chuyên đề toán thi đại học download khảo sát hàm số và các bài toán liên quan khao sat ham so va cac bai toan lien quan cac bai toan lien quan den kshs 99baitoancuctrihamsotoan12 deso1thtt2014

TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1... PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1.[r]

CHƯƠNG I HÀM SỐ BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 y  f (x) đồng biến / (a, b)  x1 x2a b,  ta có f x 1 f x 2

2 y  f (x) nghịch biến / (a, b)  x1 x2a b,  ta có f x 1  f x 2

3 y  f (x) đồng biến / (a, b)  (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại

một số hữu hạn điểm  (a, b).

4 y  f (x) nghịch biến / (a, b)  (x)  0 x(a, b) đồng thời (x)  0 tại

một số hữu hạn điểm  (a, b).

5 Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm x x k  f x  đổi dấu tại điểm x k

6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

 Giả sử y  (x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại x1, ,x na b,  Khi đó: Max ,   Max  1 , ,  n,  ,  ;

,

 Nếu y  f (x) đồng biến / [a, b] thì      

x a b f x f a x a b f x f b

 Nếu y  f (x) nghịch biến / [a, b] thì      

x a b f x f b x a b f x f a

b

x   x x 

 Hàm bậc nhất f x    trên đoạn x a b đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ;  nhất tại các đầu mút a; b

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Nghiệm của phương trình u(x)  v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị

 

y u x với đồ thị y v x  

2 Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị y u x   nằm ở phía trên

so với phần đồ thị y v x  

3 Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

 

y u x nằm ở phía dưới so với phần đồ thị y v x  

4 Nghiệm của phương trình u(x)  m là hoành độ

giao điểm của đường thẳng y  m với đồ thị y u x  

5 BPT u(x)  m đúng xI  MinI  

6 BPT u(x)  m đúng xI  MaxI  

7 BPT u(x)  m có nghiệm xI  MaxI  

8 BPT u(x)  m có nghiệm xI  MinI  

III Các bài toán minh họa phương pháp hàm số

Bài 1 Cho hàm số f x mx2 2mx 3

a Tìm m để phương trình (x)  0 có nghiệm x[1; 2]

b Tìm m để bất phương trình (x)  0 nghiệm đúng x[1; 4]

c Tìm m để bất phương trình (x)  0 có nghiệm x1;3

Giải: a Biến đổi phương trình (x)  0 ta có:

 

Để (x)  0 có nghiệm x[1; 2] thì    

b Ta có x[1; 4] thì f x mx2 2mx 3 0  m x 2 2x 3

  2 3 , 1; 4

2

1;4

M in



a

v(x) u(x)

y = m

Do

 

 2

3

g x

x



  giảm trên [1; 4] nên ycbt       

1;4

1

8

c Ta có với x 1;3 thì f x mx2 2mx 3 0  m x 2 2x 3

Đặt

  2 3 ,  1;3

2

+ Nếu x  thì bất phương trình trở thành 0 0 30 m   nên vô nghiệm

+ Nếu x 0;3 thì BPT  g x  có nghiệm m x 0;3    

0;3

x Min g x m



Do

 

 2

3

g x

x



  giảm /0;3 nên ycbt       

0;3

1 3 5



+ Nếu x   1; 0 thì x2 2x nên BPT 0  g x  có nghiệm m x   1; 0

1;0

Max g x m



Ta có

   

2

2

x

 

Do đó g x nghịch biến nên ta có        

    

Kết luận: (x)  0 có nghiệm x1;3  ; 3 1; 

5

     



U

Bài 2 Tìm m để bất phương trình:

3

3

1

x



   

nghiệm đúng x  1

Giải: BPT

 

x

Ta có

 

4 2 2



2

3

x



Bài 3 Tìm m để bất phương trình m.4x m1 2 x2 m1 0 đúng x ¡

Giải: Đặt t 2x  thì 0 m.4x m1 2 x2 m1 0 đúng x ¡

 

2

t



 

2 2 2

g t

 

  nên g t nghịch 

biến trên 0;  suy ra ycbt   0    0 1

t

Bài 4 Tìm m để phương trình: x x x12m 5 x  4 x có nghiệm

Giải: Điều kiện 0  Biến đổi PT x 4

  

Chú ý: Nếu tính f x  rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn

Thủ thuật: Đặt

x









 

Suy ra: g x  và tăng;   0 h x > 0 và giảm hay    

h x  và tăng

 

g x

f x

h x



tăng Suy ra f x  có nghiệmm

Bài 5 Tìm m để bất phương trình: x3 3x2 1m x  x13 có nghiệm

Giải: Điều kiện x  Nhân cả hai vế BPT với 1  x  x 13  ta nhận được0 bất phương trình f x x3 3x2 1  x x13  m

Đặt g x x3 3x2 1 ; h x  x  x13

Ta có

  3 2 6 0, 1;   3 12 1 1 0



Do g x  và tăng   0   ; x 1 h x  và tăng nên   0 f x g x h x    tăng  x 1 Khi đó bất phương trình f x m có nghiệm min1    1 3



Bài 6 Tìm m để 4x 6 x x2  2x m nghiệm đúng   x  4, 6

Cách 1 BPT  f x x2 2x 4x 6 x  đúng m   x  4, 6

 

   

 

   

x

Lập bảng biến thiên suy ra Max      

4  6 

2

t x  x     

Ta có t2 x2 2x24 Khi đó bất phương trình trở thành

tt m  t  f t t  t m t  Ta có:

  2 1 0

f t  t   f t tăng nên  f t m t; 0;5      

0;5

max f t f 5  6 m

Bài 7 Tìm m để 3x 6 x 18 3 x x 2 m2  m đúng1   x  3, 6

Giải:

Đặt t 3x  6 x  0 t2  3x 6 x2  9 2 3 x 6 x

 9t2  9 2 3 x 6 x 9 3x6 x18

     

2

Xét

3;3 2

9

 

 



ycbt

3;3 2

 

 

Bài 8 (Đề TSĐH khối A, 2007)

Tìm m để phương trình 3 x 1m x 1 24x2  1 có nghiệm thực

Giải: ĐK: x  , biến đổi phương trình 1

4

x x

x

u

x x

Khi đó g t 3t2 2t m

Ta có  

1

3

g t  t   t

Do đó yêu cầu

1 1

3

m

   

t01+0–0– 1

Bài 9 (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi m  , phương0

trình x2 2x 8 m x  2 luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

Giải: Điều kiện: x  2

Biến đổi phương trình ta có:

x 2 x 6 m x 2

x 2 2 x 62 m x 2

x 2x3 6x2 32 m 0 x 2 V g x  x3 6x2 32 m

ycbt  g x  có đúng một nghiệm thuộc khoảng m 2;  Thật vậy ta có:

  3  4 0, 2

g x  x x    Do đó x g x đồng biến mà   g x liên tục và  

 2 0; lim  

x

 

nên g x  có đúng một nghiệm m 2;  

Vậy m , phương trình 0 x2 2x 8 m x  2 có hai nghiệm phân biệt

Bài 10 (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai

nghiệm thực phân biệt: 42x 2x2 64  x2 6 x m

Giải: Đặt f x 4 2x 2x2 64  x 2 6 x x ; 0; 6

Ta có:

 

   

 



Đặt

 

   

, x





     

     







 

 

(2) 0

f







  



x2+0

x026+0–f(x)

4

Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt  2 6 2 6 4 m3 2 6

Bài 11 (Đề TSĐH khối D, 2007):

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

    









Giải: Đặt

3

x

và

8

 





 

    



 ,u v là nghiệm của phương trình bậc hai f t t2  5t 8 m

Hệ có nghiệm  f t  có 2 nghiệm m t t thỏa mãn 1, 2 t1 2; t2  2 Lập Bảng biến thiên của hàm số f t với   t 2

 

 

f t + 

22

+ 

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm

Bài 12 (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001):

Tìm x để bất phương trình x2 2 sinx ycosy  đúng với y1 0  ¡

Giải: Đặt usinycosy   2, 2 ,

BPT

2 , 2

u

  

Do đồ thị y g u   là một đoạn thẳng với u   2, 2 nên

 

2, 2

  



 

2 2

g



Bài 13 Cho

3

a b c

a b c







  

 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc4

Giải: BĐT a2 b c 2  2bc abc  4 a2 3 a2 a 2bc4

   2 2 2 6 5 0

2

2

1

b c

Như thế đồ thị yf u  là một đoạn thẳng với  

2

1

4

u  a 

 0 2 2 6 5 2 32 1 0; 13 2 1 1 2 2 0

f  a  a  a   f  a  a a 

2

1

4

Vậy a2 b2 c2 abc Đẳng thức xảy ra 4  a b c   1

Bài 14 (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984):

Cho

1

a b c

a b c







  

7 2

27

ab bc ca   abc

Giải: a b c  1 2 a bc a  1 a1 2 a bc a  1 a1 2 a u f u 

Đồ thị yf u  1 2a u a  1 a với 0  2 1 2

a

b c

là một

đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút    

1  2 1 7

f a  a      

 

1 1 2 1 2 3 2 1 7 12 1  12 7

f  a   a a    a a 

Do đồ thịyf u  là một đoạn thẳng với  

2

1

4

u  a 

7 0 27

;

 

1 1 2 7

f  a 

nên f u    27 7

Đẳng thức xảy ra

1 3

a b c

Bài 15 Chứng minh rằng: 2a b c   ab bc ca   4, a b c , , 0, 2

Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có

  2  2  4, , , 0, 2

f a   b c a  b c  bc a b c

Đồ thị yf a là một đoạn thẳng với a 0, 2 nên f a Max f 0 ;f  2

Ta có f 0  4 2 b 2 c4;f  2  4 bc 4 f a  4, a b c, , 0, 2

Bài 16 CMR: 1 a 1 b 1 c 1 da b c d    1, a b c d, , , 0,1

Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có:

f a    b  c  d a  b  c  d   b c d a b c d

Đồ thị yf a , a 0,1 là một đoạn thẳng nên         

0,1

Ta có f 1   b c d   1 1, b c d, , 0,1

 0 1  1  1    1 1  1  1  1 

f   b  c  d   b c d g b    c  d b  c  d  c d

Đồ thị y g b  , b 0,1 là một đoạn thẳng nên         

0,1

Ta có g 1  c d 1 1;g 0  1 c 1 d c d 1 cd1

 f 0 g b   1, b 0,1 Vậy f a  hay ta có (đpcm)  1