(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12

LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Cao đẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiện khá phổ biến.. Bài toán hình học không gian

Trang 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

" MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY – HỌC HÌNH HỌC LỚP

12"

Trang 2

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Cao đẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiện khá phổ biến Bài toán hình học

không gian nói chung và bài toán về tính thể tích khối đa diện nói riêng là một phần kiến

thức khó đối với học sinh THPT

Đa số học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồi quen dạng, làm nhiều rồi

nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triển được tư duy sáng tạo, sẽ không linh hoạt khi

đứng trước một tình huống mới lạ hay một bài toán tổng hợp

Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng

dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục và giúp học sinh có thêm phương pháp

trong giải toán, tôi đã quyết định chọn đề tài:

“Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”.

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu phương pháp tính thể tích khối đa diện

một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức cơ bản nhất về phương

pháp tích thể tích khối đa diện cho học sinh, từ đó phát triển tư duy sáng tạo giải quyết

các bài toán khó

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

Trong chương trình phổ thông, phần kiến thức về tính thể tích khối đa diện được đưa vào giảng dạy ở lớp 12 Đây là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong

quá trình làm bài tập; đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được

ứng dụng rất nhiều trong thực tế

Để giải bài toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp cơ bản là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào

việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đó suy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính

gián tiếp tức là ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích

Đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải định hướng

lời giải bài toán từ đâu?” Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ

đã vội làm ngay, có khi thử nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán

như thế là không cao Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá

trình giải toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét bài toán dưới nhiều góc

2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Trang 3

độ, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành

cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải

nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải

toán

Đặc biệt đối với bài toán về hình học không gian nói chung và bài toán tính thể tích khối đa diện nói riêng thì đối với hầu hết học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng

gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập Nguyên nhân của thực trạng trên là học sinh chưa

trang bị cho mình một kiến thức về phương pháp tính đầy đủ và hệ thống nên rất lúng

túng khi đứng trước một bài toán

2 Kết quả của thực trạng

Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A3, 12A4 trường THPT Hậu Lộc 4 (về vấn đề tính

thể tích khối đa diện) và thu được kết quả như sau:

Lớp Sĩsố Giỏi Khá TB Yếu Kém

Như vậy số lượng học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều do chưa nắm vững được

nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết

Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tôi nhắc lại công thức tính thể tích các khối đa diện, tiếp đó đưa ra các phương pháp tính và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh

thực hiện, cuối cùng tôi đưa ra bài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phương pháp tính

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôi chia nội dung thành

3 phần dạy cho học sinh vào 3 buổi, mỗi buổi 3 tiết; trong mỗi buổi có các thí dụ minh

họa và bài tập cho học sinh tự rèn luyện về phương pháp tính

Sau đây là nội dung cụ thể:

Trang 4

Phần I

Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong quá trình tính toán là tính trực tiếp, tức là dựa vào chiều cao của các khối

và diện tích đáy Như vậy mấu chốt của phương pháp này là phải xác định được chiều

cao và diện tích đáy, ta xét một số ví dụ minh họa như sau: Các thí dụ minh họa

góc với mặt phẳng , tam giác cân tại và tam giác vuông Tính thể tích

của khối chóp

Lời giải (h.1)

là trung điểm cạnh

đỉnh nào

vuông ở Tương tự, nếu vuông ở C thì (Vô lí)

Từ đó suy ra vuông tại S

Gọi K là trung điểm cạnh BC thì

Từ đó:

4

s

Hình 1

A

B

C

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Trang 5

Nhận xét: Ở ví dụ trên dễ dàng nhận thấy SH là chiều cao của khối chóp từ giả thiết

và và việc còn lại là xác định SH

trung điểm của các cạnh và thứ tự là tâm các mặt Tính thể

tích khối tứ diện

Ta có:

Nhận xét: Khi gặp bài toán này nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tính gián tiếp, tuy

nhiên các khối “bù” với khối là quá nhiều và phức tạp Nếu để ý mặt phẳng

A

C

Hình 2

O1 O2

D

B

E

N

N1 E1

M O

Trang 6

nằm trong mặt phẳng thì việc xác định chiều cao và diện tích đáy của hình chóp trở nên đơn giản

Thí dụ 3 Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh Giả sử là trung

điểm cạnh và hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể

tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vuông

khối chóp

Hai tam giác và lần lượt

vuông tại và (theo định lí ba

đường vuông góc)

Tam giác có (vì

hoặc D

Nếu vuông tại thì

Nhưng do

không là tam giác vuông

Từ giả thiết suy ra phải là tam giác vuông

Do , (vì ) nên vuông tại S, suy ra

Vậy

nào có thể tích lớn nhất và tính giá trị

lớn nhất đó

6

x a

S

H

Hình 4

B

C

A

D

S

Hình 3

A

D H

Trang 7

Vì khối chóp có các cạnh bên bằng nhau nên đáy phải nội tiếp.

Suy ra là hình chữ nhật

Gọi là giao của thì

Vì nên theo BĐT Cauchy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

Bài tập tự luyện

Bài 1 (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng bằng Tính thể tích khối chóp và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo

chéo cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi lần lượt là trung

điểm của và Tính thể tích của hình hộp

tích khối chóp đó

mặt phẳng nghiêng đều với đáy một góc Tính thể tích khối

chóp đó

Bài 5 Cho khối chóp có đáy là hình thang cân, đáy lớn bằng lần đáy nhỏ

, chiều cao của đáy bằng Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh có độ dài

bằng nhau và bằng Tính thể tích của hình chóp

Bài 6 Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh Tam giác cân tại đỉnh

và mặt phẳng Giả sử là trung điểm và hai mặt phẳng

vuông góc với nhau Tính thể tích của khố chóp đó

Trang 8

Bài 7 Hình chóp có , tạo với đáy một góc , là

trọng tâm Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng Tính

thể tích của khối chóp

Bài 8 Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh Các cạnh

nghiêng đều trên đáy một góc Tính diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ

mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc Hình chiếu của lên mặt phẳng đáy nằm trong

đa giác Tính thể tích hình chóp đó

Phần 2

Trong các bài toán tính thể tích khối đa diện đôi khi việc xác định chiều cao và diện tích đáy gặp rất nhiều khó khăn, khi đó chúng ta có thể tính một cách gián tiếp bằng cách

chia khối cần tính thành nhiều khối nhỏ hoặc tính thể tích các khối “bù” với khối cần

tính Từ đó bằng công thức cộng thể tích ta có thể suy ra thể tích khối cần tính Sau đây là

một số thí dụ minh họa cho phương pháp thứ 2

Thí dụ minh họa

diện

hình chóp

Suy ra

8

A

Hình 5

C

B

S

I

Trang 9

Mặt khác

Nhận xét: Trong bài toán trên ta hoàn toàn có thể tính trực tiếp, tuy nhiên việc tính gián

tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích thì tính toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Thí dụ 2 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật,

Giả sử là điểm thuộc cạnh sao cho ,

là điểm thuộc cạnh sao cho Tính thể tích khối đa diện

ta có

Xét tam giác cân tại có là trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam

giác Suy ra

Chứng minh tương tự Suy ra hay là đường cao của hình chóp

Mặt khác

(1)

S

Hình 6 O

A

D

B

C E F

Trang 10

C'

Hình 7

D'

B'

B

C

N

K M

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích không thuộc các khối quen thuộc (không có

công thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia thành các khối nhỏ quen thuộc, và ta

có thể tính gián tiếp một cách dễ dàng dựa vào tỷ lệ thể tích

hai khối đa diện trên

giao điểm của và

và khối diện

Trang 11

Thể tích khối lập phương bằng

Từ

Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thì ở thí dụ này ta dựa

vào việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính

Thí dụ 4 Chi hình chóp có

đôi một vuông góc với nhau,

đường cao của các tam giác

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

Xét tam giác vuông tại có là đường cao nên:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ta có

Chứng minh tương tự ta có:

Hình 8

G

A

B

C C'

A' B'

Trang 12

Mặt khác

Suy ra

Chứng minh tương tự, ta được:

Do đó

Nhận xét: Trong thí dụ 3 ta đã áp dụng việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính

thì trong thí dụ 4 ta thấy phương pháp này rất hiệu quả

Bài 1 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng , là trọng tâm của tam giác , mặt phẳng cắt tại ,

mặt phẳng cắt tại Tính thể tích khối chóp ; biết rằng ,

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

Bài 2 Cho hình chóp có đôi một vuông góc với nhau;

lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác Tính thể tích của khối chóp

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm trên các cạnh Mặt phẳng

cắt tại Tính thể tích của khối chóp

Bài 4 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O SA vuông góc với đáy

và SA = Cho Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD CM: SA

 (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK

Trang 13

Bài 5 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có hình chóp A1ABC là hình chóp tam giác

đều cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A1BC) Tính

tan và thể tích hình chóp A1BB1C1C

Phần 3

Trong các buổi trước, chúng ta đã được rèn luyện 2 phương pháp tính thể tích là tính trực tiếp và tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, trong các bài toán thi đại học

và học sinh giỏi còn sử dụng một phương pháp rất hiệu quả đó là phương pháp tọa độ

hóa, nội dung phương pháp này gồm 4 bước:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Bước 2: Xác định tọa độ các điểm liên quan, chuyển bài toán hình học không gian thông thường thành bài toán hình học tọa độ

Bước 3: Tính toán dựa vào các công thức hình học tọa độ trong không gian

Bước 4: Kết luận

Sau đây là một số thí dụ minh họa và các bài tập rèn luyện:

Thí dụ minh họa

Thí dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là

hình chữ nhật, SA=AB=a, AD= , gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC

b) Tính thể tích tứ diện ANIB

Lời giải (Hình 9) Chọn hệ tọa độ với Axyz với

Khi đó:

Trang 14

a) Ta có:mp(SAC) có vtpt là mp(SMB) có vtpt là

Hình 9

b) Ta có mp(SAC) có phương trình: , BM có phương trình:

Thí dụ 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của SB, SC Biết rằng Tính thể tích hình chóp

Lời giải (Hình 10)

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ (h.10).

Đặt SO = h Khi đó ta có:

, Hình 10

Trang 15

M y

N

C

B

A

A'

B'

z

x

mp(SBC) đi cắt Oy tại , Ox tại , Oz tại S(0;0;h)

nên có phương trình theo đoạn chắn là:

Vậy

Thí dụ 3 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013)

Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng

2a và bằng 300 Tính thể tích của khối lăng trụ biết khoảng cách giữa

hai đường thẳng AB và bằng

Lời giải (H.11)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với

Oy, Oz (Hình 11)

Khi đó:

Hình 11

Ta có

Trang 16

Từ giả thiết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’ bằng

Ta suy ra

Vậy:

Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy việc gắn hệ trục tọa độ để đưa bài toán hình học

không gian thông thường thành bài toán hình học tọa độ giúp việc giải bài toán trở nên

đơn giản hơn rất nhiều, như ở ví dụ 3 nếu không dùng tọa độ thì việc tính chiều cao h là

rất khó khăn Điều quan trọng là cần xác định được những yếu tố vuông góc trong hình

để lựa chọn hệ trục tọa độ hợp lý

Bài 1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh SA vuông góc với

đáy và SA = () là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, () cắt SB, SC, SD lần

lượt tại H, I, K CM: AH  SB, AK  SD Tính thể tích khối chóp AHIKBCD

và ; P, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác và Tính thể tích khối tứ diện

theo

Bài 3 (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân

tại B, , hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng

Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại

và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo

II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỂ XUẤT

1 Kết quả nghiên cứu

Trong năm học 2012 – 2013, tôi được nhà trường phân công dạy môn toán tại các lớp

12A3, 12A4 Đứng trước thực trạng học sinh rất ngại khi đối mặt với những bài toán hình

học không gian, tôi đã mạnh dạn đưa vào chương trình bồi dưỡng phương pháp tính thể

tích đa diện Và thực tế sau khi được học một cách có hệ thống và đầy đủ các phương

Trang 17

pháp tính thể tích thì học sinh đã hứng thú hơn trong các giờ học hình học không gian,

học sinh giải tốt các bài toán về tính thể tích nói riêng và bài toán hình học không gian

nói chung Qua đó học sinh còn rèn luyện được cách trình bày bài giải một cách khoa

học, chặt chẽ, đầy đủ; đặc biệt còn rèn luyện cho học sinh về tư duy logic, tư duy sáng

tạo, củng cố được những kiến thức cơ bản

Kết quả cụ thể

Lớp Sĩsố Giỏi Khá TB Yếu Kém

2 Kiến nghị, đề xuất

- Tổ chuyên môn cần tổ chức những diễn đàn trao đổi về chuyên môn để giáo viên có thể

học hỏi kinh nghiệm và phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm của cá nhân

- Nhà trường cần tăng cường hơn nữa những trang thiết bị hỗ trợ cho giảng dạy

- Sở Giáo dục và Đào tạo cần mở những lớp chuyên đề hướng dẫn giáo viên sử dụng

những phần mềm trong công tác giảng dạy

C KẾT LUẬN

Trong quá trình thực hiện và áp dụng sáng kiến trên, mặc dù đã thu được những kết quả nhất định, học sinh đã hứng thú hơn đối với các bài toán hình học không gian, kết

quả học tập môn toán được nâng lên rõ rệt; tuy nhiên để sáng kiến được sử dụng hiệu quả

và rộng hơn thì rất cần những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp để khắc phục những thiếu

sót, hoàn thiện hơn nữa đề tài nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	3,09 MB