Cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số - Tìm tập xác định của biểu thức - Trên tập xác định của biểu thức, chứng minh rằng f x, y,.... Các dạng bài tập thường g[r]
Trang 1
I Tóm "#" lý "&'("
1 Trên ",- xác 1+ 02 345& "60 f(x,y, )
a f x y( , , ) A và có (x 0 ; y 0; ) sao cho f x y( ,0 0, )A
cho f x y( ,0 0, )B
2 Cách tìm giá ")1 $=+ +>" hay +? +>" 02 !@" 345& "60 A4 BC
- Tìm 12 xác *3 4
- Trên 12 xác *3 4 # 4 minh 6 f x y( , , )A "7
( , , )
f x y B
- 89 ra *: ! (x0; y0 ) sao cho f x y( ,0 0, )A "7 f x y( ,0 0, )B
- % 1; Max f A khi x = x0 ; y = y0
Min f B khi x = x0 ; y = y0
3 Các E4(+ "60 "FG+< dùng
( ) k 0
f x
( ) k
f x m m
( ) k
M f x M
+ xy x y
E *6 9 )I> ra khi và 9 khi xy0
+ xy x y
E *6 9 )I> ra khi và 9 khi xy0và |x| F |y|
II Các HA+< bài ",- "FG+< <K-
§1
Ví HT 1: Tìm giá ,
Trang 2
a A x7 5
b B85x3
4V4
a
Ta có 7x5 0
Nên A 0 A 0 7x 5 0
7
5
x
O1> min A = 0 khi
7
5
x
b
Ta có: 8 x5 0 85x33 Nên min B = 3 khi
5
8
x
Ví HT 2: Tìm giá n *3 4
1 2
5
D
4V4
R
x
Ta có 2x10 Nên 5 x2 15 O1> max D = 5, khi
2
1
x
Ví HT 3: Tìm giá , *3 4
2009
2008
C
4V4
R
x
E *6 )I> ra khi xy0 ta
C x2008 x2009
x2008 2009x x20082009x
Nên C 1
O1> min C = 1 khi (x – 2008)(2009 – x) 0
.4 2008 x 2009
Bài
",-1 Tìm giá , *3 4
a M 514x 1
b N x1 x4
c P x7 x5
2 Tìm giá các *3 4
a C123x5
b
3 2
1
x D
3 Tìm giá ,
Trang 3
a E xa xb ab
b F x2 x3 x4 x5
c M x2 x1 x2x12
§2 M HAI
Ví HT 1: a Tìm giá , *3 4
2 6
3 2
A
b Tìm giá *3 4
3 4
3 2
B
4V4
a
Ta có: A3x26x2 3(x22x)2 x3( 1)255
O1> min A = -5 khi x = 1
1 0
1
A
b
Ta có B3x24x3
2 2 2
) 3
2 ( 3 3 13
9
13 ) 3
2 ( 3
) 1 9
4 9
4 3
2 2 ( 3
x x
x x
3
2 (x 2
5
13
B
3
2 3
13
B
Ví HT 2: O giá nào x, y thì các *3 4 sau Y>;
a C5x212xy9y24x4 Z giá ,
16 24 10
10
D
4V4
a
4 4 9 12
C
0 ) 3 2 ( ) 2 (
) 9 12 4 ( ) 4 4 (
2 2
2 2
2
y x x
y xy x
x x
Và
0 2
C 2x y3 0
x 2 và
3
4
y
O1> min C = 0 x = 2 và
3
4
y
16 24 10
10
D
40 ) 4 3 ( ) 5 ( 40
) 16 24 9
( ) 25 10 ( 40
2 2
2 2
2
y x x
y xy x
x x
Max D = 40 khi
4
15
;
5
x
Trang 4
Ví HT 3: a Tìm giá , *3 4
2 2 2 2
E
b Tìm giá *3 4
5 10 2 4
2
F
4V4
a
2 2 2 2
E
3 ) 4 4 ( ) 2 2 2 1
E
(x y1)2 (x2)2 33
và
0 1
Min E = -3 x 2 và y3
b
) 4 4 ( 3 ) 2 2 2 1 (
F
18(xy1)2 (y2)2 18
và
0 1
Max F = 18 x 3 v à y2
Bài
",-1 Tìm giá , *3 4 ;
a A x2 x
b B4x2 4x11
c 2x2 20x53
2 Tìm giá *3 4 ;
8
D
b E 5x2 4x1
F
3 O giá nào x, y thì các *3 4 sau Y> Z giá ,
a G 10x2 12xy4y2 6x7
b M x4 8xyx3yx2yxy3 x4 2009
c C x2 xyy2 3x3y
4 Tìm giá các *3 4
a Ax2 2y2 2xy2x2y15
b B = 16y5y2 12xy9x2
§3
1 Phân "60 có "Z BC là [+< BC !\& BC là tam "60 3,0 hai
Ví HT 1: Tìm giá , 2
1
A
x x
4V4
A
Trang 5
(x1) 0 (x1) 4 4
4
1 4 ) 1 (
1
2
x
4
1 4 ) 1 (
1
2
x
4
1
A
Ví HT 2: Tìm giá
9 4 4
7
2
x x B
4V4
8 ) 1 2 (
7 9
4 4
7
2
2
x x
x
B
Ta có (2x1)2 0(2x1)2 88
8
7 8 ) 1 2 (
7
2
x
8
7
B
2
1
x
2 Phân "60 có !\& BC là bình -F]+<02 !@" +1 "60
Ví HT 1: Tìm giá , *3 4 2 2
) 1 (
1
x
x x C
4V4
1
x
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
) 1 ( 4
) 1 ( 4
3 )
1 ( 4
) 1 ( ) 1 ( 3 )
1 ( 4
4 4 4 )
1 ( 4
) 1 (
4 )
1
(
1
x
x x
x x
x
x x x
x x x
x
x
C
4
3 0
)
1
(
4
)
1
(
2
2
C x
x
4
3
C
Ví HT 2: Tìm giá 2
) 1 (
x
x D
4V4
1
x
2 2
2
) 1 (
1 1
1 )
1 (
1 1 )
1
x x
x
x x
x
D
x
1
1
4
1 ) 2
1 ( 4
1 ) 4
1 4
1 2
1 2 ( )
2
D
khi
4
1
2
1 1
1 2
x y
4
1
D
3 Các phân "60 khác
Trang 6
Ví HTU Tìm giá và , *3 4
1
1
2
2
x x
x M
1
) 1 ( 2 1
) 1 2 ( ) 1 (
2 1
1
2 2 2
2 2
2
2
x x
x x
x
x x x
x x
x
x
M
2
2
1 0
x x
x
) 1 ( 2
2
2
x x
x M
O1> max M = 2 khi x = 1
Tìm giá , M
) 1 (
3
) 1 2 ( ) 1 (
2 ) 1 (
3
) 1 ( 3 1
1
2
2 2
2 2 2
2
x x
x x x
x x
x
x x
x
x
M
3
2 ) 1 (
3
) 1 ( 3
2
2
2
x x x
3
2
M
Bài
",-1 Tìm giá , các *3 4 sau:
9 5 6
2
x x
P
b
1 2
6 8 3
2
2
x x
x x Q
c
1 2
1
2
2
x x
x x S
2 Tìm giá l các *3 4 sau:
a
5 4 4
3
2
x x K
b
12 6
14 6
2
2
x x
x x E
4
) 1 (
1
x
x F
§4
Ví RS; Cho hai ! x, y "I mãn ` <'; 3x + y = 1
a Tìm giá , *3 4 A2x2 y
b Tìm giá *3 4 B xy1
aI
Do 3xy 1 y13x ta có
17 ) 4
3 ( 2 ) 2
1 2
3 ( 2 3 1 2 ) 3 1 (
A
Trang 7
8
17 ) 4
3 (
x
8
17
A
8
17
A
4
3
x
4
13
y
3
1 3 ( 3 1 3 1
) 3 1
B
) 6
1 ( 3 12
13 36
13 ) 6
1 (
12
13
B
12
13
B
6
1
x
2
1
y
Bài
4
1 2
2 2
2 y
x x
Tìm giá , x.y
2 Cho hai ! X x, y "I mãn ` <' x2 y2 1 Tìm giá # giá ,
x + y
y x
P
I WF]+< trình 3,0 cao là -F]+< trình có HA+<U f(x) = 0 trong f(x) là !@" 2
"60 3,0 n (n2) C4 k=4 x
II c@" BC -F]+< pháp <4V4 -F]+< trình 3,0 cao.
1 WF]+< pháp F2 k -F]+< trình tích.
Trang 8
Ví HT 1: aI 2 b trình: x4 x35x2 x60
4V4
0 ) 3 )(
1 )(
2 (
0 ) 1 (
3 ) 1 (
) 2 (
0 ) 3 3
)(
2 (
0 6 5
2
2 2
2 3
2 3
4
x x
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
* x 2 0 x 2
* x 3 0 x 3
x x
O1> 2 b trình _ cho có hai '0; x = 2; x = -3
Ví HT 2: aI 2 b trình: x4 4x3 19x2 106x1200
4V4
0 ) 5 )(
4 )(
3 )(
2 (
0 ) 20 )(
3 )(
2 (
0 ) 3 ( 20 ) 3 ( ) 3 ( ) 2 (
0 ) 60 20 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 (
0 ) 60 23 2
)(
2 (
0 ) 2 ( 60 ) 2 ( 23 ) 2 ( 2 ) 2 (
0 ) 120 60
( ) 46 23
( ) 4 2 ( ) 2 (
0 120 106
19 4
2 2
2 2 3
2 3
2 3
2 2
3 3
4
2 3
4
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
5 0
5
*
4 0
4
*
3 0
3
*
2 0
2
*
x x
x x
x x
x x
O1> 2 b trình _ cho có * '0 x = 2; x = 3; x = 4; x = -5
Ví HT 3: aI 2 b trình: 4x4 12x3 5x2 6x150
4V4
Trang 9
0 ) 3 3 2 )(
5 2 )(
1 (
0 ) 5 2 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 2 ( 2 ) 1 (
0 ) 15 6 ( ) 15 6
( ) 10 4
( ) 1 (
0 ) 15 21 16
4 )(
1 (
0 ) 1 ( 15 ) 1 ( 21 ) 1 ( 16 ) 1 ( 4 (
0 15 15 21 21
16 16
4 4
0 15 6 5 12 4
2 2
2 2
3
2 3
2 3
2 2
3 3
4
2 3 4
x x x
x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x x
2
3 2
3 ( 2 3 3
2x2 x x2 x
2
x
Nên: x 1 0 x 1
d"7 ; 2x50 x2,5
O1> 2 b trình có hai '0 x = 1, x = -2,5
Ví HT 4: aI 2 b trình: x4 2x32x2 4x80
4V4
0 ) 4 2 )(
2 )(
2 (
0 ) 2 2 2 )(
2 (
0 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 )(
2 (
0 ) 4 2 ( ) 4 2 ( ) 4 (
0 8 4 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 3
4
2 3 4
x x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x x x
x x x x
2 0
2
*
2 0
2
*
x x
x x
* x2 x2 40 (vô '0
x x x
O1> 2 b trình có hai '0; x 2; x 2
2 WF]+< pháp K" m+ -T
Ví HT 1: aI 2 b trình: (x1)(x2)(x4)(x5)40
4V4
( 1)( 5) ( 2)( 4) 40
Trang 10
]7; x2 6x5t ta có
0 ) 8 )(
5 (
0 40 3
0 40 ) 3 (
2
t t
t t
t t
+ N t = 5 thì x2 x6 55
"7 x = -6
2
x x x x
+ N t = -8 thì x2 x6 58 x2 6x130
x x x
O1>; f b trình _ cho có hai '0 x = 0; x = -6
Ví HT 2: aI 2 b trình: (x6)4 (x8)4 16
4V4
16 ) 8 ( ) 6 (x 4 x 4
]7; x – 7 = y, 2 b trình g thành:
0 7 6
16 ) 1 ( ) 1 (
2 4
4 4
y y
y y
]7; y2 z0 ta có:
0 ) 7 )(
1 (
0 7 6
2
z z
z z
N z 1 0 z 1 "I mãn ` <' z 0
z 7 0 z 7 "Z
O z = 1 ta có y1
* y1x71 x8
* y1x71x6
O1> 2 b trình có hai '0 x = 6, x = 8
) 1 2 3 ( ) 3 5 2 ( ) 4 3 (x x x x x x
4V4
]7 u x2 3x4
v2x2 5x3
1 2
3 2
u
Trang 11
) (u v v
u
0 ) ( 3
0 3
3
0 ) 3
3 (
0 ) (
2 2
3 2 2
3 3 3
3 3
3
v u uv
uv v u
v uv v u u v u
v u v u
"7 "7
0
0 4 3
2
x x 2x2 x5 30 3x2 x2 10
+ x2 x3 40
(x1)(x4)0 x 1 "7 x 4
+ 2x2 x5 30
(2x3)(x1)0 "7 x = 1
2
3
x
+ 3x2 x2 10
(3x1)(x1)0 "7 x = 1
3
1
x
2
3
; 3
1
;
x
) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 (x x x
4V4
3 3
3
) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 (x x x
]7; x + 1 = y; x – 2 = z; 1 – 2x = t
Thì y + z + t = 0; z + t = - y
Do ; (y + z + t)3 = 0
yzt t
z y
t z zt t z y
zt t z t z y
t z y t z y t
z y
t z y t z y t
z y
3
0 ) ( 3
0 3
3
0 ) )(
( 3 ) (
0 ) ( 3 ) ( 3 ) (
3 3 3
3 3 3
2 2
3 3 3
3 3
2 2
3 3
O1> yzt = 0 (x1)(x2)(12x)0
* x 1 0 x 1
* x 2 0 x 2
Trang 12
*
2
1 0
2
1 x x
O1> 2 b trình _ cho có ba '0;
3
1
; 2
;
x
3 Các -F]+< pháp khác
Ví HT 1: aI 2 b trình:
8
1 30 11
1 20
9
1 12
7
1 6
5
1
2 2
2
x
4V4
) 6 )(
5 ( 30 11
) 5 )(
4 ( 20 9
) 4 )(
3 ( 12 7
) 3 )(
2 ( 6 5
2
2
2
2
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
]%i]; x6,x5,x4,x3,x2
8
1 6
1 2
1
8
1 6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
8
1 ) 6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2
(
1
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
0 ) 2 )(
10
(
0 20 8
2
x x
x
x
* x 10 0 x 10 ."I mãn ]%i]
* x 2 0 x 2 ."I mãn ]%i]
O1> 2 b trình _ cho có 2 '0 x = 2, x = - 10
Ví HT 2: aI 2 b trình
94
6 99 95
5 99 96
4 99 97
3 99 98
2 99 99
1
2 x x x x x x x x x x x
x
4V4
8: vào hai 2 b trình (- 3), ta có
Trang 13
0 ) 94
1 95
1 96
1 97
1 98
1 99
1 )(
100 99
(
94
100 99
95
100 99
96
100
99
97
100 99
98
100 99
99
100 99
) 1 94
6 99 )
1 95
5 99 (
) 1 96
4 99
(
) 1 97
3 99 (
) 1 98
2 99 (
) 1 99
1
99
(
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
94
1 95
1 96
1 97
1 98
1
99
1
0 ) 100 )(
1 ( 0 100
99
2 x x x
x
100 0
100
*
1 0
1
*
x x
x x
O1> 2 b trình có 2 '0 x = 1; x = - 100
Bài ",- 4V4 các -F]+< trình
Bài 1: a) x4 x2 6x80
b) (x2 1)2 4(2x1)
c) (x1)3(2x3)3 27x3 8
Bài 2: a) (x2 5x)2 2(x2 5x)24
b) (x2 x2)(x2 x3)12
c) (x2 x1)2 3(x4 x2 1)
Bài 3: a) x(x1)(x1)(x2)24
b) (x4)(x5)(x6)(x7)1680
c) (12x7)2(3x2)(2x1)3
d) (2x1)(x1)2(2x3)18
Bài 4: a) (x2 6x9)2 15(x2 6x10)1
b) (x2 1)2 3x(x2 1)2x2 0
c) (x2 9)2 12x1
Trang 14
Bài 5: a) (x1)4 (x3)4 82
b) (x1)4 (x2)4 1
c) (x2,5)4 (x1,5)4 1
) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 (x x x
) 2 15 ( ) 8 ( ) 7
Bài 7: a) x4 3x3 4x2 3x10
b) 6x4 5x3 38x2 5x60
c) x5 2x4 3x3 3x2 2x10
d) 6x4 7x336x2 7x60
I Tóm "#" lý "&'("
1 1+ +<r2U
a , b b, ký <' ab, a b 0
a b b, ký ' ab, a b 0
a , b "7 *6 b, ký ' ab, a b 0
Trang 15
a b "7 *6 b, ký ' ab, a b 0
2 Tính 0>"
1 a b b a
2 ab b, c a c
3 a b a c b c
a b a c b c
a c b a b c
4 ac b, d a b c d
ab c, d a c b d
5 ab c, 0 acbc
ab c, 0 acbc
6 a b 0,c d 0 acbd
7 a b 0 a n b n
a b a b
a b a b
3 c@" BC 3>" s+< "60 thông HT+<
a >" s+< "60 Cô si
N a, b là các ! không âm thì ab ab E *6 )I> ra khi a = b
2
b >" s+< "60 062 H>& giá ")1 "&'u" C4
a b ab E *6 )I> ra khi a.b F 0
II c@" BC -F]+< pháp 0] 3V+
- l RS m
III c@" BC ví HT
Ví HT 1: 84 minh * T 4 a2 b2 c2 abacbc
4V4
(1)
bc ac ab c
b
a2 2 2
Trang 16
) (
2 ) (
2 a2 b2 c2 abacbc
0 ) 2
( ) 2
( ) 2
(
0 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
c bc b
c ac a
b ab
a
bc ac ab c
b
a
(2)
0 ) ( ) ( )
( 2 2 2
+ RT 4 (2) là * T 4 o (7 khác các phép * A trên b b Vây * T 4 (1) là * T 4 o )I> ra R *6 khi a = b = c
Ví HT 2: Cho a,b là hai ! "I mãn ` <' a + b = 2 4 minh 6 4 4 3 3
b a b
a
4V4
b a b
a
0 4
3 ) 2 ( ) (
0 ) (
) (
0 ) )(
(
0 ) ( ) (
0
2 2
) )(
( ) (
2
2 2 2
2 2
2
3 3
3 3
3 3
4 4
4 3 3
4 4 4
3 3 4 4
b
b a b a
b ab a b a
b a b a
b a b b a a
ab b a b a
b ab b a a b a
b a b a b a
E *6 )I> ra khi a = b = 1
Ví
) ( 3 4
2 2 2
2
a
b b
a a
b
b
a
4V4
0 ) ( 3 2 ) 2 (
2 2 2
2
a
b b
a a
b b
a
0 ) 2 )(
(
0 ) 2 )(
1 (
0 ) 1 (
2 ) 1 )(
(
0 ) ( ) ( 2 2 ) (
2 2
2 2 2
2
2
b a
ab b
a ab b a
a
b b
a a
b b
a
a
b b
a a
b b
a a
b b
a
a
b b
a a
b b
a a
b b
a
Trang 17
(*)
0 ) ( 4
3 ) 2
+ T 4 (*) o 1> * T 4 ban p là o
Ví HT 4: Cho abc 1 4 minh 6
3
1
2 2
2 b c
a
4V4
3
1
y
b 3
1
z
c 3 1
Do abc 1 nên xyz0 ta có:
) 3
1 ( ) 3
1 ( ) 3
1
c b
a
3
1 3
1
) (
3
2 3 1
3
2 9
1 3
2 9
1 3
2 9 1
2 2 2
2 2 2
2 2
2
z y x
z y x z y x
z z y
y x
x
E *6 )I> ra x yz 0
3
1
Ví HT 5: Cho ba ! R b x, y, z "I mãn ` <' x + y + z = 4
84 minh 6 ;xyxyz
4V4
Theo * T 4 Cô-si ta có: xy 2 xy
) 2 (
xy y
x ) 4 ( 2
Ta có: (xy)z2 4(x y)z
(nhân 2 x+y)
z y x y x
z y x
2 2
) ( 4 ) ( 16
) ( 4 4
Mà (xy)2 4xy
xyz z
y
x ) 16 (
Nên 16(xy)16xyz
... x20 08? ?? x2009 x20 08? ?? 2009x x20 08? ??2009x
Nên C 1
O1> C = (x – 20 08) (2009 – x)... (2x1)2 0(2x1)2 ? ?8? ? ?8
8
7 ) (
7
2
x
8
7
B
2...
) 4 ( ) 2 (
F
18? ??(xy1)2 (y2)2 18
0
Max F = 18< i> x 3 v