Các Dạng Toán Về Giới Hạn Dãy Số 11 Có Lời Giải Chi Tiết

thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11 Dạng ➀ Chứng minh dãy số có giới hạn là 0 Phương pháp Cách 1 Áp dụng định nghĩa Cách 2 Sử dụng các định lí sau Nếu k là số thực dương thì Với hai dãy số và , nếu với mọi n và thì Nếu thì Ví dụ minh họa Ví dụ ➊ Chứng minh các dãy số sau đây có giới hạn là 0 a) b) c) d) Lời giải a) Với mỗi số dương tùy ý, cho trước, ta có Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên ta đều có Vậy b) Ta có thì Áp dụng định l[.]

Chứng minh dãy số có giới hạn là 0

 Phương pháp:

Cách 1: Áp dụng định nghĩa.

Cách 2: Sử dụng các định lí sau:

 Nếu k là số thực dương thì

1

n 

.

 Với hai dãy số  u n

và  v n

, nếu u n v n với mọi n và limv n 0 thì limu n 0.

 Nếu q 1 thì limq n 0.

 Ví dụ minh họa:

a)

 1

n n

u

n





 b)

cos 4 3

n

n u

n



 c)

3

1 cos

n

n u

n





 d).

 

n

 Lời giải

a) Với mỗi số dương  tùy ý, cho trước, ta có

n

n

Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên

1 1 5 4

n



  ta đều có u n  Vậy limu n  0 b) Ta có   ¥n *thì

n

n

số thực dương cho trước thì

1

n 

” ta được

1

n Từ đó suy ra limu n  0

c) Ta có   ¥n *thì

3

n

n



một số thực dương cho trước thì

1

n 

” ta được

1

n  Từ đó suy ra limu n  0

d) Ta có

 

,

n

Vì

n n

 

suy ra limu n  0

Ví dụ ➊

CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11

Dạng ➀

Dùng định nghĩa chứng minh dãy số  u n có giới hạn L.

 Phương pháp:

Chứng minh limu n L 0.

 Ví dụ minh họa:

Chứng minh:

a)

n

n u

n



 b)

lim

 Lời giải

a) gọi

n

n u

n





  ¥ ta có n *

n

n u



Vì

1

n

nên

1

2

n

u

1 lim

2

n

u 

b) Gọi







n

 

Vì

2

3

n

  

 

2

3

n

u

2 lim

3

n

u  c) Gọi u n  n22n n 

  ¥n * ta có u n  1 n22n (n 1)

2



 2

2





Tìm giới hạn của dãy  u n có giới hạn hữu hạn:

 Phương pháp:

 DẠNG 1: u n là một phân thức hữu tỉ dạng

 

 

n

P n u

Q n



( trong đó P n Q n   , là

hai đa thức của n).

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho n k với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n 

Ví dụ ➊

Dạng

➁

Dạng

➂

và Q n ( hoặc rút n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n  và Q n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn.

 DẠNG 2: u n là một phân thức hữu tỉ dạng

 

 

n

P n u

Q n



( trong đó P n Q n   , là

các biểu thức chứa căn của n).

 DẠNG 3: u n là một phân thức hữu tỉ dạng

 

 

n

P n u

Q n



( trong đó P n Q n   ,

là các biểu thức chứa hàm mũ a b c n, ,n n,… Chia cả tử và mẫu cho a n với a là cơ

số lớn nhất ).

 DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:

PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau:



   

2 2

2 2

2 2

a b

a b

a b

a b





  





3 3

a b



 

3 3

a b



 



   

2

2

3 3

a b

a b

.



   

2

2

3 3

a b

a b



2 2

3 3



2 2

3 3



3 3

a b

.



3 3

a b

 DẠNG 5 : TÍNH GIỚI HẠN DỰA VÀO ĐỊNH LÍ KẸP:

PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào định lí: Cho ba dãy số    u n , v n và  w n Nếu u n  v n w n, n

và limu n limw n a a,  ¡  thì limv n a.

 DẠNG 6: u n được xác định bởi một công thức truy hồi.

Phương pháp:

Tìm công thức tổng quát của u n theo n, sau đó tìm limu n.

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới

hạn.

 DẠNG 7: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC:

 Ví dụ minh họa:

Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

a)

2 2

n

u

n

 



3 2

4 3

4

n

u



4 2

2

n

u



n

u

n

u



n

n n u





 Lời giải

được:

2

2 2

2 2

2

3

n

u

n n

n n

 



3

n  nên

lim

n

cho n được: 4

3 2

4 3

4 3

3 4

4

n

u

n n n

Ta có

2

n  lim 32 0,

n  lim 44 0

n  ,

4

n 

1

n 

Do đó

0 0 0

1 0 0

n

c) Có

4 2





2

4

3 2

2

2

n

n

n n u



4

4

n

n

 

3

n

1

n  ,

1

n 

1

n  Nên

lim

n

2

n

u

Ví dụ ➊

Ta có

2

2

2

2

2

2

2

1

n

n

n n u



2 2

2

1 1

n n n

 

2

n lim 32 0,

n  lim 32 0

n 

1

n  Do đó

1 0 0

(1 0)(2 0)

n

e)

n

u



3 3

3

3 4n

n n

3 3

3 4

n n

Từ đó

n

u

1

n lim 33 0

n  ,

2

n Do đó

   

   

2

lim

16

n

f)

2 2

2 2

n

n n

u

n

n n n



Mà

2

n  lim 12 0

n  ,

2

n n 

2

3

n 

Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

a)

2 2

n

u

  



 b)

n

u

n



c)

n

u



3 3 3 4 4

3

n

u

n



 Lời giải

Ví dụ ➋

a)

2 2

2

2 2

n

n

u

n

2

1

n 

và

3

n  Nên

4 0 0 1 1 lim

3

9 0

n

b)

4

n

u

n n

n n

5 4

n





Vì có 1

n 

và

5

n

Từ đó có

lim

2

4 0

n

c) Ta có

n

u

1

n  lim2 0,

n  lim 33 0,

n 

1

n 

Từ đó suy ra

3

lim

5

n

d) Ta có

3

2 3 3 4

4 4

4

3 3

n

u

n n

3 2

4

4

1 16

n

n





3 2

4

4

1 16

n





Vì có

1

n  lim 32 0,

n 

1

n  Nên

3 4

lim

2

16 0

n

Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

a)

n n

n n n

 b)

n n

2 1

u    



d)

2 2

n

u







u





2

u    

 Lời giải

a).Ta có

2

1

n

u

 



  

  Ta có

2

4

n

  

 

3

4

n

  

 

0 1

1 0

n

b) Ta có

2

n

u

 

 





 

2

5

n

  

 

4

5

n

  

 

  Do đó

lim

n

c) Ta có



2

4

6

5

6

n

n



  

 

 



  

 

4

6

n

  

 

5

6

n

  

 

Do đó

2

lim

n

d) Ta có

1 2

2 2

2

3

2 1

3 3

n

n n

u





 



Vì

2

n

 

2

1

3

n 

2

3

n  Do đó

2.0 0

1 0

n

Ví dụ ➌

e) Ta có :

3

20

n

u





 

3

5

n

4

5

n

  

 

lim

n

f) Ta có

2

5

n

u



 

2

5

n

  

 

3

5

n

  

 

0 0 100

2.0 9.0 5

n

Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

a) u n  n23n  b) 5 n u n  9n23n   4 3n 2

c) u n  3n33n2  d) n u n  38n34n2 2 2n 3

e) .u n  4n2  3n 7 38n35n21

. f).lim n4  n2 1 3n61

 Lời giải

a) Ta có

2

n



2

n

n

u



, vì

5

n 

5

n  Nên

3 lim

2

n

u 

b)

2

2

n

2

n



có



2

Ví dụ

2 2

n

n

u



, vì

2

n 

4

n  Nên

lim

2

9 0 0 3

n

c)

2

3 2

3

2

3

n

2 2

3

n



Ta có

3 2

3

3

2

n

n u

3

n  Nên limu n  1 d) u n  38n34n2 2 2n 3

2

2

3

2 2

3

n



Ta có

3 2

3

2

n

n

u



2

n  4

n

2

n  Nên

1 lim

3

n

u  e) u n  4n23n 7 38n35n2 1  4n2  3n 7 2n  2n38n35n21

 Tính

2

2

7 3

4

n n





lim 2n 8n 5n 1

2

2

lim



2

2

lim

n



(1)

Có

3 2

3

Nên

 

2

2

2

1 5

n

n



2

2

1

lim

12

n

 

Từ đó suy ra

lim

n

f) lim n4  n2 1 3 n6 1 lim n4  n2 1 n2  3 n6 1 n2

 Tính lim n4  n2 1 n2

2 4

1 1

2



  

 Tính

3

1

2

Tìm các giới hạn sau:

a)

2 2

lim

 

  b)

2

2 3 3

4

n

u



d) lim n22n23n28n3 3 n2n

 Lời giải

Ví dụ

a) Ta có

2

2

1

và

2

2

Do đó

3

2

3 1

u

n

 

 

b)

2 3 3

lim

4

Ta có 2n 4n2n

1

n

và n3 4n2n3

2

2

2 3 2 3 3 2 3



2

2 2

n n

Do đó

2

3 4 3 4

3

16 1

n

u

n

c) u n 2n 9n2 n n22n 3n 9n2n  n22n n 

Tính

2

2

lim

n





2 2 2

lim

9 3

n

n





6

2

2

2

n n

Do đó

n

d) u n  n2 2n23 n28n3 3 n2 n  n22n n  23n28n3 4n

3 n2 n 3n

    n22n n  2 3 n28n3 2n 3 n2 n n

2

2

2

n n

 Tính lim3n28n3 2n

2

2

lim



2 2

lim

n



(1)

2

3

Do đó

12

n

 Tính  2   2  2 

2

2

2

n



2

Từ đó suy ra

n

Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

a)

n

u

n n

 b)

n

u

n

u

n

n

n u

n



e)

n

n u

   



lim

g)

4 3

lim

n

  

  h)

4

n

 Lời giải

n

u

Nên

n

u

b) Ta có (3 2) 31 1 1 (33 (3 1) (32) 3 12) 13 (3 32) 3 1 1 (3 32) 3 2 1

n

u

1

3n 1

 

n

c)   ta có k 2

2

n

u

n

Ví dụ

Nên

1 1

n

u

n





n

n u

n



Ta có dãy số 1 3 5   (2n 1)là một cấp số cộng với u1 công sai 1 d   3 1 2 và số

hạng tổng quát u m2n1 u1 m1d 2n  1 1 m1 2 2  n   1 m n 1, nên tổng

1

1

Từ đó

 

2 2

2

2

1 1 1

4

n

u n

n

có 1

n

4

n 

từ đó suy ra

1 lim

3

n

u 

e)

n

n u

   



6

(được chứng minh

bằng phương pháp quy nạp) Nên

1 2

2

n

u

n

n





do đó

lim

n

f) Ta có

lý quy nạp) Do đó

L

g) Ta có

 2

2

4

n n

    

( chứng minh bằng phương pháp quy nạp) Do đó

 

 

2 2

4 3

4 3

4 4

4 4

1 1

4

n

L

n

n n n



2

4

1

1

lim

4 1

n

n n



nên

1 4

L h) Ta có

     

4

Do đó

     

4

lim

4

L

n

lim

4

n



lim

4



có

nên

1 4

L

Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

a)

n

n u

n



   

n

u

c)

   *

1.3.5.7 2 1

, 2.4.6 2 n

n

n

d)

n

n u

n n



 Lời giải

k



n

u















Do đó

1 ,

n

n

1

b) Ta có:

2

………

2

Mà

2

1

và lim1 1 Từ đó suy ra limu n  1

Ví dụ

c) Rõ ràng u n    ¥ do đó0, n *  u n 2    ¥0, n * Có

2

n

u

n

 2

2 2 2 2

n

n



0

n

u

n

 Mà lim 0 0 và

1

lim u n 0 Từ

đó suy ra limu n  0

.Áp dụng với k1, 2,3, ,n được :

0

n k



(1) và

 

1

n k



(2)

Từ (1) và (2) suy ra

 1 1 1

n

n n

Mà

lim

3 3 và

 1 1 1

lim

n n



3

n

1

1 1

2022

1

2022

n n

u











 Lời giải

u  u  u  u 

Do đó:

2 1

1 2022

u  u

3 2

1 2022

u u 

1

1 2022

n n

Suy ra:

1

1

1 1

n

n





Ví dụ

Vậy

1

1 1 2022 2022

2021

n n

n

u



1

1 1

2022

2021

n

n n

n n

u



6 4 7 48

(Cô si) Mặt khác

2022

n

Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

n

u   n  n  c) n

4 3 2

1

n

u

n





n

2

2

10

n

n

f)

3

n

u



 Lời giải

a) Ta có

3

n

n n

n n

3

lim n   Từ đó suy ra limu n  

b) Ta có

3

n

n n

n n

4

lim n   Từ đó suy ra limu n  

c) Ta có

2

2

2

1

n

n

 

2

n  ,

4

1

n 

1

n  nên

4 2

1

n n n

 



và có lim n   Từ đó suy ra

limu n  

d) Ta có

n n

3

4

n

3

4

n

Ví dụ

e) Ta có

2 2

2 2 cos

10

10

n

n n

n



2

10

n





mà

1

n  nên

2

cos 10

n n





do đó

2

cos

10

n n



limu n  

f) Ta có

4 2

4

3

2 3

3

2

n

n

u

n

2

2 2

1

n n

4

n  lim 14 0,

n  lim 32 0

n 

và

2

n 

do đó

2 4 2

1 0 0 2

1

 

(1) Ngoài ra có lim n   (2).

Từ (1) và (2) suy ra limu n  