Chuyên đề ôn thi đại học: Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải

Nhằm giúp học sinh có kỹ năng và phương pháp giải về phương trình, bất phương trình được tốt hơn, mời các bạn cùng tham khảo chuyên đề ôn thi đại học Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải dưới đây. Hy vọng chuyên đề phục vụ hữu ích nhu cầu học tập và ôn thi.

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình, bất phương trình vô tỷ là một chủ đề quan trọng trong chương trình

bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như luyện thi đại học, cao đẳng Có rất nhiều dạng toán về

phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể dùng là một câu phân loại trong các

đề thi HSG hay đề thi ĐH, CĐ

Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm

trong quá trình dạy học, dạy luyện thi, dạy bồi dưỡng HSG, tác giả viết chuyên đề :

“ Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỷ và phương pháp giải”

Ở mỗi phần là phương pháp giải, dạng toán, cách giải tương ứng, những lưu ý, ví

dụ minh hoạ sau đó là bài tập vận dụng Có ba phương pháp giải cơ bản thường dùng là

phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số

Trong bản báo cáo này tác giả có đề cập thêm phương pháp khử căn đưa về phương

trình bậc bốn

Đề tài được viết nhằm giúp học sinh có kỹ năng và phương pháp giải về phương

trình, bất phương trình được tốt hơn Do hạn chề về thời gian chắc không tránh khỏi

thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp và cấp

CHUYÊN ĐỀ

Phương trình - bất phương trình vô tỷ

I Phương pháp biến đổi tương đương

Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là

tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện

cho g x  0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trìnhbất phương trình về dạng quen

tương tự cho bất phương trình

* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải

theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương

pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay

lại sử dụng phương pháp khác

* Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì

việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử

dụng như phương trìnhbất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang

hướng khác

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 1 x2  3x 1  0(ĐH Khối D – 2006)

Biến đổi phương trình thành: 2

2x    1 x 3x 1 (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế

ta được: x4  6x3 11x2  8x 2  0 ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa

thức ta được:

(*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0

* Nếu m < 2  phương trình vô nghiệm

* Nếu m  2  phương trình  x22mxm2+4m3=0 Phương trình này có

Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu

+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm

+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x    1 t 0 (*) trở thành:   2  

t  m t   (**) Để (*) có 2 nghiệm x  1thì (**) phải có 2 nghiệm t  0

Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

 



 để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai

nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1

a Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho

2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5x  1 x  1 2x 4 (ĐH Khối A – 2005)

Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành:

5x  1 x  1 2x 4 khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải

x    Kết hợp

với điều kiện ta tìm được |m|  4

b Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:

Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m,

phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2  

x  x  m x (1) Giải: ĐK: x 2, do m > 0

2 2

4

m x

x

x x

m x

        nên f(x) là hàm liên tục trên 2;  và đồng biến

trên khoảng đó suy ra m 0 phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 <  

e Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:

- TH1: Mẫu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x 10  34

- TH2: Mẫu âm, dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:

x x x

4x  5x  1 2 x   x 1 9x 3 HD: Nhân lượng liên hợp

Bài 2: Giải bất phương trình sau: 2

Bài 3: Giải phương trình 4  3 10  3x  x 2 (HD: Bình phương hai lần ra phương trình

bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức)

Bài 4: Giải phương trình 2 2

7 5x  3 3x   1 x 1 (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2  0)

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m

Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 2

4xx  x m

a Có nghiệm

b Có hai nghiệm phân biệt

Bài 9: Giải các bất phương trình sau:

Ta thấy vế trái là bình ph-ơng một số, ta sẽ chọn a sao cho vế phải cũng là bình

ph-ơng của một đa thức Mà vế phải là một tam thức bậc hai Do vậy để nó là bình

ph-ơng ta cần   0 ( hoặc   ' 0)

Nh- vậy:   2   2

9 3 a    6 2a 8 a   0

Đõy là phương trỡnh bậc ba nờn bao giờ cũng cú ớt nhất một nghiệm

Ta có thể giải ph-ơng trình này theo hai cách:

Cách 1: Biến đổi đ-a về ph-ơng trình bậc 3

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay nhập thẳng ph-ơng trình vào rồi giải:

Giải theo hai cách ta có: a   3

Dùng máy tính thử trực tiếp ta có: x    3 31, x    4 4 2 là thỏa mãn ph-ơng trình ban

đầu nên ph-ơng trình (1) có hai nghiệm: x   3 31, x    4 4 2

+) Bài (1) ta cũng có thể giải đ-ợc bằng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Sau

đây sẽ trình bày theo cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn

+) Từ ph-ơng trình :    2  2 

1    x 8x  48   x 2   x 8x  48   x 4  0 Nhìn vào

đây sẽ cho ta nhiều ý nghĩa hơn là việc đi giải các lớp bài toán này là ta có thể đ-a ra

một loạt bài toán dạng này bằng cách cho tích hai nhân tử tr-ớc sau đó nhân ra khai

triển và rút gọn Những dạng bài nh- thế này sẽ rất tốt cho kĩ năng tính toán của học

sinh

- Qua hai bài tập ở trên cho thấy ý nghĩa của việc giải ph-ơng trình bậc 4 Tuy nó ch-a

phải là một công cụ tối -u cho việc giải toán nh-ng Nó là một công cụ mạnh để giải

toán và giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải những ph-ơng trình bậc cao

- Về mặt lý thuyết thỡ ta cú thể giải mọi phương trỡnh bậc bốn theo cỏch trờn, cũng như

việc ỏp dụng cho những phương trỡnh vụ tỷ mà khi khử hết căn đưa về phương trỡnh

bậc Tuy nhiờn trờn thực tế thỡ nhiều lỳc việc giải khụng dễ dàng như vậy

- Ngoài cỏch đưa về hằng đẳng thức ở trờn ta cũn cỏch sử dụng phương phỏp hệ số bất

t  xx   x   t   

Khi đó phương trình trở thành t2  2mtm2   5 0 *   t m 5 Phương trình đã cho có

nghiệm khi (*) có nghiệm t   0; 6   hay 0 5 6 5 6 5

a Giải phương trình khi m=3

b Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

a Với m=3 (1)  t22t3  t =3 Thay vào (*) ta được x=3, x=6

b PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm t  3; 3 2   Xét hàm số

Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:

Cách 1: dùng BĐT như bài trên

Cách2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số )

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 3 3 3

x x x x  HD: đặt: 3 3 3 3 3 35

Dạng 3:

   

n ,n  0

F f x g x  , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k

TH1: Kiểm tra nghiệm với g x  0

TH2: Giả sử g x  0 chia hai vế phương trình cho k  

g x và đặt  

 

n

f x t

5x  14x  9 x  x 20  5 x  1 5x  14x  9 5 x  1 x  x 20Bình phương hai vế: 2x2  4x 5 3x 4 5 x2  4x 5x 4

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x  1 m x  1 2 4 x2  1

HD: ĐK x 1 Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 4 2

Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác)

Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi

cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, trong

nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm

lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán

lượng giác này

Lưu ý vài tính chất cơ bản:

ĐK x  1 Đặt x cos ,t t 0;  Khi đó phương trình trở thành

sint cost1 sin cos  t t 2 sin cost t Để gải phương trình này ta lại đặt

Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được

nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k

(kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có

 

( )

f u  f v  u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì

phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng

(a;b) thì c a;b :F' c F b  F a 

b a





 Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a)

= 0 thì  c  a b; :F c'   0 F' x  0 có nghiệm thuộc (a;b)

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ

không có quá hai nghiệm thuộc D

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng

minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng

lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương

x là nghiệm của phương trình

Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:

Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và

đường thẳng

d: y = g(m)

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min  ,    max  , 

x D f x m g m x D f x m

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm

* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C )

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1

Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có

thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng

phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là

m x

x y x

   hoặc m 10: phương trình có nghiệm duy nhất

1 m 10: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  1 3  x x 1 3 xm, (1)

Giải: ĐK: 1  x 3 Đặt t x  1 3 x, lập BBT của t(x) với 1  x 3 ta có 2  t 2

Khi đó phương trình (1) trở thành: 1

2

 t2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế

trái với 2  t 2 từ đó kết luận: 1  m 2

Bài tập và hướng dẫn giải

Bài 1: Giải phương trình sau: 3 2x 1  3 2x 2  3 2x 3  0 (1)

Giải:

Tập xác định: D = R Đặt f(x) = 3 2x 1  3 2x 2  3 2x 3

Ta có:

2

3 , 1 , 2

1

; 0 ) 3 2 (

2 )

2 2 (

2 )

1 2 (

2 )

(

'











x x

x x

f









 













 













 















, 2

3 2

3 , 1 1

, 2

1 2

1 ,

Ta thấy f(-1)=0  x=-1 là một nghiệm của (1) Ta có: ) 3

2

3 (

; 3 ) 2

1

f

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):

x -∞

2

3

 -1

2 1  +∞

f’(x)   

F(x) +∞

0 3

-∞ -3

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0  x = -1 Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1 Bài 2 Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 2x m 2x 1 (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI (1) 2 2 2 1 1 x x 2 2 x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1. Đặt y 3x 2 6x 1, với x 1 2 ta có: Bảng biến thiên x 1

2 1

y 2

5

4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

1) m 2, 2) 5

5

Bài 3 Tìm điều kiện của m để phương trình x x 1 x 1 m

Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0 Do đó nên lập BBT để tránh sai sót

Bài 5 Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 m x 2 2 0

x 2 x 1 (4) có nghiệm thực

Bài 7 Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 2x 3 x m (6)

1) có nghiệm thực, 2) có 2 nghiệm phân biệt

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có (6) x 2 2x 3 x m.

Đặt y x 2 2x 3 x, x 1 x 3

2

Bảng biến thiên

x –1 3

y’ – +

y 1

1 –3

Dựa vào bảng biến thiên: 1) 3 m 1 m 1, 2) không có m Bài 8 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 1 1 x m (7) HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số / 2 1 x 1 x f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x) 2 1 x Bảng biến thiên x –1 0 1

f’(x) + 0 –

f(x) 2

2 2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

+ m 2 m 2: (7) vô nghiệm

+ m = 2: (7) có 1 nghiệm

+ 2 m 2: (7) có 2 nghiệm phân biệt

Bài 9 Tìm điều kiện m để phương trình x 9 x x 2 9x m (8) có nghiệm

thực

HƯỚNG DẪN GIẢI

(8)

2 2 , ta có (8) trở thành:

2

t 2t 9 m Lập BBT của hàm số y t 2 2t 9 trên [0 ; 9/2] ta có 9

m 10

Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình x 4 x 4 x x 4 m (9) có

t 12t 9 m, t 3 (*)

t 27 m, 0 t 3 (**)+ Lập BBT của hàm số y t 2 12t 9, t 3 ta suy ra (*) có nghiệm thực m 27

+ Do 18 t 2 27 27, t [0; 3) nên (**) có nghiệm thực 18 m 27

Vậy với m 27 thì (10) có nghiệm thực

Bài 12 Tìm m để phương trình x 1 3 x (x 1)(3 x) m (11) có nghiệm

Chú ý: Nên lập BBT của t x 1 3 x để tìm miền giá trị t

Bài 13 Tìm m để phương trình 1 x 8 x (1 x)(8 x) m có nghiệm thực

Bài 15 Tìm điều kiện của m để phương trình 1 x 2 2 1 3 x 2 m (14)

1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực

HƯỚNG DẪN GIẢI

1) Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (14) thì – x0 cũng là nghiệm của (14)

Suy ra x0 x0 x0 0 là nghiệm duy nhất của (14)

Thế x0 = 0 vào (14) ta được m = 3 Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất

x 2

3x 2 lim

Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là Vậy (15) luôn có nghiệm thực với mọi m

Bài 17 Tìm m để phương trình (x 3)(x 1) 4(x 3) x 1 m

x 3 (16) có nghiệm thực

Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2] Vậy 0 m 2

Bài 19 Tìm điều kiện của m để phương trình:

t 2 Xét hàm số y t2 t 2 y ' t2 4t2 0, t 0; 2

Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực 2 1 m 1.

Bài 20 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m x 2 2 x m (19)

2 2

2 2 2

Giới hạn

2

x

x x

Bảng biến thiên

x 2 2

y’ – 0 + 0 –

y –1 2

2 1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

+ m 2 m 2: (19) vô nghiệm

+ 1 m 1 m 2: (19) có 1 nghiệm

+ 2 m 1 1 m 2: (19) có 2 nghiệm phân biệt

Bài toán 21 Tìm m để phương trình 2x 2 x 3 mx m (20) có nghiệm thực

x 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có (20) 2x2 x 3 m

Lập BBT của hàm số y 2x2 x 3

x 1 ta suy ra m 2 0 m 2

Bài 22 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:

3 4

x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m (21)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Nhận thấy x0 là nghiệm của (21) thì 1 – x0 cũng là nghiệm của (21) Từ đó, để (21) có

1

2 (21) trở thành 2(t 2 1) mt 2 t m 3 m

2 2 (nhận)

+ m = 1: (21) 2(t 2 1) t 2 t 2 2(t 2 1) (t 1)(t 2)

t 1

t 1

t 1 2(t 1)(t 1) (t 1) (t 2)

2

(loại)