Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

• Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm của chúng có nghiệm kép • Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất Bài 19 : C : 3...

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS

@@@@@@@

VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

Cho hàm số y= f x( ) ( C ) Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có 2 cách :

Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lý : Đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M ( ;x y o o = f x( ))o : k = f '( ) xo

Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

Tiếp tuyến tại M x y( ; ) ( )o o ∈ C y = f '( ).( xo x − xo) + yo (1)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)

cho trước : y = k xd + b _Gọi _Giải pt : M x y( ; ) ( )o '( )o ∈ C

Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

Tiếp tuyến tại M x y( ; ) ( )o o ∈ C y = f '( ).( xo x − xo) + yo (1)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho

1( )

1'( )

_Thế pt dưới vào trên ⇒ ⇒x k

ứng với 1 giá trị x sẽ có 1 giá trị k

4 32

y !,!!-!.%&!'$/0!1234'!0567!67!0839:!*"+!!;23)<!!0563):!=5>%!*"+!0%?2!-!=%@0!1AB&:C!023/'!=%/:!D239:!E%&!1A7:C!0%?2!F!E%&!G!,!!

"#A7:C!0$>!8%HC!-!.%&!085:C!1234'!=5>%!FGI!E%&!0%'!C2%7=!JFG!*J!.%&!C2%$!1234'!!

=5>%!#%2!1AB&:C!023/'!=%/:+!=$7!K23/:!0L=#!M#$9:C!<#5?!0#5$/=!E%&$!-!

N2%>2 ! !!!!!!!!! ( D ≠ O ) !!!! *"+

− +

2

4 32

x

x x

x x

−

=

1

1 1

1 2

1

; 11

a A

;%!=$7! ( xA + xB) = ( 1 + 2 a − 1 ) = a = xM

2

1 2

a y

− +

−

= +

1

1 1 2 2

3 1

2 2

1 2

1 2

1

!R%/6!-!.%&!085:C!1234'!=5>%!FG!!

1 0

0 42

m

m g

m g

=

⇒

1

C B

C Bx x P

m x

x S

! ⇔ m = ± 5!!!!!!!!!!*:#%/:!($!EB72!123Z5!M23/:+!

!

!"#$%&!'($, !"#$!#%&'!($)!6!P!DT!V!TD!V!Q!!!!!*i+!

j370!T!1234'!FI!GI!"!0#%k:C!#%&:C!0#5$/=!*i+,!N$?2!FOI!GOI!"O!.%Z:!.5B?0!.%&!C2%$!1234'!=5>%!*i+!EB72!=%7=!023)<!0563):!=5>%!*i+!0%?2!FI!GI!",!"#A7:C!'2:#!8%H:C!

FOI!GOI!"O!0#%k:C!#%&:C,!

N2%>2 !N$?2!-*D\]!6\+!0#5$/=!*i+,!e#AB:C!08Y:#!023)<!0563):!=5>%!*i+!0%?2!-!

0 0

3 0

a b a

b a c

a b

3 3

− + +

− + +

=

⇔

ac a c

ab a b

a c

a

b a

6 8

2 2

2 2

3 3

3 3

2 2

− + +

− + +

=

⇔

c ac a

b ab a

− là giao điểm của ( C ) và Ox

6) ( C ) : y= −x3 2x+2,M olà giao điểm của ( C ) với đt y=2

7) ( C ) : y=2x3−x,với M olà giao điểm của ( C ) và Oy

8) ( C ) : y=2x4−5x2+3 với M o∈( )C là giao điểm của ( C ) và Ox

Bài 2 : Cho hàm số 3

2

x y x

−

=+ ( C ),viết pttt với đths :

1) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ

2) Biết tiếp tuyến song song với đt y=5x+2

Bài 3 : Cho hàm số y= −x3 3x2+4( C ),viết pttt với đths :

1) Tại M o∈( )C có hoành độ x o = −2

2) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm (2;0)A

Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :

1)

2 3 6

,1

y= x

2) y=x2+3 ,x biết tiếp tuyến qua (1; 4)A

3) y= −x3 3 ,x2 biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt 1

y= x+

5)

3 2

y x

−

=

− tìm pttt với ( C ) trong các trường hợp sau :

1) Tiếp xúc với ( C ) tại (2; 4)A −

2) Song song với ( ) :d1 y=13x+1

3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng 1 19

9

y= − x+

4) Lập pttt tại điểm uốn của ( C ) Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất

5) (khó) Tìm trên đt y=2 các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Bài 7 : cho ( C ) 2

1

x y x

−

=+ Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến :

1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm (2;1)A

Bài 8 : cho ( C ) y= − +x3 3x2−5x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó : 2) Song song với đt : 2x+ − =y 3 0 3) Vuông góc với đt : x−29y+ =2 0

Bài 9 :

22

x y

x

=

− Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :

1) Tại điểm có hoành độ x o =1

2) Song song với đt 8x−9y+ =1 0

− ( C ) Viết pt đường thẳng đi qua M(1;0)và tiếp xúc với đths ( C )

Bài 14 : cho hàm số ( C m) y= +x3 3x2+m m( +1)x+1 Tìm m để (C m)tiếp xúc với parabol (P) :y=3x2+2x+1.( đs : m= ∨ = −1 m 2)

Bài 15 : ( C ) :

1

x x y

− CMR với mọi m≠ −1 thì đths luôn tiếp xúc với 1

đường thẳng cố định tại một điểm cố định

*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay đồ thị sau :

1

( ) :C y=x và 2

2( ) :C y=x −2x−1

1

( ) :C y=x −5x+6 và 2

2( ) :C y= − +x 5x−11

Lưu ý :

• Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm của chúng có nghiệm kép

• Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Bài 19 : ( C ) : 3

1

x y x

−

=+ Viết pttt với ( C ) biết :

1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy

2) Tại K có hoành độ bằng -2

3) Tiếp tuyến song song với đt y=4x+2

4) Vuông góc với đt 4x+ − =y 3 0

*Bài 20 : Tìm trên đt y=2mà qua đó có đúng ba tiếp tuyến với ( C ) : y= − +x3 3x2−2

Bài 21 : Tìm trên Ox những điểm mà qua đó có đúng một tiếp tuyến với ( C ) trong các trường

VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : cho hai hàm số y= f x( )có đồ thị là (C) và y=g x( )có đồ thị là (C’) Muốn xét sự tương giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hoành độ giao điểm :

f x = g x (*)

số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C)

và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm

Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau

tại M thì điểm x M chính là nghiệm kép của pt (*)

, và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến

2 1

4 1

2

0 3 2 1

4 2 4

4

0 1

m m

m m

af

m m m

m

m a

(

m m

0 1

3

0 16 24

2 9

5 3

m

m

!N2%>!(A>!*K_+!=%@0!*"+!0%?2!Q!1234'!<#%9:!d23/0!FI!G,!N$?2!J!.%&!085:C!1234'!FI!G !

1 2

m m x y

m x x x

I I

B A I

1 3

−

+

=

− m m

; 2

; 2

;%!=$7!FGQ!P!O\\! ⇔! *DF!V!DG+Q!U!*6G!V!6F+Q!P!O\\!

x f y

+ +

− +

1 2 1

0 2

1 0

1

0 1

0 0 1

a

a a

a g

g a

a) y= −(x 2)(x2+mx+m2−3) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

b) y= −x3 3x2 +2 cắt (d) : y=mx+2tại 3 điểm phân biệt

Bài 3 : 1)cho hàm số y=2x3−3x2−1 có đồ thị là (C), và đt (d) : y= −kx 1 Tìm k để (C) cắt (d) tại 3 đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương

2)Tìm k để đồ thị y=x3+x2-2x+2k và y=x2+(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm

3)Tìm m để đồ thị y=x3-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đó tại 2

trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau

Bài 4 :

a) cho hàm số y= − +x3 3x 2 có đồ thị là (C), và đt (d) qua (3; 20)A có hệ số góc là m Tìm m để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt

b) cho hàm số 2 1

1

x x y

x

− −

=+ (C), gọi (d) là đường thẳng qua (3;1)A có hệ số góc là k, Tìm k để

(C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt

c) cho hàm số

21

+

=

− (C)

a)Tìm m để (D) : y=mx+1cắt (C) tại hai điểm phân biệt

b)Tìm m để (D) : y=mx+1cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)

Bài 6 : cho hàm số 2 1

2

x y x

+

=+ (C)

Tìm m để (C) cắt (d) : y= − +x m tại 2 điểm phân biệt A và B Tìm m để đoạn AB ngắn nhất

VẤN ĐỀ 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : xét bài toán sau đây : vẽ đồ thị (C) của hàm số y= f x( )sau đó biện luận theo tham số m

số nghiệm của phương trình :

Ta đưa (*) về dạng f x ( ) = ϕ ( ) m trong đó ϕ ( ) m là biểu thức theo m, không chứa x

Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = ϕ ( ) m mà ta nhìn thấy qua đồ thị

Chú ý : do m là tham số tùy ý nên ta không nên lầm tưởng y = ϕ ( ) m là 1 hàm số , đường cong…

mà nó mãi mãi chỉ là đường thẳng mà thôi (các em hay có nhận định sai khi làm dạng này)

VD như hình bên , ta thấy (*) có :

2 4

x y

!

! d+!!y = − sin 3 x − 3 sin3 x!

! ⇔ y = ( − 3 sin x + 4 sin3 x ) − 3 sin3 x!

x x

2

1

; 1

k x

t Maxy

2

1

; 1

l x

t Miny

+ +

=

x

x x

%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!#%&'!($)!

d+ ;Y'!C2%7!08[!.B7:!:#%)0!I!:#$>!:#%)0!=5>%!d2345!0#A7=!

1 cos

1 cos cos

+

+ +

=

x

x x

N2%>2 !!%+g$Z!0#[!*"+!

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-12 -10 -8 -6 -4 -2

2 4 6

x y

=

t

t t

t

1cos

1cos)

(21

12

(MI w)

!!!!!

!!!!!!!!!! ∈Π

cos0

!G%&2!0$%7:!T !"#$!#%&'!($)!

2

32

+

− +

=

x

x x

%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!!

d+ G23/:!.5%/:!0#3$!'!($)!:C#23/'!

=5>% f ( ) t = t4 + ( 1 − m ) t2 − 3 − 2 m = 0!N2%>2 !!%+!

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -4 -2

2

x y

!

! j370!#%&'!($)!

2

32

+

− +

=

x

x x

f

! ! %+!q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!

! ! d+!G23/:!.5%/:!0#3$!'!($)!:C#23/'!=5>%!( m − 2 ) x − m = 0EB72!x ∈ [ − 1 ; 2 ]!N2%>2 %+!Đồ!0#ị!*"+!

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

2 4 6

x y

!d+!j370!<#AB:C!08Y:#!( m − 2 ) x − m = 0EB72!x ∈ [ − 1 ; 2 ]!!

2 4

x y

%+ q#%>$!(%70!E%&!E3v!1$Z!0#[!*"+!!

d+ G23/:!.5%/:!($)!:C#23/'!=5>%!<#AB:C!08Y:#!( 1 − m ) x2− ( 1 − x ) x + 1 = 0!N2%>2 !%+!g$Z!0#[!*"+!

-2

2 4 6

4 1

0 1

2

m m

≠

⇔

0 3 2

1

2

m m

3

m

m

!3

2 12

N2%>2 !%+!g$Z!0#[!*"+! !y = 3 + 2 x2− x4!

1 2 3 4

m t

2 2

4 3

m m

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình 2 1 2

Đồ thị hàm số y= f x( )và y= −f x( )đối xứng nhau qua trục hoành

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng

Đồ thị hàm số lẽ nhận tâm O làm tâm đối xứng

Bài toán : cho (C) y= f x( )

Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox (do (2)) ta sẽ có ( ) : C1 y = f x ( )

Lưu ý : f x ( ) là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

3 3 2

y= x − +x

Dạng 2: từ (C) suy ra ( ) : C2 y = f x ( )

Ta có f x ( ) = f x ( ) nếu x≥0 (1)

f x ( ) = − f ( ) x nếu x<0 (2)

Cách vẽ :

Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy (do (1))

Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)

Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có( ) C2

Dạng 4: từ (C) suy ra 4

( ) ( ) :

Giữ nguyên phần (C) khi ( )P x >0

Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi ( )P x <0

Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng 5

( ) ( ) :

x y x

+

=

−

11

x y x

+

=

−

d+ S56!8%!1$Z!0#[!( )

1 :

2

x y

N2%>2 !g$Z!0#[!*"+!

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

x=1

y=x+1

!g$Z!0#[!*"O+!

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

2

x y

g$Z!0#[!*"Q+!

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

2 4 6

x y

x=1

y=x+1y=-x+1

2

x y

x y

g$Z!0#[!*"m+!

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

2 4 6

x y

2

x y

!

-10 -8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

x=1

y=x+1y=-x-1

Bài 1 :

a) khảo sát và vẽ (C) :y= − +x3 3x

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau : 3

1( ) :C y= − +x 3x ; ( ) :C2 y= − x3+3 x ; 3

3

( ) :C y = − +x 3x

c) biện luận theo m số nghiệm pt sau : − +x3 3x = −m 1 (*)

Bài 2 :

a) khảo sát và vẽ (C) : 1

2

x y x

A B I

2) Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là AB= (x B −x A)2+(y B −y A)2

3) Khoảng cách từ điểm M x( M;y M)đếm đường thẳng (D):Ax+By+ =C 0:

5) Tọa độ nguyên : chia hàm số ra , sau đó cho mẫu là các số mà tử chia hết

6) Bất đăng thức Cachy : a b+ ≥2 a b ,dấu “ = “ xảy ra ⇔ =a b

nếu f ''( )x i <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

nếu f ''( )x i >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔x CĐ.x CT < 0

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trên trục hoành

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Chú ý : Đối với hàm hữu tỉ y =u(x)

v(x) Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0)

u(x ) u'(x )y'(x ) = 0 u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) = 0

− luôn luôn có 1 cực đại và 1 cực tiểu

Bài 7 : tìm các hệ số a,b,c sao cho hàm số f x( )= +x3 ax2+ +bx c đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0)

Bài 8 : tìm các hệ số a,b,c,d sao cho hàm số f x( )=ax3+bx2 + +cx dđạt cực tiểu tại

Q ' ' D D 6

Q Q

−

− + +

=

x

m x x

!! Tìm m để hs có 2 cực trị nằm 2 phía của Oy

VẤN ĐỀ 6 : GTLN - GTNN

1/Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) ,TXĐ: D

a Nếu f x( )≤M,∀ ∈x D và f x ( )0 = M x , 0∈ D thì M là GTLN của hs trên D

Kí hiệu Max y = M tại x = x0

b Nếu f x( )≥M,∀ ∈x D và f x ( )0 = M x , 0∈ D thì M là GTNN của hs trên D

Kí hiệu Min y = M tại x = x0

2/ Tìm GTLN & GTNN:

D

D

Dạng 1: nếu D là đọan [a,b] ( dễ làm nhất )

- tính y’ ,cho y’ = 0 ⇒ các điểm tới hạn x0, x1, x2 ∈ [ , ]a b ,không thuộc [a,b] ta không lấy , nếu không có giá trị nào cần tìm thì thôi…

- tính các giá trị f x( ), ( ), ( ), , ( ), ( )0 f x1 f x2 f a f b

- nhìn , so sánh tìm ra giá trị lớn và nhỏ nhất và kết luận Min và Max

Dạng 2 : nếu D là khoảng (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên mới ra )

- tính đạo hàm

- lập BBT , suy ra GTLN , GTNN ( cũng không quá khó )

-

chú ý : đôi khi ta còn xài bất đẳng thức CôSi, Bunhiacopski…

VD:tìm GTLN & GTNN của hàm số y= −x3 3x2+2 trên đọan [1,3]

= − trên nửa khỏang (0; 2]

Bài 2 : tìm GTLN & GTNN các hàm số sau :

1) y=2sin2 x+2sinx−1

x y

http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com 30

VẤN ĐỀ 7 : LỒI- LÕM- ĐIỂM UỐN

1/ Định nghĩa : cho hàmsố y = f(x) có đồ thị là (C) , một điểm I ∈ ( ) C ngăn cách giữa phần

lồi và phần lõm gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số , sau đây là hình minh họa:

Hình vẽ này cũng minh họa cho cực đại , cực tiểu

2/ Định lý 1: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên (a,b)

a Nếu f "( ) 0, x < ∀ ∈ x ( , ) a b thì đồ thị lồi trên (a,b)

b Nếu f "( ) 0, x > ∀ ∈ x ( , ) a b thì đồ thị lõm trên (a,b)

c Nếu f "( ) x đổi dấu khi đi qua xI thì I là điểm uốn của (C)

3/ Cách tìm điểm uốn:

- tìm TXĐ :D , tính đạo hàm cấp 1 , sau đó tính đạo hàm cấp 2 ( y”)

- cho y” = 0 suy ra xI sau đó vẽ bảng “ xét tính lồi ,lõm ,điểm uốn “

- suy ra các khỏang lồi , lõm , và điểm uốn

chú ý 1: một điểm M x ( M; yM) là điểm uốn của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi

 (*) có nghĩa là ta đem thế tọa độ M vào hàm số là xong, chú

ý này giúp giải được nhiều bài tóan

http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com 31

chú ý 2: tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có “ hệ số góc “ nhỏ hoặc lớn nhất ( tùy bài )

VD : tìm các khỏang lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số sau :y = + x3 3 x2 + 1

C B

−

= +

2

0 2 3

0 4 2

2 3

2

y

x x

x x y

x x

x

!!

q3)0!.5%/:! !*"'+!.5$9:!12!l5%!1234'!-*Q]!\+!EB72!'$?2!'!

d+!-*Q]!\+!.%&!1234'!=$)!1[:#!=5>%*"'+!:39:!-*Q]!\+!EA&%!0#5$/=!*"'+!EA&%!0#5$/=!\D!!:39: !DT!V!*'!U!O!+DQ!V!*Q'Q!V!T'!U!Q!+D!U!Q'*Q'!V!O!+!P!\!

2 0

2

0 1 6 9

3

1 0

2

0 1 6 9

2 2

m

m g

m m

m g

m m

= +

−

−

⇔

13 2 2 1 4 1

0 1

2

0 2 2

3

2 3

y x y x y x

y x

x

x x x

!

G%&2!0$%7:!T !=#$!#%&'!($)! ( )

m x

x m y

http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com 33

1$42!I:C$%?2!08A&!'$/0!E%&2!C2%7!08[!'!'%&!0%!<#%>2!D%7=!1[:#!!

m x

x m

=+

⇔

=++

−+

⇔

020

02

x xy

y x

x xy m y x

2

11

1

m y

x

m y

=

−

⇔

0 1

03

y x

x x

1

0

y

x y

−

−

= +

−

−

2 2

17

1 0

1 6 3 0

1 9

3

0 1 6

x x x y

x x

x

x x

'''C'D:$*:'")E%' 'U#E)'IS)J,'9:;T?'A:;M%'8?@)'B").'X,K'.4'B)'B7.'9#$E8'9:;T?'A:;M%'8?@)'3'S)J'0' 9;<'F-34'0/'B,T%'B)E:'5'],*'I)J'X#E'&:$*:'")E%'8?@)'L?0['BW8"5'

0 0

k

k g

x g

=

⇒

k x

x P

a

b x

x S

B A

x x x

I I

B A I

2323

k k

2

032

4

1

2 0

−+

≠

⇔

0

2 0 0 0 2

2 1

2 1

k k

k k

2 0 0

2 0

2 0 0

x y x y

≠

⇔

0 0

2 0

2 0

0

4 0

x y

y x

2

m x m x y

a

b x

42

2

m x m x y

m x

3

m x mx x

y

m x

=

x

x m x

y ,!g[:#!'!134!#%&'!($)!=$7!=A?=!1%?2I!=A?=!02345,!!q#2!1$7I!#%v6!0Y'!l56v!0L=#!=5>%!1234'!=A?=!1%?2!E%&!1234'!=A?=!02345!=5>%!1$Z!0#[!!

( ) ( ( ) )2

2 2

2

1

1 2 1 2

' 1

2 2

=

x

m x

x

m y

x

x m x

=

−

=

2 4

2 1

1 1

1 1

m x y

m x

=

+

=

2 4

2 1

2 2

2 2

m x y

m x

1

x y

1

2

1

x y

3) Tìm m để (C m)nhận điểm (1; 2)I làm điểm uốn

4) Tìm m để (C m)tiếp xúc với trục hoành

5) Tìm điểm cố định khi m thay đổi

6) Ứng với m = 0 , viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

7) Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị (C m)

Bài 2: cho hàm số y= −x3 6x2+9x ( )C

1) Khảo sát và vẽ (C) sau đó viết pt tiếp tuyến tại điểm uốn

2) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình x3−6x2+9x−2m=0 (*)

1( ) :C y= x −6x +9x

4) Biện luận số nghiệm pt x3−6x2+9x = +m 1

5) Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của (C)

6) Tìm tâm đối xứng của (C)

Bài 3: cho hàm số 3 2

2

x y x

+

=+ (C)

1) Khảo sát và vẽ (C)

2) Tìm tâm đối xứng của (C)

3) Tìm trên (C) nhữn điểm có tọa độ là những số nguyên

4) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua gốc tọa độ

5) vẽ các đồ thị sau : 3 2

2

x y x

+

=+ ;

2

x y x

+

=+ ;

2

x y x

+

=+

Bài 4: cho hàm số y= −x3 3x2−9x+m (C m)

1) Khảo sát và vẽ (C) khi m = -3 Chứng minh (C) có tâm đối xứng

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vẽ từ (5; 2)A

1

x x y

x

+ −

=

− ( )C

1) Khảo sát hàm số Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

2) Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y=2x+mluôn cắt (C) tại 2 điểm M,N Tìm m để đoạn MN ngắn nhất

3) Từ (C) suy ra đồ thị

2 1

1( ) :