là số chính phương.1

Bài 11. Bài 3 Cho phương trình x2 x1 0 với  là số nguyên dương Gọi  là nghiệm dương

của phương trình Dãy số  x n

được xác định như saux0 , x n1  x n, n0,1, 2,3,

.Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho x chia hết cho n 

Vậy x n1 x n11 (mod ) Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi k  *, n2k1, thì

Vậy x 2l chia hết cho  ,   l *

Bài 12. Cho dãy số  a n

Ta phải chứng minh v là số chính phương n

Thật vậy, xét dãy số (x ) xác định bởi n

ta chứng minh (1) đúng với n = k+2, nghĩa là chứng minh v k2 x2k2

Thật vậy, theo công thức truy hồi của dãy số  a n

, giả thiết quy nạp, tính chất (2) của dãy số  x n

, côngthức truy hồi của dãy số  x n

, ta có

Do đó v là số chính phương Vậy ta có điều phải chứng minh n

Bài 13. Cho dãy số ( )x được xác định bởi n x n 2013n a 38n3  1, n 1, 2, a là số thực

a))Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn

b)Tìm a sao cho dãy số ( )x là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó) n

a 

.b)Từ lý luận phần a) ta suy ra)

201322013

220132

20132

a 

Ta đi chứng minh

20132

a 

là điều kiện đủ để có kết luận trên

Thật vậy: Với

20132

a 

và trong trường hợp đó ( )x là dãy số n

tăng từ x 1