Đề thi toán 3 giữa kì lần 1,

Với Fx,y,z = Fy, F2,F3, ta Có: Xoáy của trường vector F Xoáy của trường vector F được định nghĩa là: curlF =VxF... Chúng †a sẽ xác định cận tích phân cho từng †rường hợp: 1... Câu hỏi Hã

ve :

-GKSBkEEEMEEE

Câu hỏi

= en.00

_

rower

Oi biến sang hệ tọa độ c 3 để tính tích phân 7 = ƒƑ zV25x2 + 25324V/, >

trong đó D là nửa hình ¢ phia trén (z > 0) cia hinh ca tam O@, 0, 0)

Bước 1: Đổi biến tích phân sang hệ tọa độ cầu

Trong hệ toa độ cau, ta co:

1= [PP [TẺ [ reoser Í2Ssin°2(cos°ø + sin28) -r2sing dr dg dé

Chú ý rằng cos2Ø + sin2Ø = 1, nén phuong trinh tré thanh:

1= ƒ fe i reosp-r [25sin*@ - r?sing dr dp dO

Bước 2: Đơn giản hóa tích phân

Do |25s

= 5sinó, phương trình trở thành:

1= {" [°" fF srécossin®¢ dr dg a0 Bước 3: Tính các tích phân

Kết quả của tích phân là:

1 20487 I= 1024-5 -20= % 2144.6606

Đáp án

Một đáp án đúng có thể là: 2144.6606

pe ‘Tim độ phân kỳ và trưởng véctơ xoáy của inréng véctor

F(x, y, 2) = (19x + Syz)i + (By — 3x2)j + (122 + 7xy)k

Phân kỳ của trường vector F

Phân kỳ của trường vector F được định nghĩa là:

divF=— + +

Ox | Oy | az

Với F(x,y,Z) = (F:,Fa,Fa), †a có:

Fị = 19x + Syz Fạ= 3y—3xz

Với F(x,y,z) = (Fy, F2,F3), ta Có:

Xoáy của trường vector F

Xoáy của trường vector F được định nghĩa là:

curlF =VxF

Với F(x,y,z) = (Fy, Fo,F3), ta có:

Câu hỏi 1

4

he

ox en “Xác định cận lấy tích phân ƒ = ff f(x, y)dA, trong 46 Ð là mi phẳng giới hạn bởi các f

Na si đường x + y~ 17 = 0, x~ y+ 17 = 0 và x = 17, là mi hi được tô màu như hình vẽ

‘Tinh tich phân theo x trước, y sau: ƒ = /_ / ƒ(.yMxdy+ /_ ƒ ƒ(x.y)dxdy, trong đó

Chúng †a sẽ xác định cận tích phân cho từng †rường hợp:

1 Tinh tich phan theo x truéc, y sau:

2 Tính tích phân theo y trước, x sau:

Saubel “Xác định cận lây tích phân I= ff f(x, y)dA, trong 46 D 1a mi phang giới hạn bởi ede dwdng y = 2 — x? >

ing và x + y = 0, là min được tô màu như hình vẽ

Do đó, †a có hai nghiệm:

Thay các giá †rị x vào phương trình y = — x:

Câu hỏi Hãy biểu điễn cận lấy tích phân trong hệ tọa độ cực các

eel mi fn phang sau:

— (A): Phn hình tròn tâm (0 0) bán kính 12 phía dưới

Trong hệ tọa độ cực, đường thẳng y = -— x có:

Vậy cận lấy tích phân là:

'Câu hỏi

$ “Tính công sinh ra do trường lực E(x, y) = (~6x ~ 3y)š + (~4x + 5y)j tác động lên vật làm vật di chuyển từ

= O(0,0) đến Ẵ2.4) dọc theo

nha (B) C¿ là cũng parabol y = A2

(a) Bing cách tham sỡ đoạn OA bởi x = —21, y = 41, € [0, 1], thay vào tích phân ta tính được công trong trường hợp này là:

Trường hợp (a): Doan thang C,

Bằng cách tham số đoạn 0A bởi x = -— 2t, y = 4t, với t € [0, 1], ta thay vào †ích

phân để tính công †rong †rường hợp này:

Trường hợp (b): Cung parabol C;

Bằng cách tham số cung 6; bởi x = t, y = tÊ, với t € [0, 1], ta thay vào tích phân

để tính công †rong trường hợp này:

W;= [ F-dR Với dR = (dx,dy) = (at, 2tdt), ta c6:

W = [ [C— 6t—3†?)(4) + (— t + 5t2)(21)jdt W¿ = [2 [— 6t — 3t? — 8t + 10:°]dt W¿ = [ [— 6t— 11£Ê + 10E°Jdt

Tính từng phần:

[ —6tảt= —3

n “Tính công sinh ra do trường lực E(x, y) = ~2xyÏ + (—32 + 2y)j tác động lên vật làm vật đi chuyển dọc theo

một sung trơn C bất kỳ nối điểm Ø(0.0) với A(-1.7)

ing

tz2etsø - Gợiý: Trưởng E là mộttrường bảo toàn,do đó sẽ sử dụng một hàm thế vị để nh công

rene Gidi Tim hàm thế vị:

"Trong số các hàm bai biến cho ở dưới đây một hàm thế vị của trưởng véctơ F là hàm có số thứ tựlà _@3) ®

(uty) =P y+ 27-4 Ø) uy) = ~2x)y+ y =4

@)MGy) = 2y + J2 =4 (4)8GŒ,y) = =Ỷy+ yŸ+xy~4

Sử dụng hàm thế vị tìm được, ta tính được công ch tìm là:

W = [E-4R =12 Ụ

v

1 Tìm hàm thế vị của trường vecfor

Ta tim m6t ham u(x, y) sao cho:

Ta có công của trường bảo toàn được tính bằng hiệu của hàm thế vị tại điểm đầu

và điểm cuối của đường đi:

W = (4) — u(0) Với Ẵ 1,7):

“Tính công sinh ra do trường lực E(x, y) = (e* —7ˆ)i + (e" + 7x?)j tác động lên vật làm vật di chuyển một

Xi i6) đúng cận lấy tích phần),

Do đó, công thức Định lý Green trở thành:

w= J; (#* +14x + 14y)dA

Miền D giới hạn bởi các đường y = x và y = xÊ

Cận tích phân

Dé tim cong, ta chuyển sang tích phân kép với cận tích phân:

\E\int_{x=0}4 {1} \int_{y=x7{x3 (ex + 14x + 14y) dy dx \]

Tinh tich phan

4 Tich phan trong vdi bién y:

\L \int_{y=x24{x} (e4x + 14x + 14y) dy = \left[e^x y + 14xy + 7y^2 \righf]_{y=x2{x}

W

= (et + 14x? + 7x? — etx? — 14x93 — 7x4)

2 Tích phân ngoài với biến x:

We fo, (eet 21x? — etx? — 14x9 — 7x4) de

Tinh titng phan:

fi, exaxt

ƒ`_,2Ð24x=7 es

Bước 1: Thay phương trình của € vào tích phân

Phương trình của Cla:

R(t) = 7costi — 7sintj — 9tk

Vix = 7cost, y = 7sint, vaz = — 9t, †a có:

x? + y? = 7?cos?t + 7?sin°t = 49(cos?t + sin*t) = 49

Kết quả tích phân là:

130 (eS (8m + 54m2) © 129861648

'Câu hỏi

men

"am

rose

Hãy kiểm tra các trường véctơ Ê có dang F(x y) = P(x, yi + Ol, y)j sau đây có là trường bảo toàn (hoặc

trường thế - consevative) hay không

(a) F(x, y) = Gy — l6xyii + Oxy — 83”)j

az:

onaenaen

a0)

Fone

“Tính dign ich phn mat c% (S): z = 7.96 — x2 — y2 nằm phía rong mit nén z= V7 +97

Chi § Viet sqrt(x) thay cho J, vit pi thay cho số Z

Giải

‘Sir dung tich phân bai lớp để ính diện tích của (S), ta có

As= JfaaseoseveyssuA với D là mỉ ẩn phẳng xác định bởi

=5 6069906 (ghi kết quả đúng hoặc có thể làm tròn đến hai chữ số thập phân).

'Giải Ta tính tích phân mặt đã cho bằng cách chiêu $ lên mặt phing Oxy Hình chiéu D cia S lén mat phing

Oxy chinh 1a đĩa trồn xˆ + y2 < 16.Từ phương trình của mặt cong z = /3x” + ÂyP ta có

as= V1+ 2+ 34A =P aA

“Từ đó, sử đụng tính tách biến của hàm lấy tích phân trên mi ấn chữ nhật ta tính dre W =

164332672 (kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân) v

Câu hỏi

15

te an.m arr)

Fone

“Xác định cận lây tích phân sau đây trong hệ tọa độ trụ

T= [5x +5)? —92)dV trong 46 D 1 mỉ 8n nằm phía trên mặt nón

>,

z= VTP Fp va dwéi mat phiing z = 8

Chi ý Viet pi cho x, theta cho 0, sin(theta) cho sin 0, cos(theta) cho cos 0

'Giải Đổi biến sang bệ tọa độ trụ x = rcoS 0, y = rsin 0,z = zta có

`

Sia lSn92sr dzdrd0,0 <