Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam BÀI 1 : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VẤN ĐỀ 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam

BÀI 1 : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VẤN ĐỀ 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Sử dụng các định nghĩa có liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ , độ dài của vectơ , biết phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng , biết tính tổng ( hiệu )mcủa hai vectơ , biết tính các tọa độ trọng tâm của một tam giác ,…

VẤN ĐỀ 2 : Chứng minh các hệ thức vectơ

Sử dụng qui tắc ba điểm đối với phép cộng , phép trừ vectơ và các tính chất của các phép toánvề vectơ để biến đổi các hệ thức vectơ

VẤN ĐỀ 3 : Định nghĩa tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng

 Sử dụng tích vô hướng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng

 Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm , tính góc giữa hai vectơ

b a.b a1b1a2b2 a3b3





2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

.,

cos

cos

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a b a

2 1

1 3

1 3

3 2

3 2

,,

]

,

[

b b

a a b b

a a b b

a a

B A

VẤN ĐỀ 4 : Định nghĩa tích vectơ và các ứng dụng của vectơ

 Dùng định nghĩa tích vectơ bằng biểu thức tọa độ

 Sử dụng các tính chất của tích vectơ như :

a, ] sin ,

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam

2

* Tính diện tích hình bình hành ABCD bằng công thức : S ABCD  [AB ,AD]

* Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức :  [ , ]

2

1

AC AB

 Dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh ba vectơ a,b,c đồng phẳng là : , 0

VẤN ĐỀ 5: Mặt cầu

 Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính của mặt cầu đó

Phương trình mặt cầu tâm I ( a, b, c ) bán kính r có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = 0

 Cho biết phương trình mặt cầu, hãy xác tâm và bán kình của mặt cầu đó

Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Tâm I ( a, b, c) ; bán kính r = a2 b2 c2 d

 Mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I , bán kính R và mp (P) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I lên

mp (P) Khi đĩ:

o Nếu IH  R thì (P) và (S) khơng cĩ điểm chung

o Nếu IH  R thì (P) và (S) tiếp xúc nhau tại H

o Nếu IH  R thì (P) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn ( C ) cĩ tâm H, bàn kính r  R2 IH2 Đường trịn ( C ) chính là giao của (P) và (S)

 Mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I , bán kính R và mp (P) Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I lên đường thẳng d Khi đĩ:

o Nếu IH > R thì d và (S) khơng cĩ điểm chung

o Nếu TH = R thì d và (S) tiếp xúc nha u tại H

o Nếu IH < R thì d và (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

-************** -

Bài 2:PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng  khi đã biết VTPT nA,B,C



và một điểm

x0,y0,z0

M thuộc mặt phẳng

 phương trình mặt phẳng  có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

 Khai triển, rút gọn đưa về dạng : Ax + By + Cz + D = 0 (Với D = -Ax0 – By0 – Cz0)

Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng  chứa ba điểm M,N,P không thẳng hàng

 Tìm VTPT n= MN, MP

  đi qua M và có VTPT n (loại 1)

Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng  chứa Mx0,y0,z0 và song song với mặt phẳng

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam

o  đi qua M có VTPT n (loại 1)

Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng  chứa hai điểm M,N và vuông góc với mặt phẳng

  đi qua M có VTPT

D C

C B

B A

//

D

D C

C B

B A

VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách

Loại 1: Khoảng cách từ Mx0,y0,z0 đến mặt phẳng   :AxByCzD0

Ta dùng công thức:    

2 2 2

0 0 0,

C B A

D Cz By Ax M

Cho   :AxByCzD0 và   :A'xB'yC'zD'0   là mặt phẳng đi

qua giao tuyến của   và   Khi đĩ   : AxByCzDA'xB'yC'zD'0

-************ - Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VẤN ĐỀ 1 : Viết phương trình tổng quát đường thẳng 

Bước 1 : Xác định hai mặt phẳng phân biệt  và  cùng chứa 

Bước 2 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  và  :

 : Ax + By + Cz + D = 0 (1)

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam

D Cz By Ax

(1)

VẤN ĐỀ 2 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng 

Bước 1 : Xác định một điểm cố định M0( x0,y0,z0) thuộc 

Bước 2 : Xác định một VTCP aa1,a2,a3

2 0

1 0

3 0

2 0

1 0

:2

a

z z a

y y a

x x ta

z z

ta y y

ta x x

u , Để tìm điểm thuộc đường thẳng ta cho một ẩn và giải hệ tìm hai ẩn cịn lại

o Cách 2: Đặt một ẩn bằng t, giải hai ẩn cịn lại qua t ta tìm được PTTS

VẤN ĐỀ 4 : xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng  và '

 trong không gian

Bước 1 : xác định điểm cố định M0( x0,y0,z0) và một VTCP aa1,a2,a3



của  xác định điểm cố định  ' 

0 ' 0 ' 0 '

0 x ,y ,z

3 ' 2 ' 1 ',,a a a a

M n

00

'

n M M

VẤN ĐỀ 5 : xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0( x0,y0,z0) và có VTCP aa1,a2,a3



Cho  : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi nA,B,C



là VTPT của 

Cách 1: Xét tích vô hướng n avà thay tọa độ điểm M0 vào phương trình  để kiểm tra, ta

có các trường hợp sau :

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam

Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d:

2 0

1 0

ta z z

ta y y

ta x x d

 thay x,y,z ở phương trình tham số trên vào PTTQ của  : Ax + By + Cz + D = 0 ta

được:

A(x0 + ta1) + B(y0 + ta2) + C(z0 +ta3) + D = 0 hay mt + n (1)

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: (1) vô nghiệm  d// 

Trường hợp 2: (1) có một nghiệm t = t0  d cắt  tại điểm M0(x0 + ta1 ; y0 + ta2 ; z0 + ta3)

Trường hợp 3: (1) có vô số nghiệm t  d nằm trong 

Trường hợp 4: ( A:B:C) = k( a1 , a2 , a3)  d 

VẤN ĐỀ 6: Tính khoảng cách

Loại 1: khoảng cách từ M0( x0,y0,z0) đến đường thẳng 

3 0

2 0

1

0:

a

z z a

y y a

 Viết phương trình mặt phẳng  chứa điểm M0 và vuông góc 

 Tìm giao điểm H của  và 

2 0

1

0:

a

z z a

y y a

 : Ax + By + Cz + D = 0 song song với 

 lấy điểm M0( x0,y0,z0) thuộc 

 Tính d( ,  ) = d( M0 ,  ) =

2 2 2

0 0 0

C B A

D Cz By Ax

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam

2 0

1

0:

a

z z a

y y a

2

' 0 '

1

' 0 '

a

z z a

y y a

' 0 ' 0 '

C B A

D Cz By Ax

a là hai VTCP của  và '

M0 0'  '

 Tính d( ,  ) = HK = '



n V

 K a

 Chú ý:

 Một đường thẳng hồn tồn xác định khi biết:

o Một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP

o Nĩ là giao tuyến của hai mặt phẳng: Vì cĩ nhiều cặp mp đi qua đường thẳng nên khi chọn cặp mp ta cần chú ý các tính chất sau:

+ Nếu đường thẳng d đi qua M và vuơng gĩc với đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong mp đi qua M và vuơng gĩc với d’

+ Nếu đường thẳng d đi qua M và cắt đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong mp đi qua M và đường thẳng d’

+ Nếu đường thẳng d đi qua M và song song với mp (P) thì đường thẳng d nằm trong mp

đi qua M và song song mp (P)

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

+ Nếu đường thẳng d song song với d’ và cắt đường thẳng d” thì đường thẳng d nằm trong mp chứa d” và song song với đường thẳng d’

VẤN ĐỀ 7: Góc

 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng

c

z z b

y y a

':'

' 0 '

0 '

0

c

z z b

y y a

'''

'''cos

c b a c b a

cc bb aa

y y a

.,

cossin

c b a C B A

Cc Bb Aa u

'''

''',

coscos

C B A C B A

CC BB AA n

 Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng:

Để tìm hình chiếu H của A lên đường thẳng  ta có các cách sau:

o Cách 1: Chuyển phương trình  về phương trình tham số

H

//

o Cách 2: Lập phương trình mp   đi qua A, vuông góc với  Khi đó H là giao điểm của  và  

 Hình chiếu của điểm lên mp:

Để tìm hình chiếu H của điểm A lên mp (P), ta có các cách sau:

o Cách 1: H là hình chiếu của A lên mp(P)

P H

//

)(

o Cách 2: Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và vuông góc với (P) Khi đó H là giao điểm của  và (P)

 Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng:

Để tìm hình chiếu của đường thẳng  lên mp (P) ta lập phương trình mp (Q) chứa đường thẳng  và vuông góc với (P) Khi đó giao tuyến của (P) và và (Q) chính là hình chiếu của lên (P)

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

8

 BÀI TẬP:

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 1: Các phép toán về tọa độ của vectơ và của điểm Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Bài 8: Tìm vectơ u



, biết rằng:

2; 1;3 ; 1; 3; 2 ; 3; 2; 4/

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

4;13; 6

b u

1; 6; 22

d u

4;3; 5

f u

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

a/ Các mặt phẳng tọa độ b/ Trên các trục tọa độ

Bài 2: Cho điểm M  3; 1;2   Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M:

a/ Qua gốc tọa độ b/ Qua Các mặt phẳng tọa độ c/ Qua các trục tọa độ

Bài 3: Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:

Bài 4: Cho ba điểm A B C, ,

4.1/ Chứng minh ba điểm A B C, , tạo thành một tam giác

4.2/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

4.3/ Xác định điểm D để ABCD là hình bình hành

4.4/ Tính số đo các góc trong của tam giác ABC

4.5/ Tính diện tích của tam giác ABC Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Bài 7: Cho bốn điểm A B C D, , ,

7.1/ Chứng minh bốn điểm A B C D, , , là bốn đỉnh của một tứ diện

7.2/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện

7.3/ Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

7.4/ Tính thể tích của khối tứ diện

7.5/ Tính diện tích của tam giác BCD.Từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện kẻ

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Bài 9: Cho bốn điểm S3;1; 2 ,  A5;3;1 , B2;3; 4 ,  C1; 2;0

a/ Chứng minh SASBC,SBSAC,SCSAB

b/ Chứng minh S ABC là một hình chóp đều

c/ Xác định tọa độ chân đường cao H của hình chóp Suy ra độ dài đường cao SH

Vấn đề 3: Phương trình mặt cầu Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

d/ Đi qua bốn đỉnh A B C D, , , với A1;1; 0 ; B0; 2;1 ; C1; 0; 2 ; D1;1;1

e/ Đi qua 3 điểm A1; 2;0 ; B1;1;3 ; C2; 0; 1  và có tâm nằm trong mặt phẳng

Oxz

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

a/  P đi qua điểm M3;1;1 và có VTPT n  1;1; 2



 

b/  P là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A2;1;1 ; B2; 1; 1  

c/  P đi qua điểm M1; 2; 3  và có cặp VTCP a 2;1; 2 ; b 3; 2; 1

d/  P đi qua điểm M2;1;5 và song song với mặt phẳng   :x2y z 100

e/  P đi qua điểm M1; 2;1  và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ f/  P đi qua ba điểm không thẳng hàng A1; 2; 4 ;  B3; 2; 1 ;  C2;1; 3 

g/  P đi qua điểm A1; 2; 4  và vuông góc với đường thẳng BC với

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

k/  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  P :y2z 4 0,  Q :xy  z 3 0

và song song với mặt phẳng  R :xy  z 2 0

m/  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  P : 2x3y 4 0,  Q : 2y3z 5 0

và vuông góc với mặt phẳng  R : 2xy3z 2 0

n/  P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  P :x  y 2 0,  Q : 5x13y2z0

và cách điểm M1; 2;3 cho trước một khoảng bằng 2

Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

1.2/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên  P

1.2/ Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua  P

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Bài 8: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng  P song song với mặt phẳng

 Q và cách điểm A một khoảng cách cho trước:

1 0/

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng  P cho trước:

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

20

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng   trong các trường hợp sau:

a/   đi qua điểm M1; 2; 3  và có VTCP u  1;3;5



 

b/   đi qua hai điểm A2;3; 1 ;  B1; 2; 4

c/   đi qua điểm A2; 5;3  và song song với đường thẳng  

d/   đi qua điểm A3; 2; 4  và song song với trục Ox

e/   đi qua điểm A2; 5;3  và song song với đường thẳng MN với

5;3; 2 ; 2;1; 2

f/   đi qua điểm A  2; 4;3 và vuông góc với mặt phẳng  P : 2x3y6z190

g/   là giao tuyến của hai mặt phẳng

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

21

a/ Chứa các cạnh của tứ diện ABCD

b/ Đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng ABD

c/ Đường thẳng qua A và trọng tâm của tam giác BCD

Bài 3: Cho tam giác ABC có A1; 2;5 và hai trung tuyến  1

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

22

c/ Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC

Bài 5: Cho bốn điểm S1; 2;3 ;  A2; 2;3 ;  B1; 1;3 ;  C1; 2;5 

a/ Chứng minh S ABC là một tứ diện

b/ Viết phương trình các hình chiếu của SA,SB trên mặt phẳng ABC

Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Bài 2: Chứng tỏ các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau Viết phương trình đường

vuông góc chung của chúng

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

cắt  P : 2xy2z2m0 tại điểm có cao độ bằng -1

Vấn đề 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng  d và mặt cầu  S Tìm giao điểm (nếu có) của chúng

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có A3; 2; 6 ; B3; 1; 0 ;  C0; 7;3 ;  D2;1; 1 

a/ Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc nhau

b/Tính góc giữa AD và mặt phẳng ABC

c/ Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD

d/ Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng BCD Tính thể tích của tứ diện

ABCD

Bài 5: Cho tứ diện S ABC có S1; 2;1 ; A3; 2;1 ; B1;3;1 ; C1; 2;5 

a/ Viết phương trình các mặt phẳng ABC ; SAB ; SAC

b/ Tính góc tạo bởi SC và mpABC; góc tạo bởi SC và AB

c/ Tính các khoảng cách từ C đến SAB và từ B đến SAC

d/ Tính khoảng cách từ C đến AB và khoảng cách giữa SA và BC

Bài 6: Cho tứ diện S ABC có S1; 2;3 ;  A2; 2;3 ;  B1; 1;3 ;  C1; 2;5 

a/ Tìm phương trình các hình chiếu của SA,SB trên mpABC