tính thể tích khối đa diện bằng phương gián tiếp
Trang 1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP
VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP
1.Tên sáng kiến: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP
2 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Chuyên đề Tính
Thể Tích Khối Đa Diện Bằng Phương Pháp Gián Tiếp được tác giả gửi đăng trên tạp chí Toán Học Và Tuổi Trẻ số 429 (tháng 3 năm 2013) Và được áp dụng vào dạy cho các học sinh lớp 12A7 trường THPT Lạng Giang số 1 năm học 2013 -
2014 và học sinh các lớp 12 những năm học tiếp theo cho đến nay
3 Các thông tin cần bảo mật
4 Mô tả các giải pháp cũ thường làm:
Để tích thể tích khối chóp và khối lăng trụ ta thường đi tính diện tích đáy và tính chiều cao của hình chóp, hình lăng trụ Tuy nhiên việc xác định chiều cao
và tính chiều cao đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng các kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, các hệ thức lượng trong tam giác Chính vì vậy rất nhiều học sinh rất sợ phần thể tích khối đa diện này
Trang 2
5 Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:
Trong những năm qua trong các kỳ thi Đại học – Cao đẳng, kì thi THPT quốc gia hay kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020, thi học sinh giỏi cấp tỉnh thì bài toán tính thể tích khối đa diện là một câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
Để tính thể tích khối đa diện ta thường áp dụng tính trực tiếp thông qua việc tính diện tích đáy và chiều cao của khối đa diện Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp trực tiếp đòi hỏi học sinh phải xác định được chiều cao của khối đa diện và tính chiều cao đó Việc này làm cho một số học sinh gặp khá nhiều khó khăn do phải vận dụng các kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc đã học từ lớp 11 Khi việc xác định và tính chiều cao của khối đa diện gặp khó khăn hoặc khối đa diện cần tính không phải những khối
đa diện có công thức tính thể tích đã học thì ta sử dụng phương pháp gián tiếp
Để tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp thì học sinh chỉ cần nắm được một số kiến thức cơ bản về thể tích khối chóp, thể tích khối lăng trụ
và tỷ số thể tích trong khối chóp tam giác Lời giải bài toán được trình bày bằng phương pháp gián tiếp thường ngắn gọn, dễ hiểu
6 Mục đích của giải pháp sáng kiến
- Nghiên cứu, xây dựng phương pháp tính thể tích khối đa diện không thông qua việc áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích
- Rèn luyện cho học sinh tư duy mềm dẻo, linh hoạt trong việc suy nghĩ giải quyết một bài toán
7 Nội dung
7.1 Thuyết minh về giải pháp
* Tên giải pháp: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP
* Nội dung và các bước tiến hành giải pháp:
Bước 1: Tóm tắt kiến thức cơ bản
1) Công thức tính thể tích khối chóp
Trang 3= 1
3 (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
2) Công thức tính thể tích khối lăng trụ
=
V Bh (B là diện tích dáy, h là chiều cao)
3) Cho hai khối đa diện H và H1 có thể tích tương ứng là V và V1 biết =
1
VkV
Trang 4Bước 2: Xây dựng phương pháp tính
Nếu tính thể tích khối đa diên H bằng phương pháp trực tiếp khó khăn ta có
thể chia khối đa diện H thành các khối đa diện nhỏ H1, H2, …, Hn mà việc tính thể tích của các khối đa diện Hi (i=1,n) là đơn giản hơn Từđó suy ra
Trang 5∆ABC vuông cân tại B có AC 2= a ⇒ AB = BC = a 2
2 1
AB.BC = a 2
SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm
H thuộc đoạn thẳng AC sao cho
4
AC
AH = Gọi CM là đường cao của tam
giác SAC Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ
diện SMBC theo a
Giải:
Trang 6S CDMN
Giải:
Trang 7Ta có: V S CDMN. =V S CDM. +V S CMN.
Ta có .
.
12
Trang 8S = AB.BC = 2a
Trang 9Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABD ta có
Giải:
Trang 12Áp dụng định lý Pitago ta có 2 2
AC = a +c , 2 2
AB= a +b , 2 2
BC= b +c Xét OBC∆ vuông tại O có OA' là đường cao 1 2 12 12
Trang 13Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các
c nh AB BC, và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia
khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A
a
V = C
3
13 2216
a
V = D
3
218
Chứng minh tương tự J =EN ∩CD là trọng tâm của ∆EBC 2
3
EJ EN
Trang 14Ví dụ 9 (Trích đề tham khảo thi THPT quốc gia năm 2019)
Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có thể tích bằng 1 Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng AA′ và BB′ Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A′ ′
Trang 15Ví dụ 10(Trích mã đề 108 đề thi THPT quốc gia năm 2019)
Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có chiều cao là 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4 Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A′ ′, ACC A′ ′ và BCC B′ ′
Trang 16MNPABC MABC MNAC MNPC MBCP
a
V = D
3 2144
a
V = Gọi E F G, , lần lượt là trung điểm của BC BD CD, ,
Trang 17Bài 1 (Đề thi ĐH khối D – 2006 )
Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA=2a và SA
vuông góc với đáy Gọi M N, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các
đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A BCNM theo a
Trang 18Bài 2 (Đề thi ĐH khối B – 2008 )
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD= ABC=900,
AB= BC =a AD= a SA⊥ ABCD và SA=2a Gọi M N, lần lượt là trung
điểm của SA và SD Tính thể tích khối chóp S BCNM theo a
Bài 3
Cho hình nón S ABCD có đáy là hình chữ nhật, đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), G là trọng tâm của tam giác SBD , mặt phẳng
(ABG) cắt SC tại M , mặt phẳng (ABG) cắt SD tại N Tính thể tích khối
chóp S ABMN , biết SA AB a= = , góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng
Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a 3 Gọi H K, lần lượt là hình chiếu
vuông góc của điểm A trên các cạnh SB SD, Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại
I Tính thể tích của khối chóp S AHIK
Bài 6 (Trích mã đề 101 đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2019-2020)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2cm AD, =3cm,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=4cm. Lấy điểm E bất kì thuộc cạnh SA sao cho AE = x với 0< <x 4cm
a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (EBC)
theo x.
b) Xác định x để mặt phẳng (EBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có
thể tích bằng nhau
Trang 19Bài 7 (Trích mã đề 101 đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2018-2019)
Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam giác ABC Biết
BB =AC =a AB=a Tính thể tích khối chóp ' 'C A B BA
Bài 8 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Điện Biên năm học 2018-2019)
Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD, có AB=a SA, =a 3 Gọi O là giao điểm
của AC và BD , gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối chóp
.OGC
S
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 (Trích mã đề 103 đê thi THPT quốc gia năm 2019)
Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có chiều cao bằng 6 và đáy là tam giác đều
cạnh bằng 4 Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên
ABB A ACC A BCC B Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , ,A B C M N P, , bằng
A 9 3 B 10 3 C 7 3 D 12 3
Câu 2 (Trích đề thi tham khảo tốt nghiệp THPT 2020)
Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có chiều cao bằng 8 và diện tích đáy bằng 9 Gọi M N P, , và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A BCC B C′ ′, ′ ′, DD′ ′C
và DAA D′ ′ Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các đỉnh , , , , , ,
A B C D M N P và Q bằng
Câu 3 (Trích mã đề 106 đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2018 –
2019)
Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có thể tích V Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của hai cạnh AA' và BB' Khi đó thể tích của khối đa diện
'
ABCC IJ là
Trang 20Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm
của SA, N là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB Mặt phẳng qua M,N cắt cạnh
Câu 7 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi ( )α là mặt phẳng qua A,
trọng tâm G của tam giác SBC và song song với BC chia khối chóp thành hai
phần Tính tỉ số thể tích giữa phần bé và phần lớn của hai phần đa diện trên
Trang 21Câu 9 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có thể tích là V Điểm M nằm trên
cạnh AA′ sao cho AM =2MA′ Gọi V ′ là thể tích của khối chóp M BCC B′ ′
′
4
V V
′
3
V V
V
22
V
V = D 1
23
V
V =
Câu 11 Cho tứ diện ABCD Gọi B′, C′ lần lượt là trung điểm của AB và
CD Khi đó tỷ số thể tích của khối đa diện AB C D′ ′ và khối tứ diện ABCD bằng:
Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với đáy Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)là 60° Gọi
Câu 13 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a Mặt bên của hình
chóp tạo với đáy góc 60° Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính theo a thể tích khối chóp
Trang 22Câu 14 Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Gọi M là trung điểm của BB′, N là điểm trên cạnh CC′ sao cho CN =3NC′ Mặt phẳng (AMN)chia khối lăng trụ
V
V =
Câu 15 Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a AD, =b SA,
vuông góc với đáy, SA=2a Điểm M thuộc đoạn SA AM, = x Giá trị của x để
mặt phẳng (MBC) chia khối S ABCD thành hai khối có thể tích bằng nhau là
tích khối đa diện chứa điểm A
* Kết quả khi thực hiện giải pháp
Trong năm học 2013 – 2014 tôi được phân công giảng dạy 2 lớp 12 là lớp 12A6 và 12A7 Khi thực hiện dạy bài Khái niệm về thể tích khối đa diện của chương 1 hình học lớp 12, tôi áp dụng dạy cho học sinh ở lớp 12A7 phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp Và nhận thấy nhiều kết
Trang 23quả tích cực ở lớp đã được áp dụng phương pháp này so với lớp 12A6 không được áp dụng dạy Cụ thể như sau:
* Kết quả bài kiểm tra chương 1 hình học 12
(Lớp 12 A7 là lớp được áp dụng dạy phương pháp tính thể tích bằng phương
pháp gián tiếp) Điểm
Trang 24Kết quả kiểm tra chương 1 hình học 12 năm học 2014 -2015
(Lớp 12 A4 là lớp được áp dụng dạy phương pháp tính thể tích bằng phương
pháp gián tiếp) Điểm
Kết quả kiểm tra chương 1 hình học 12 năm học 2017 -2018
(Lớp 12 A3 là lớp được áp dụng dạy phương pháp tính thể tích bằng phương
pháp gián tiếp) Điểm
Trang 25Kết quả kiểm tra chương 1 hình học 12 năm học 2019 -2020
(Lớp 12 A6 là lớp được áp dụng dạy phương pháp tính thể tích bằng phương
pháp gián tiếp) Điểm
Biểu đồ phổ điểm bài kiểm tra 1 tiết chương 1 hình học 12
Biểu đồ phổ điểm kiểm tra 1 tiết chương 1 hình học 12 của
lớp 12A6 và 12A8 năm học 2019-2020
Trang 26Trong năm học 2014 – 2015, 2015 - 2016 tôi được phân công bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Trong năm học, 2014 – 2015,
2019 – 2020 tôi được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 cùng các đồng chí trong tổ toán trường THPT Lạng Giang số 1, khi dạy phần thể tích khối đa diện tôi cũng dạy các em phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp Dưới đây là kết quả thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 của trường THPT Lạng Giang số 1:
Kết quả thi học sinh giỏi cấp tỉnh giải toán trên máy tính cầm tay
Kết quả Năm học
7.2 Thuyết minh về phạm vi áp dụng sáng kiến
Sáng kiến này được áp dụng khi dạy bài Khái niệm về thể tích khối đa diện trong chương trình hình học lớp 12, dạy ôn thi tốt nghiệp, dạy ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh cho học sinh lớp 12
Việc áp dụng sáng kiến này trong thực tế từ năm học 2013 đến nay của tác giả
đã cho thấy những hiệu quả như sau:
Trang 27- Điểm thi của học sinh được nâng cao hơn trước
- Học sinh hứng thú học hình học không gian hơn trước
- Học sinh có tư duy linh hoạt hơn
7.3 Thuyết minh về lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến
Việc áp dụng sáng kiến này vào thực tế giảng dạy trong các năm học vừa qua
đã thể hiện được hiệu quả khi điểm thi của học sinh trong các bài kiểm tra đã được nâng cao Học sinh đã bớt sợ và có nhiều hứng thú khi học phần tính thể tích khối đa diện Học sinh khi được tiếp cận phương pháp này cũng có khả năng
tư duy mềm dèo hơn khi gặp các bài toán, vấn đề trong cuộc sống Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp có ưu điểm là chỉ sử dụng một số kiến thức đơn giản không cần phải vận dụng các kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc để dựng đường cao Khi tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp thì lời giải bài toán ngắn gọn, rõ ràng Qua thực
tế giảng dạy lớp 12 một số năm khi áp dụng dạy cho học sinh phương pháp tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp gián tiếp, tôi thấy học sinh áp dụng vào giải các bài tập được giao khá tốt Đặc biệt đối với những học sinh có lực học trung bình cũng có thể giải được bài toán tính thể tích bằng phương pháp này
* Cam kết: Chúng tôi cam đoan những điều khai trên đây là đúng sự thật và không sao chép hoặc vi phạm bản quyền
Xác nhận của cơ quan, đơn vị
(Chữ ký, dấu)
Tác giả sáng kiến
(Chữ ký và họ tên)
THÂN VĂN DỰ