Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ.. Mà tích phân[r]
Trang 1NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.
Bài toán 1:
Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai.
Một số công thức thường được dùng trong phần này:
1/
2 2
xdx
x a C
x a
2/
2
dx
x a
3/
x adx x a x x a C
1
arcsin
1 x dx x C
1
arccos
Mở rộng công thức 4 và 5:
6/ 21 2 arcsin x C a 0
a
7/ 2dx 2 arccosx C a 0
a
a x
Chú ý:
Dạng
1 1 2
a x b
dx
ax bx c
ta có thể làm như sau:
B1:
Biến đổi: a x b1 1 2ax b .
2a x b
Đồng nhất hệ số ta có:
1 1
( trong đó a b a b1 1; ; ; đã biết.)
B2:
Giải hệ phương trình trên tìm ;
B3:
Ta có:
1 1
2ax b
a x b
2 2
dx
Trang 2Đặt
2ax b
ax bx c dx I
ax bx c
B4:
+ Tính
2ax b
ax bx c
Đặt t ax 2 bx c dt 2ax b dx .
Từ đó suy ra: 1
2
dt
t
2 ax2 bx c C
+ Tính
dx I
ax bx c
Biến đổi:
2 2
b
ax bx c a x
Tuỳ thuôc vào dấu của a và mà ta có tích phân I2 thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
dx
x x
1
x
dx
x x
3/
2 2
2
dx
dx
x x
5/
2 2
1
dx
x x
6/
2 4
1 1
x
dx
x x
7/
x x dx
1
x
dx
x x
x
dx
10/
2
2
2
dx
x x
dx
x x
dx
x x
13/
2
2 2
x dx
x x
dx
x x
15/
2
1
x dx
16/
2
1
dx x
17/
2
4
x
18/
2
4
x
19/
2
1 1
x x dx
x
20/
2
1 1
x x dx
x
Bài toán 2:
Trang 3Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Dạng 1:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và
n ax b
cx d
có dạng:
,n ax b
cx d
với ad bc 0.
Phương pháp giải:
B1: Thực hiện phép đổi biến:
n ax b t
cx d
n n
n
Từ đó suy ra: dx?dt
B2:
Thay biến x bởi t Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ Mà tích phân
này đã được học từ tiết trước.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
dx
x x
2/
3
x
dx
x x
xdx
x
xdx
x
dx
x x
dx x
dx
x x
x dx x
xdx x
dx
x x
xdx x
12/
2 2 1
x dx x
dx x
dx
x
16/
2
3
x x dx
Dạng 2:
I R x ax bx c dx
Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler):
Ta xét các trường hợp sau:
1/ Nếu a>0 đặt ax2 bx c t x a hoặc t x a
2/ Nếu c>0 đặt ax2 bx c tx c hoặc tx c
Trang 43/ Nếu tam thức ax2 bx c có biệt số 0 thì 2
ax bx c a x x x x Khi đó
1
ax bx c t x x .
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
x x dx
dx
x x x
dt
x x
6/
2
x dx
dx
dx
x x x
dx
x x x
10/
2 2
dx
Dạng 3:
dx I
a x b ax bx c
.
Phương pháp giải.
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 1
1
t
a x b
2
ax b pdx
;
1 1
a t
.
Khi đó: 1 1 2
dx I
a x b ax bx c
2 2
dt
Sau khi rút gọn ta được:
2
; 0
; 0
dt
t
a t b t c dt
t
a t bt c
B2: Tính các tích phân vừa tìm được.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
dx
x x x
dx
x x x
dx
x x x
dx
x x x
dx
x x x
dx
x x x
Trang 57/ 2 1 2 2 2
dx
x x x
dx
x x x
Dạng 4:
Tính tích phân bất định sau:
2
a x b
a x b ax bx c
Phương pháp giải:
B1:
Biến đổi: a x b1 1 a x b2 2
a x b2 2
Đồng nhất hệ số:
( trong đó: a a b b1; ; ;2 1 2 là các hằng số ).
Giải hệ phương trình trên tìm ,
B2:
2
a x b
a x b ax bx c
dx
dx
ax bx c a x b ax bx c
dx I
ax bx c
2 1 1 2
dx I
a x b ax bx c
Dễ thấy I I1; 2 là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
x dx
2/
x dx
3/
2
x dx
4/
x dx
5/
x
dx
6/
2
x
dx
x x
7/
x dx
x x
8/
x dx
BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1
√ 5
2 √ 3
dx
2
√ 3
√ 2
dx
−1
2
1 2
dx (2 x+3)√4 x2 +12 x +5
Trang 64
1
2
dx
1
2
1
2
dx
√x2+2008
0
1
1− x2
¿3
¿
¿
√ ¿
0
1
¿
1
√ 3
x2+1
x2√x2+1dx
0
√ 2
2
1+x2
¿3
¿
¿
√ ¿ dx
¿
0
1
¿
12
1− x2
¿3
¿
¿
√ ¿ dx
¿
0
√ 2 2
¿
0
1
0
√ 2 2
x2dx
0
π
2
cos xdx
√7 +cos2 x
0
π
2
0
π
2
cos xdx
√2+cos2x
0
π
2
sin 2 x+sin x
√1+3 cos x dx
0
√ 7
x3dx
3
0
3
0
1
xdx
√2 x +1
0
1
x3dx
2
7
dx
0
1
x15
√1+3 x8 dx
0
ln 3
dx
− 1
1
dx
0
ln 2
e 2 xdx
√e x+1
5
4
1
1
e
√1+3 ln x ln x
0
√ 3
x5
+x3
√1+x2dx
0
4
− 1
0
x (e 2 x+√3x +1)dx 34
ln 2
ln 3
ln2x
x√ln x+1dx
35
0
π
3 √cos 2 xcos 2x +2√3 tgx
36
e x+ 1 ¿3
¿
¿
√ ¿
e xdx
¿
0
ln 2
¿
0
π
3
cos xdx
√2+cos2 x
0
π
2
cos xdx
√1+cos2x
0
7
x+2
3
√x +3dx 40
0
2 a
√x2+a2dx