Ứng dụng phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện

Đối với học sinh yêu cầu có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tìnhhuống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suynghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn

PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho họcsinh là mục tiêu được đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán.Việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT theo chương trìnhphổ thông mới năm 2018 yêu cầu mỗi giáo viên trong quá trình dạy học cần pháttriển được năng lực đặc thù bộ môn như tư duy và lập luận toán học, giải quyếtvấn đề toán học, giao tiếp toán học, mô hình hóa toán học, sử dụng công cụ vàphương tiện toán học Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học.Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh pháttriển tư duy, tính sáng tạo Dạy giải bài tập toán cho học sinh có tác dụng pháthuy tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập chohọc sinh Đối với học sinh yêu cầu có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tìnhhuống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suynghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu nhất.Trong việc dạy giải bài tập Toán việc quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện

kỹ năng giải Toán, là phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương phápgiải và khả năng vận dụng kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập theo chủ đề.Trong chương trình toán học phổ thông nói chung và chương trình toán 12nói riêng, phần kiến thức về khối đa diện là phần kiến thức khó, đòi hỏi ở họcsinh khả năng tư duy trừu tượng cao và muốn giải quyết những bài tập phần nàycác em không chỉ hiểu về mặt kiến thức mà còn phải có kỹ năng vận dụng, vẽhình, phân chia, lắp ghép mới có thể hoàn thành được các bài tập Tuy nhiêntrong quá trình dạy học phần này nếu mỗi giáo viên biết tìm cho mình mộthướng đi phù hợp để dẫn dắt các em vào chuỗi hoạt động học tập từ dễ đến khó,

từ đơn giản đến phức tạp sẽ giúp các em hình thành kiến thức và phát triển nănglực một cách nhẹ nhàng hơn Để đạt được điều đó mỗi giáo viên cần phải thayđổi phương pháp giảng dạy, thay vì truyền thụ kiến thức cho các em thì giáoviên cần tạo ra tình huống để các em được hoạt động, từ đó giúp các em chiếmlĩnh tri thức Bên cạnh đó, yêu cầu đổi mới trong kiểm tra đánh giá theo chươngtrình phổ thông mới đòi hỏi phải phát huy được năng lực người học mà cụ thểvới phần bài tập về khối đa diện ngoài biết cách nhận dạng một khối đa diện cònphải biết tính thể tích, không chỉ là tính theo công thức thể tích thuần túy như thểtích khối chóp, khối lăng trụ mà còn phải biết phân chia, lắp ghép để tính đượcthể tích các khối phức tạp, đa hình dạng

Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp

phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện”.

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

+) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo

+) Nghiên cứu sự phát triển, sáng tạo trong phương pháp phân chia và lắpghép để tính thể tích khối đa diện

1

+) Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán phầnthể tích khối đa diện cho học sinh, cho giáo viên khi dạy học theo chủ đề, ôn thi tốtnghiệp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học các nội dung Hình Học 12 – phần thể tích khối đa diện

1.4 Giới hạn của đề tài

Đề tài tập trung và nghiên cứu các phương pháp và kĩ thuật phân chia lắpghép để tính thể tích khối đa diện

1.5 Phương pháp nghiên cứu

+) Phương pháp nghiên cứu lí luận

+) Phương pháp điều tra quan sát

+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.6 Bố cục của đề tài SKKN

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương

Chương 1 Cở sở lí luận và thực tiễn.

Chương 2 Ứng dụng của phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể

tích khối đa diện

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

1.7 Thời gian thực hiện

Năm học 2020-2021

2

PHẦN II NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lí luận

Trong chương trình hình học lớp 12, chương I giới thiệu về khối đa diện

và thể tích khối đa diện, đây là chương nối tiếp với phần hình học không giantổng hợp đã học ở lớp 11 Thực tế chương này về mặt kiến thức có tính chất hànlâm hơn phần kiến thức phía trước vì sự đa dạng về hình thù của khối đa diện,hơn nữa khái niệm thể tích cũng là khái niệm trìu tượng, học sinh làm bài tậptheo hình thức máy móc mà không hiểu được bản chất của vấn đề Trong kháiniệm thể tích khối đa diện, sách giáo khoa xây dựng theo phương pháp lắp ghép

các khối đa diện, cụ thể là: “Nếu khối đa diện (H ) được phân chia thành hai khối đa

) ”, thế nhưng trong quá trình giảng

dạy giáo viên vẫn chưa khai thác hết được ý nghĩa của khái niệm này dẫn đếnquá trình dạy học bài tập sẽ rời rạc, thiếu tính liên kết dẫn dắt và gây ra sự khóhiểu cho học sinh trong quá trình học tập cũng như sự thiếu liền mạch trong tiếtdạy của giáo viên Vấn đề này sách giáo khoa tuy không đề cập cụ thể nhưngmột số ví dụ và bài tập đã thể hiện điều đó (làm rõ hơn ở mục 2.2.1), nếu giáoviên hệ thống và xây dựng nên thành phương pháp để cho học sinh vận dụng thì

sẽ tạo ra một phương pháp giải toán hiệu quả hơn

1.2 Cơ sở thực tiễn

Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, tôi sử dụng phương pháp điều tranghiên cứu bằng cách tiến hành thăm dò 20 giáo viên dạy các trường THPTtrong khu vực lận cận với nội dung:

- Câu hỏi 1: Giáo viên có quan tâm đến bài toán “ứng dụng phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện không?

- Câu hỏi 2: Giáo viên có sử dụng phương pháp phân chia và lắp ghép vào bài toán tính thể tích khối đa diện trong quá trình dạy học không?

- Câu hỏi 3: Giáo viên nhận thấy quá trình dạy học có sử dụng phương phápphân chia và lắp ghép có hiệu quả hơn so với không sử dụng phương pháp phânchia lắp ghép?

Kết quả tôi thu thập được:

Câu hỏi 3 6 giáo viên trả lời hiệu quả như nhau 30%

4 giáo viên trả lời không hiệu quả bằng 20%

3

Như vậy đa số giáo viên có biết đến phương pháp phân chia lắp và lắpghép để tính thể tích khối đa diện này tuy nhiên số lượng giáo viên sử dụng còn

ít và chưa thấy được hiệu quả của phương pháp Hơn thế nữa phần lớn giáo viênchưa hình thành được phương pháp riêng vì chưa có đề tài nào đề cập đến nộidung phương pháp này nên nếu có sử dụng phương pháp trong quá trình dạy họccũng là do đúc rút từ kinh nghiệm bản thân Bởi vậy trong quá trình dạy-họcgiáo viên và học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn mà nguyên nhân là do:

+) Học sinh có trí tưởng tượng không gian chưa tốt

+) Do đặc thù môn học có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu và sử dụngcác kiến thức hình học không gian là vấn đề khó đối với học sinh

+) Học sinh quen với hình học phẳng nên dễ nhầm lẫn khi sử dụng các tínhchất trong hình học phẳng mà không đúng trong hình học không gian

+) Vẫn còn một số học sinh chưa xác định đúng động cơ học tập nên chưachăm học và chưa chú ý khi học bài và làm bài tập

+) Do giáo viên chưa có phương pháp phù hợp với năng lực của học sinh

Từ những vấn đề đã đưa ra ở trên cho thấy việc xây dựng và phổ biến đề tài làrất cấp thiết, sẽ đáp ứng được rất nhiều yêu cầu trong quá trình dạy học

1.3 Mục tiêu của đề tài.

- Xây dựng các phương pháp tính thể tích đơn giản, hiệu quả hơn

- Giúp học sinh hệ thống hóa được mạch kiến thức, phát triển năng lực tư duy

- Giúp giáo viên hình thành các bài toán tương tự, các bài toán mới, khái quát hóa vấn đề từ đó xây dựng được chủ đề khối đa diện hoàn chỉnh hơn

Chương 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

2.1 Một số kiến thức cơ bản

a) Khái niệm về khối đa diện, những lưu ý khi phân chia lắp ghép khối đa diện+) Hình đa diện là hình không gian được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn các tính chất:

- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có mộtđỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

+) Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả phần hình đó

+) Lưu ý khi phân chia và lắp ghép khối đa diện:

4

- Nếu khối đa diện (H ) là hợp của hai khối đa diện (H1 ), (H 2 ) sao cho (H1

) và

(H 2 ) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện

(H ) thành hai khối đa diện (H1 ) và (H 2 ) , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện

(H1 ) và (H 2 ) với nhau để được khối đa diện (H )

- Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành những khối tứ diện.b) Các công thức tính thể tích của khối đa diện và lưu ý

+) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B , chiều cao h là: V = Bh

+) Thể tích khối chóp có diện tích đáy B , chiều có h là: V

A ' B ' C ' Gọi E và F lần lượt là trung điểm các

CE cắt đường thẳng C ' A' tại E ' Đường thẳngGọi V là thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V

b) Gọi khối đa diện 

H ) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A' B'C ' sau khi cắt

bỏ đi khối chóp C.ABF

Tương tự F là trung điểm CF ' , do đó: E ' F ' || EF || A ' B ' và E ' F

 ∆CE ' F ' ∆CA' B ' ⇒ S CE'F' = 4S C'A'B'

chất chúng ta đã phân chia khối lăng trụ thành ba khối

thể tích

C.ABB ' A'

khối C ABFE thì cần phải tính qua thể tích hai khối C.C ' A ' B ' và

+) Đối với câu b) rõ ràng không có công thức

nó mà phải tính gián tiếp thông qua khối chóp C.ABFEnào để trực tiếp tính thể tích cho Như vậy có thể hình dung phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích một khối đa diện giống như một cách làm gián tiếp

Bài 2 (Bài tập 2-sgk-trang 25-Hình học 12)

Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

Phân tích: Dễ dàng nhận thấy rằng không có công thức tính thể tích cho khối bátdiện đều nên để tính thể tích khối bát diện đều cạnh a cần phân chia thành haikhối chóp đều có thể tích bằng nhau

Xét khối bát diện đều

V SABCDS ' = 2V S.ABCD

Với

Gọi S. O

ABCD là khối chóp tứ giác đều

6

Bài 3 (Bài tập 3-sgk-trang 25-Hình học 12)

Cho hình hộp ABCD A ' B ' C '

D ' khối tứ diện ACB ' D ' Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích củaLời giải:

Gọi V là thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C '

D ' Chia khối hộp thành các khối tứ diện

ABCB '; ACDD '; A ' AB ' D '; C ' CB ' D ' và ACB ' D '

Xét các khối tứ diện

ABCB '; ACDD '; A ' AB ' D '; C ' CB ' D ' , mỗi khối

này có diện tích mặt đáy bằng nửa diện tích

đáy của khối hộp và chiều cao bằng chiều

cao của khối hộp nên thể tích mỗi khối

Bài 4 (Bài tập 10-sgk-trang 27- Hình học 12)

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều

Do đó hình chóp C ' A ' B ' FE có đáy là hình

thang cân

Gọi P là trọng tâm tam giác ABC và M , Nlần

8

Gọi I là giao điểm của CC ' và mặt phẳng

F B

I

+) Đây là bài toán rất hay đòi hỏi tư duy sáng tạo của học sinh

+) Ở câu a) có thể thấy khối tứ diện A ' BB 'C có được bằng cách

phẳng (A ' BC ) và (CA ' B ') để chia khối lăng trụ ban đầu

+) Như vậy trong quá trình dạy học ngoài dạy cho cách em cách giải toán trựctiếp cần phát triển năng lực giải theo tư duy phân chia và lắp ghép khối đa diện

để tạo ra nhiều hướng giải cho một bài toán

Bài 5 (Bài tập 11-sgk-trang 27-Hình học 12)

Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm các cạnh

BB' và DD ' Mặt phẳng (CEF ) chia khối hộp trên thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó.

9

Phân tích: Việc xác định thiết diện của hình hộp sẽ dẫn đến hướng giải cho bàitoán Nếu dựng thiết diện theo quan hệ song song sẽ nghĩ đến dùng phép biếnhình, nếu dựng theo giao điểm đường và mặt sẽ hướng đến phương pháp phânchia lắp ghép.

Lời giải:

Cách 1: (Sử dụng phép biến hình)

Gọi O là tâm hình hộp, khi đó O là trung

cặp mặt phẳng song song nên giao với mặt

phẳng (CEF ) là các đường thẳng song

Trên (BCC ' B ') gọi M = CE ∩ B ' C ' , trên (CDD ' C ')

gọi Suy ra MN là giao tuyến của (CEF ) và ( A ' B ' C '

 C'D

'

10

D phẳng (CEF ) cắt AA ' tại điểm A '

Gọi (H ') là khối đa diện có các đỉnh là A

D'A'F 2 D'A'D 4 AA'D'D AA' FD AA'D'D D'A'F 4 AA'D'D

vẫn hoàn toàn giải quyết được bài toán một cách tương tự.

+) Với cách giải thứ hai và thứ ba bài toán có vẻ tự nhiên hơn, trong quá trìnhgiảng dạy giáo viên dễ dàng dẫn dắt học sinh tìm ra hướng giải hơn, đây cũngchính là ưu điểm của phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện trong bàitoán tính thể tích khối đa diện

Bài 6 (Bài tập 12-sgk-trang 27-Hình học 12)

Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a

Gọi N là trung điểm cạnh BC

M là trung điểm cạnh A '

B ',a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN

b) Mặt phẳng  D

MN ) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi

(H ) là khối đa diện chứa

D'

C'

D

( ABB ' A ') gọi H , F lần lượt là giao của EM

với các đường BB ' và AA ' , trên ( ADD ' A ')

gọi K = DF ∩ A ' D '

Khi đó (DMN )cắt hình lập phương theo

thiết diện là ngũ giác DNHMK E

Theo định ta Thalet ta có: EH = EN = EB = BN = 1 Suy ra V

E.BHN

= 1 1 1 = 1 và

EF ED EA AD 2 V 2 2 2 8

E.AFD

AE = 2 AB = 2a (1)

12

Vậy tỉ số thể tích giữa hai khối là: T

Ở câu b) với cách 1 thì khối đa diện (H ) đa được ghép thêm hai khối chóp

F A ' MK và E.BHN để tạo thành khối chóp F AED và các khối mới tạo đều tínhđược thể tích của chúng Với cách 2 thì khối đa diện (H ) được chia nhỏ thành bakhối chóp D A ' MK ; D A ' ABHM ; D.BHN và các khối này đều dễ dàng tính đượcthể tích của chúng Như vậy, với phương pháp phân chia và lắp ghép này chúng

ta có thể tính được rất nhiều khối đa diện bất kì

Nhận xét chung mục 2.2.1:

+) Qua mục này đề tài hướng đến việc làm rõ hai phương pháp cụ thể là phươngpháp phân chia và phương pháp lắp ghép trong phương pháp chung phân chia vàlắp ghép để tính thể tích khối đa diện Hiểu theo một nghĩa nào đó thì phươngpháp phân chia là cần tính thể tích một khối đa diện (H ) chúng ta chia nhỏkhối

(H ) thành những khối tính được thể tích rồi cộng các kết quả lại với nhau vàphương pháp lắp ghép là bổ sung vào khối 

H ) các khối đa diện có thể tính

được thể tính và tổng thể tích của chúng, khi đó thể tích khối 

H ) bằng tổng thể

tích trừ đi thể tích các khối đã biết

+) Trong quá trình giảng dạy nếu giáo viên hình thành thêm được cho học sinhphương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện này sẽ rèn luyện thêm tư duygiải toán chủ đề thể tích khối đa diện Bởi vậy phương pháp này đã được ápdụng vào các đề thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi tốt nghiệp và đề họcsinh giỏi những năm gần đây Mục tiếp theo của đề tài sẽ đề cập và làm rõ vấn

S.ABCD ,P,Q có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a và O là tâm

lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâmcủa các tam giác SAB , SBC

14

Lời giải:

Gọi E , F lần lượt là trọng tâm các tam

giác SAB và SBC Gọi K , H lần lượt là

trung điểm các cạnh AB và BC Dễ thấy

tứ giác tạo bởi trọng tâm của bốn mặt

Bài 2 (Trích đề tham khảo lần 2-BGD-năm học 2019-2020)

Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 Gọi

M , N , P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB′A′, BCC′B′, CDD′C ′ và DAA′D′

15

Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm

Bài 3 (Trích đề thi thpt quốc gia năm học

diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M , N

AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D

16

Gọi P ,

Q

Vì M,D

tam giác

lần lượt là giao điểm của EM và AD , EN và CD

lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và BE nên P là trọng tâm

ABE Tương tự Q cũng là trọng tâm tam giác BCE

Nhận xét: Bài toán đã được giải theo phương pháp lắp ghép khối đa diện Rõ

ràng không thể trực tiếp tính thể tích khối đa diện có các đỉnh B, D, M , N , P, Q

nhưng khi bổ sung vào khối chóp E.DPQ ta được khối chóp E.BMN và cả hai

khối chóp này đều có thể tính được thể tích Để sử dụng phương pháp này cần

lưu ý thêm về định lí giao tuyến của ba mặt phẳng: “Giao tuyến của ba mặt

phẳng hoặc đồng quy hoặc đôi một song song”.

Bài 4 (Trích đề thi thử trường THPT Diễn Châu 4 lần 2-2020)

Cho hình chóp tứ giác đều

Gọi M , N , P, Q lần lượt là

S ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và cạnh bên bằng 2a trọng tâm các mặt bên SAB, SBC , SCD, SDA Thể tíchkhối đa diện lồi có các đỉnh là A, B, C , D, M , N , P, Q bằng

41 3a3

81

D

17

2.2.3 Phân tích bài toán trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Bài 1 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An-lớp 12-năm học 2020-2021)

Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1có đáy là tam giác đều cạnh bằng

BA1 = BB1 = BC1 = a 3

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB1 A1 )

b) Gọi G1 , G2

khối đa diện

, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác lồi

a) Gọi O là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng

(A1B1C1) Theo giả thiết BA1 =

BB1

=

BC1

O là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời cũng là

trọng tâm tam giác A1 B1C1

đều cạnh a ).

18

Vậy d (C , ( ABB1 A1 )) = 3.d (O, ( ABB1 A1

)) =

2 22 11

B 1

)

lăng trụ

Khi đó: V H = V .DEF − V .DG G − V .EG G −V .FG G

2.3 Phát triển, xây dựng các phương pháp, kĩ thuật mới để phân chia

và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện.

2.3.1 Khối đa diện chia bởi một mặt phẳng

Đặt vấn đề: Để xây dựng các bài toán mới tôi tập trung nghiên cứu theo hướngcác khối đa diện là các khối quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ sau khi đãchia bởi một mặt phẳng yêu cầu tính thể tích các khối đã được chia nhỏ

Bài toán gốc 1: Cho khối chóp S ABC , trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy cácđiểm A ', B ', C ' sao cho SA ' = k1 SA; SB ' = k 2 SB; SC ' = k3 SC ; (0 < k1 , k 2 , k3 ≤ 1) Gọi V là

'và khối đa diện

Phát triển bài toán 1:

+) Bài toán đề xuất 1 : Cho hình chóp S ABC có thể tích là V Một mặt phẳng (α )đi qua đỉnh S cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M , N sao cho

AM = k1 AB , AN = k 2 AC , (0 < k1 , k2 < 1) Tính thể tích khối

20

Phân tích: Có thể hình dung có một mặt

phẳng quay quanh điểm S và cắt hai cạnh

bất kì của khối chóp, khi đó dễ dàng tính

khối chóp có đáy là tứ giác bằng phương

pháp phân chia khối đa diện

diện

α )qua

ABCD , M là điểm trên

M , song song với các

cạnhcạnh

AB B C

sao cho

và AD

cắt các cạnh AC , CD, DB lần lượt tại

diện bị chia bởi mặt phẳng (α )

N, P,Q Tính thể tích hai phần của khối tứ

Lời giải:

Chia khối tứ diện ABCD thành hai khối ABCQ

và ACDQ bởi mặt phẳng ( ACQ)

Theo tính chất song song ta dễ dàng thấy được

ặc biệt hóa cho bài toán cho trườn

g hợp điểmđiểmcạnh

AB

là trung

21

+) Ngoài cách phương pháp phân chia như trên cũng có thể phân chia khối đadiện chưa đỉnh A thành các khối AMNQ, ANPQ, ADPQ sẽ cho cách tính ngắn gọn hơn Sau đây là một số bài toán vận dụng.

Một số bài toán vận dụng từ bài toán gốc 1:

Bài 1 Cho tứ diện S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA vàSB

cho MA=2SM , SN =2NB, ( α ) là mặt phẳng qua MN và song song vớiSC

hiệu ( H1 ) và ( H2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S ABC

mặt phẳng ( α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S ,( H2 ) chứa điểm A; V1 và V2lượt là thể tích của ( H1 ) và (

Bài 2 (Trích đề thi thử

diện ABCD Mặt phẳng

THPT Kinh Môn-Hải Dương-lần 2-2020) Cho tứ

(α ) song song với AB và CD cắt các cạnh

A M D

+) Thông thường trong giả thiết bài toán chỉ cho giả thiết k1 , k 2 , k3 kết hợp vớiđiều kiện đặc biệt của tứ giác và k4 được mặc định tìm theo các giả thiết đó Tuynhiên bài toán trên tác giả chỉ xét ở mức độ đơn giản để mục đích tìm hướng giảiquyết vấn đề chứ không đặt nặng kĩ thuật biến đổi nên ngay từ đầu cho tất cả cácgiá trị k1 , k2 , k3 , k4

+) Do không có công thức tính tỉ số thể tích cho khối chóp tứ giác nên khi gặpbài toán dạng này cần phải khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác

22

3 k

4 .S ACD V

Sau đây đề tài sẽ đặc biệt hóa một số trường hợp của bài toán 2 khi xét hình

góc để thấy được tính chất quen thuộc của bài toán 2 đã được sử dụng nhiềutrong quá trình giảng dạy của giáo viên cũng như các kì thi gần đây

Một số bài toán vận dụng bài toán gốc 2: