O là gốc tọa độ Câu II.. Tính thể tích khối lăng trụ.. Viết phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của d trên mpα.. Câu VII b1 điểm.
Trang 1ÔN THI ĐẠI HỌC 08-09
Đề 3 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y =
1
1 2
−
+
x
x
(1) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O ( O là gốc tọa độ)
Câu II (2 điểm)
1/ Giải hệ phương trình:
= +
=
− + + +
−
5 ) (
2
5
2 2
2 2
y x
y x y x y x
2/ Cho phương trình: cos4x = cos23x + msin2x
a) Giải phương trình khi m = 0
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong khỏang
12
;
0 π
Câu III (1 điểm) Tính tich phân I = dx
x
x
∫2 −+
2
1
Câu IV (1 điểm) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền AB = 2
Mặt bên (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA’ = 3 , góc A’AB nhọn và mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ
Câu V.(1 điểm) Với giá trị nào của m phương trình sau có bốn nghiệm thực phân biệt:
1 5
1 2 4 3 = 4 − 2 +
x − x+ m m
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)
Cậu VI a (2 điểm).
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 5−1=0 và đường tròn
(C): x2 + y2 – 2x – 3 = 0 cắt nhau tại hai điểm A, B Lập phương trình đường tròn (C’) đi qua ba điểm A, B, C(0; 2)
2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α):x+2y−z+5=0và đường thẳng
3 1
2
3
: x+ = y+ = z−
d Viết phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của d trên mp(α)
Câu VII a (1 điểm).Cho n∈N,n≥2 Chứng minh rằng:
1 2
1 0
1
2 2
−
−
−
≤
n n n n n
n n
n C
C C C
Câu VI b.(2 điểm)
1/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2 ; -1) và các cạnh AB: 4x + y + 15 = 0, AC: 2x + 5y + 3 = 0.Tìm trên đường cao kẽ từ đỉnh A của tam giác điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M
2/ Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng
+
=
+
−
=
=
1
1 1
3
2 4
1 :
t z
t y
x
−
=
+
=
−
= 2
2 3
3
2 2
z
t y
t x d
Lập phương trình đường thẳng đi qua A(-1 ; 1 ; 2) cắt d1 và d2
Câu VII b(1 điểm) Giải phương trình :
8(4x + 4-x) – 54(2x + 2-x) + 101 = 0
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Đề 3 Câu I.
2/ Xét pt: 3( 1) ( 1) 4 0 ( )
1
1
x g x
k kx x
kx x
−
+
d cắt đồ thị hs (1) tại M, N
+
−
>
∨
−
−
<
≠
⇔
≠
>
∆
≠
⇔
3 4 7 3
4 7
0 0
) 1 ( 0
0
k k
k g
k
−
=
−
=
+
±
=
⇔
= +
−
⇔
= + + +
+
⇔
= + +
+
⇔
=
⇔
⊥
k x
x
k
k x x k
k
k
x x k x
x k
kx kx
x x ON
OM ON
OM
N M
N M
N M N
M N
M N
M
4
1 5
3 0
4
6
0 9 ) (
3 ) )(
1 ( 0 ) 3 )(
3 (
0
2
2
Câu II
1/ Hệ
= + +
−
=
− + + +
−
⇔
5
5
2 2
2 2
y x y x
y x y x y x
(*)
Đặt: ( , ≥0)
−
=
+
=
v u y x
v
y x
u
(*)
−
=
−
=
∨
=
=
⇔
=
−
= +
⇔
=
− +
= + +
⇔
= +
= +
+
⇔
10
5 2
3 5
2
5 5
2 ) (
5 5
5
2 2
2
S P
S P
S
P S uv
v u
uv v u v
u
uv v
u
(VN)
=
−
= +
∨
=
−
= +
⇔
=
=
∨
=
=
⇔
=
= +
⇔
=
=
1
2 2
1 1
2 2
1 2
3 2
3
y x
y x y
x
y x v
u v
u uv
v u
P
S
− −
− −
−
−
2
1
; 2
3 , 2
3
; 2
1 , 2
3
; 2
1 , 2
1
; 2
3 , 2
1
; 2
3 , 2
3
; 2
1 , 2
3
; 2
1 , 2
1
; 2 3 2/ a) m = 0
Ta có pt:
+
±
=
=
⇔
=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
−
= +
−
−
⇔
− +
=
−
⇔
=
2 12 2
1 4 cos
1 2 cos 0
) 1 4 cos 2 )(
1 2 (cos 0
) 3 2 cos 4 )(
1 2 (cos
0 3 2 cos 3 2 cos 4 2 cos 4 2 cos 3 2 cos 4 1 ) 1 2 cos 2 ( 2 3 cos 4
cos
2
2 3
3 2
2
π π
π
k x
k x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
b)
0 ) 3 2 cos 4 )(
1 2 (cos 0
) 2 cos 1 ( 3 2 cos 3 2 cos 4 2
cos
4
2
2 cos 1 2
6 cos 1 1 2 cos 2 sin
3 cos
4
cos
2 2
3
2 2
2
=
−
−
−
⇔
=
− + +
−
−
⇔
− +
+
=
−
⇔ +
=
m x
x x
m x
x x
x m
x x
x m x x
⇔(cos2x−1)(2cos4x−1−m)=0
cos2x – 1 = 0 không có nghiệm trong khỏang
12
;
0 π
2
1 2
1 1 4 cos 2
1 3
; 0 4 12
;
0 ⇒ < < ⇒ < + < ⇒ ∈
∈
⇒
Trang 38 6 4 2
-2 -4 -6 -8
y=f(x)
1
O 1 2 3 4
Câu III
Đặt x = cos2t , dx = -2sìnt.dt
4 0
, 8 2
2 ⇒ =π = ⇒ =π
x
I =
2
2 2 4 ) 2 sin 2
1 ( 2 ) 2 cos 1 ( 2
cos 4
2 sin
cot
2
4
8
4
8
4 8 2
8
4
− +
= +
= +
=
=
π
π
π
π
π π π
π
t t
dt t dt
t dt
t t
Câu IV.
x 3
2 K M
C'
B' A'
C
B A
Hạ A’K⊥ AB Kẽ KM ⊥ AC⇒ A'M ⊥ AC⇒g(A'MK)=600
Giả sử: A’K = x Ta có AK =
2
2 3 45 sin 3 ,
3−x2 MK = −x2 0 = −x2 (1)
Mặt khác MK = A’K.cot 600 =
3
x
(2)
Từ (1) và (2) ta có
5
3 3
2
) 3 (
=
⇒
=
−
x x x
= A’K
V =
10
5 3 '
2
1 AC BC A K =
Câu V
Ta thấy: m4 – m2 + 1 = m + > ∀m
4
3 2
1 2
Pt 4 3 log ( 4 2 1)
5 1
Đặt y = x2 - 4x + 3 , y(1) = y(3) = 0 , y(2) = 1, y(0) = 3
Từ đồ thị suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
1 1 5
1 1 1
) 1 (
2 4
2 4 2
4 5
<
+
−
>
+
−
⇔
<
+
m m
m m m
m
Câu VI a.
1/ (C’): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 qua C(0 ; 2) nên có : 4 + 4b + c = 0
Trục đẳng phương d’ của hai đường tròn (C) và (C’) đi qua A, B có pt: 2(a + 1)x + 2by + c – 3 = 0
d đi qua A, B nên d trùng d’ ta có
1 5
3 2
2 1
) 1 ( 2
−
−
=
−
=
a
Trang 4Giải hệ:
+
−
=
−
−
= +
= + +
6 2 ) 1 5 (
2
) 1 (
2
0 4
4
c b
b a
c b
ta có phương trình đường tròn cần tìm
2/ Gọi A là giao điểm của d và (α) Tọa độ của A(-1 ; 0 ; 2)
Gọi d’ là đường thẳng đi qua M0(-3 ; -1 ; 3) thuộc d và d’ vuông góc (α) Phương trình của d’:
+
=
+
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
3 1
2 3
Gọi B là giao điểm của d’ và (α) Tọa độ của B )
2
5
; 0
; 2
5 (−
Phương trình của AB:
+
=
=
−
−
=
t z
y
t x
2
1 2 0 2
3 1
là phương trình cần tìm
Câu VII a Do 0 = n =1
n
n C
C , nên 0 1 = 1 2 n−1
n n n
n n n
C
Ta có :
1
1 2
1
−
+ +
n
C C
C C
C C
n n n
n
n n n
Mà 0 + 1 + + =2 ⇒ 1 + 2 + + n− 1 =2n −2
m n
n n n n n
Do đó:
1 2
1 0
1
2 2
1
2 2
−
−
−
≤
⇒
−
−
≤
n n n n n
n n
n
n n
n
n C
C C C n
C C
Câu VI b.
1/ A(-4 ; 1), AG =2GI ⇒I(−1;−2)
//
) 2
; 1 (
= + +
⇒
y x d AB
d
I qua
d cắt AC tại J(- ;0)
2
3 suy ra C(1 ; 1) và B(-3 ; -5)
Đường cao AH có pt:
−
=
+
−
=
t y
t x
2 1
3 4 , M(x ; y)∈AH ⇒M(−4+3t;1−2t)
Tam giác BMC vuông tại M
13
104 13
13
104 13
0 5 26 13 0 CM = ⇔ t2 − t+ = ⇔t = − ∨t = +
BM
Ta có hai điểm M cần tìm
2/ Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và d1
(P) có VTPT = 1, 1=(−7;−2;4)
→
→
AM u n
(P): 7x + 2y – 4z + 13 = 0
Gọi B là giao điểm của d2 với (P) Tọa độ của
17
135
; 17 81
B
Trang 5
−
=
+
=
−
−
=
⇒
=
t z
t y
t x
AB AB
4 2 17
118 1 17
64 1 :
4
; 17
118
;
17
64
là đường thẳng cần tìm vì AB và d1 không song song
Câu VII b.
2
5 4
17 0
85 54 8 2 4 4 )