Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng..  Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt[r]

Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Câu 1. Cho hàm  y 1 ( m 1) x3 mx2 (3 m 2) x (1)

3

2) Tìm $  các giá &  tham  m ' hàm  (1) %  trên () xác   nó

y  ( m  1) x2 2 mx  3 m  2

(1) y   0, x  m  2

Câu 2. Cho hàm  y  x3 3 x2 mx  4 (1)

2) Tìm $  các giá &  tham  m ' hàm  (1) %  trên % (  ; 0)

 m   3

Câu 3. Cho hàm  y2x33(2m1)x26 (m m1)x1 có   (Cm)

1)

2) Tìm m ' hàm  %  trên % (2;  )

 y '  6 x2 6(2 m  1) x  6 ( m m  1) có   (2 m  1)2 4( m2 m )   1 0

Hàm

x m y

x m

' 0

1

 

      (  ; ), ( m m   1; )

Do (2;   ) m 1   2  m  1

Câu 4. Cho hàm  y  x3  (1 2 ) m x2   (2 m x )   m 2

1)

2) Tìm m ' hàm %  trên  0;  

 Hàm %  trên (0;  )  y   3 x2 2 (1 2 )  m x   (2 m )  0 1   x ( ; 0  )

x x

2 2 3 ( )

4 1

2







x ( ; 0 )

  

x

2

2 2

2(6

(4 1

0

12 )



3() %  thiên  hàm f x ( ) trên (0;  ), 5 + ta    67(2

1)

2) Tìm m ' hàm  (1) %  trên % (1; 2).

y  x  mx  x x  m

+ m  0, y   0, x  m  0

+ m  0, y  0 có 3  m , 0, m

Hàm m     1 0 m 1 1& m    ;1 .

y

x m

4







2) Tìm $  các giá &  tham  m ' hàm  (1) %  trên % (  ;1)

.

m y

x m

2 2

4







Hàm y      0 2 m 2 (1)

(  ;1)      m 1 m 1

.

m

   

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 7. Cho hàm  y  x3 3 x2 mx  m – 2 (m là tham  có   là (C m)

1)

2) Xác  m ' (Cm) có các '  ; và  '7 < = hai phía   1 &? hoành



x3 3 x2 mx  m – 2  0 (1) x

g x x2 x m

1

  





m



   

Câu 8. Cho hàm  y    x3 (2 m  1) x2 ( m2 3 m  2) x  4 (m là tham  có   là (C m) 1)

2) Xác  m ' (Cm) có các '  ; và  '7 < = hai phía  &? tung

 y   3 x2 2(2 m  1) x  ( m2 3 m  2).

m2 m

3(  3   2) 0 1   m 2

3

1)

2) Xác  m ' (Cm) có các '  ;4  '7 < = cùng A phía   1 &? tung

 L7 D = R ; y  x2– 2 mx  2 m –1.

2

2 1 0

2 1 0

 

    



 



m

1 1 2

m m







  



Câu 10. Cho hàm  y  x3 3 x2 mx  2 (m là tham  có   là (C m)

1)

2) Xác  m ' (Cm) có các '  ; và  '7 cách =7 BC% D% y   x 1

 Ta có: y '  3 x2 6 x m  .

Hàm !" có A7) CT  y '  3 x2 6 x m   0 có 2 x x1; 2

    ' 9 3 m     0 m 3 (*)

 1; 1  ; 2; 2

A x y B x y

y   x   y     x    

               





y      x    

Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ

2 1

m

m

    

2

1 2 1

2

2

           

 

I I

x

y y

m

y x

1& các giá  [ tìm @' m là: 0; 3

2

m    

Câu 11. Cho hàm  y  x3 3 mx2 4 m3 (m là tham  có   là (C m)

1)

2) Xác  m ' (Cm) có các '  ; và  '7   *G% nhau qua BC% D% y = x

 Ta có: y   3 x2 6 mx; y x

0 0

2

 

     

3 ), B(2m; 0)   AB  (2 ; 4 m  m3)

I d

 

 



3 3

2

  





2 2

 

Câu 12. Cho hàm  y    x3 3 mx2 3 m  1

1)

2) I1 giá & nào  m thì   hàm  có '  ; và '  '7   *G% 1 nhau qua BC% D% d:

x  8 y  74  0

 y   3 x2 6 mx; y      0 x 0 x 2 m.

Hàm !" có A7) CT  PT y  0 có 2 m  0.

Khi A (0; 3  m  1), B m (2 ; 4 m3 3 m  1)   AB m (2 ; 4 m3)

Trung I m m ( ; 2 3 3 m  1)

có ? VTCP

x  8 y  74  0 u   (8; 1) 

AB d





 



3

8(2 3 1) 74 0 0

AB u







Câu 13. Cho hàm  y  x3 3 x2 mx (1)

1)

2) I1 giá & nào  m thì   hàm  (1) có các '  ; và '  '7   *G% 1 nhau qua BC%

D% d: x – 2 – 5 y  0

 Ta có y  x3 3 x2 mx  y '  3 x2 6 x  m

Hàm y  0 có hai      9 3 m    0 m 3

Ta có: y 1 x 1 y 2 m 2 x 1 m

        

, do

y  0

y 2 m 2 x 1 m

    

y 2 m 2 x 1 m

    

nên k1 2 m 2 d:

3

  x – 2 – 5 y  0 y 1 x 5

2 2

2



 k k1 2 1 1 2 m 2 1 m 0

2 3

         

1& m = 0

Câu 14. Cho hàm  y  x3 3( m  1) x2 9 x   m 2 (1) có   là (Cm)

1)

2) I1 giá & nào  m thì   hàm  có '  ; và '  '7   *G% 1 nhau qua BC% D% d:

y 1 x

2



 y '  3 x2 6( m  1) x  9

Hàm !" có A7) CT   '  9( m  1)2 3.9  0      m ( ; 1 3)    ( 1 3;  )

y 1 x 1 y 2( m2 2 m 2) x 4 m 1

, I là trung

A x y ( ;1 1), B x y ( 2; 2)

;

y1 2( m2 2 m 2) x1 4 m 1

       y2   2( m2 2 m  2) x2 4 m  1

và: x x m

x x

1 2

2( 1) 3



y   2( m2 2 m  2) x  4 m  1

2

I d

 

 

Câu 15. Cho hàm  y  x3  3 ( m  1 ) x2  9 x  m, 1 là tham   m

2) Xác  ' hàm  M cho ;  & ; m x1, x2 sao cho x1 x2  2

 Ta có y '  3 x2  6 ( m  1 ) x  9

+ Hàm x1, x2 PT y '  0 có hai x1, x2

 x2  2 ( m  1 ) x  3  0 x1, x2



































3 1

3 1 0

3 ) 1 (

m

m

+ Theo x1 x2  2 ( m  1 ); x1x2  3 Khi

2

x

(2)

      

+ 6 (1) và (2) suy ra giá  @' m [ tìm là  3  m   1  3 và  1  3  m  1

Câu 16. Cho hàm  y  x3  (1 2 ) m x2  (2 m x )   m 2, 1 là tham   m

2) Xác  ' hàm  M cho ;  & ; m x1, x2 sao cho x1 x2 1

3

 

 Ta có: y '  3 x2 2 (1 2  m x )   ( 2 m )

Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ

Hàm !" có A7) CT  y '  0 có 2 x1, x2 % !a x1 x2)

(*) m

m

1

  



Hàm x x1, 2 Khi

m

x x

m

x x

1 2

(1 2 ) 3 2

2

3

    





x1 x2 1 x1 x2 2 x1 x2 2 x x1 2

3

1 4

9

 

4(1 2 ) m 2 4(2 m ) 1 16 m2 12 m 5 0 m 3 29 m 3 29

8



Câu 17. Cho hàm  y 1 x3 ( m 1) x2 3( m 2) x 1, 1 là tham  

2) Xác  ' hàm  M cho ;  & ; m x1, x2 sao cho x1 2 x2  1

 Ta có: y  x2 2( m  1) x  3( m  2)

     0 m2 5 m   7 0 (luôn

1 2

2( 1) 3( 2)

2

3 2

1 2 3( 2)

  





.

8 16 9 0

4

 

Câu 18. Cho hàm  y  4 x3 mx2– 3 x

1)

2) Tìm m ' hàm  có hai '  & x1, x2 N x1  4 x2

 y  12 x2 2 mx – 3 Ta có:    m2 36  0,  m  hàm !" luôn có 2 C  x1, x2.

1 2

1 2

4

6 1 4

m

x x

x x



  



   





  



9 2

m

  

Câu

a) y  x3 3 x2 mx  1; x1 2 x2  3 7e m   105.

Câu 19. Cho hàm  y  ( m  2) x3 3 x2 mx  5, m là tham 

1)

2) Tìm các giá &  m ' các '  ;4  '7    hàm  M cho có hoành A là các  JBO%

 y '  3( m  2) x2 6 x  m = 0

a m

m m

m

P

S

m

2

( 2) 0

' 9 3 ( 2) 0

0

3 0 2

   







Câu 20. Cho hàm  y  x3– 3 x2 2 (1)

1)

2) Tìm ' M 7A BC% D% d: y  3 x  2sao Q% % cách 5 M 1 hai '  & N $

Xét g x y ( , )  3 x   y 2 ta có:

g x ( , y )  3 x  y     2 4 0; ( g x , y )  3 x  y    2 6 0

.

y  3 x  2

Do

y   2 x  2



4

5

x

y x

y

 



 

    



4 2

;

5 5

M  

 

 

Câu 21. Cho hàm  y  x3 (1 – 2 ) m x2 (2 – m x )   m 2 (m là tham  (1).

1)

2) Tìm các giá &  m '   hàm  (1) có '  ;4 '  '74 % C hoành A  '  '7

N O 1

 y  3 x2 2(1 2 )  m x    2 m g x ( )

YCBT y  0 có hai x1, x2 x1 x2 1.

2

(1) 5 7 0

2 1

1



     

    







m

4   5

Câu 22. Cho hàm  y  x3 3 mx2 3( m2 1) x m  3 m (1)

1)

2) Tìm m ' hàm  (1) có  & % C % cách 5 '  ;    hàm   %  S A O <%

6U % cách 5 '  '7    hàm   %  S A O

2

Hàm !" (1) có C  thì PT y  0 có 2

có 2

x mx m

Khi A m (  1; 2 2 )  m và B m (    1; 2 2 ) m

3 2 2

m

m

   

  



Câu 23. Cho hàm  y    x3 3 mx2 3(1  m2) x  m3 m2 (1)

2) I )BO% trình BC% D% qua hai '  &    hàm  (1)

 y   3 x2 6 mx  3(1  m2)

PT y  0 có    1 0,  m ( ; x y1 1), ( x y2; 2).

Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ

y 1 x y 2 x m2 m

3 3

      

Khi y1 2 x1 m2 m; y2  2 x2 m2 m

Câu 24. Cho hàm  y  x3 3 x2 mx  2 có   là (Cm)

1)

2) Tìm m ' (C m) có các '  ;4  '7 và BC% D%  qua các '  & song song 1 BC% D% d:

y   4 x  3

 Ta có: y '  3 x2 6 x m  .

Hàm !" có A7) CT  y '  3 x2 6 x m   0 có 2 x x1; 2

    ' 9 3 m     0 m 3 (*)

 1; 1  ; 2; 2

A x y B x y

y   x   y     x    

               





y      x    

y   4 x  3

2

3

3

3

m

m m

      

  

    

 



Câu 25. Cho hàm  y  x3 3 x2 mx  2 có   là (Cm)

1)

2) Tìm m ' (Cm) có các '  ;4  '7 và BC% D%  qua các '  & ; 1 BC% D% d:

A góc

x  4 – 5 y  0 0

45

 Ta có: y '  3 x2 6 x m  .

Hàm !" có A7) CT  y '  3 x2 6 x m   0 có 2 x x1; 2

    ' 9 3 m     0 m 3 (*)

 1; 1  ; 2; 2

A x y B x y

y   x   y     x    

               





y      x    

2 3

m

k     

  x  4 – 5 y  0

1 4



Ta có:

1

1

4 tan 45

k





1 2

m  

Câu 26. Cho hàm  y  x3 3 x2 m (1)

2) Xác  m '    hàm  (1) có hai '  & A, B sao cho 

AOB  1200

 Ta có: y  3 x2 6 x; y x y m

x y m

0

0

     

      

OA   (0; ), m OB    ( 2; m  4) 

AOB  1200 cos AOB 1

2

 

m

m m

2

4 ( 4) 2 ( 4)

4 ( 4)

  





 

m

m m

12 2 3

12 2 3

3 3







Câu 27. Cho hàm  y  x3– 3 mx2 3( m2–1) – x m3(Cm)

2) G% minh &<% (Cm) luôn có '  ; và '  '7 6U 6BW ;X trên Y BC% D%  

 y  3 x2 6 mx  3( m2 1); y x m

x m

1 0

1

  

     

2 3

  



  



78 C 8I N m (   1; 2 – m ) 1

2 3

 



   



2) Xác  m '    hàm  (1) có  '7 mà không có  ;

 y  2 x3 2 mx  2 ( x x2 m ) y x

x2 m

0

0  

   



có 1

Câu 29. Cho hàm  y  f x ( )  x4 2( m  2) x2 m2 5 m  5 ( Cm)

1)

2) Tìm các giá &  m '   ( Cm)  hàm  có các '  ;4  '7 ; thành 1 tam giác vuông cân

 Ta có   3

2

0

4 4( 2) 0

2







x

Hàm !" có A7) CT  PT f  ( ) x  0 có 3 m  2 (*)

Khi A  0; m2 5 m  5 ,  B  2  m ;1  m   , C  2  m ;1  m 

  AB   2  m ;  m2 4 m  4 ,   AC    2  m ;  m2 4 m  4 

Do

Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ

 AB AC  0   m  2 3   1  m  1

Câu 30. Cho hàm  y  x4  2 ( m  2 ) x2  m2  5 m  5   Cm

1)

2) I1 [% giá & nào  m thì   (Cm) cĩ '  ; và '  '74 % C các '  ; và '

 '7 6() thành A tam giác =7

 Ta cĩ   3

2

0

4 4( 2) 0

2







x

Hàm !" cĩ A7) CT  PT f  ( ) x  0 cĩ 3 m  2 (*)

Khi A  0; m2 5 m  5 ,  B  2  m ;1  m   , C  2  m ;1  m 

  AB   2  m ;  m2 4 m  4 ,   AC    2  m ;  m2 4 m  4 

60

 cos A 1

2



AB AC

2



 

Câu y  x4 4( m  1) x2 2 m  1

Câu 31. Cho hàm  y  x4 2 mx2 m2 m cĩ   (Cm)

1)

2) I1 [% giá & nào  m thì   (Cm) cĩ ba '  &4 % C ba '  & + 6() thành A tam giác

cĩ A gĩc <% 1200

 Ta cĩ y   4 x3 4 mx; y x x m x (m < 0)

0 4 ( ) 0  

      

  



Khi A (0; m2 m ), B   m m ;   , C   m m ; 

; ABC cân \ A nên gĩc chính là

AB  (   m ; m2)



AC     ( m ; m2)



120 

A



AB AC

4 4

cos

   



 

 

1&

m loại

m m

m

4

4

3

0 ( ) 1

1

2

3

 

m

3

1 3

 

Câu 32. Cho hàm  y  x4 2 mx2  m 1 cĩ   (Cm)

1)

2) I1 [% giá & nào  m thì   (Cm) cĩ ba '  &4 % C ba '  & + 6() thành A tam giác

cĩ bán kính BC% trịn %; ) <% 1

2

0



Khi

m 0

 

A (0; m  1), B  m ;  m2  m 1 , C m ;  m2  m 1

;

S 1 y y x x m2 m

2

m

4

3 2

1

2

 

 





Câu

a) y  x4 2 mx2 1 7e m 1, m 1 5

2

 

Câu 33. Cho hàm  y  x4 2 mx2 2 m  m4 có   (Cm)

1)

2) I1 [% giá & nào  m thì   (Cm) có ba '  &4 % C ba '  & + 6() thành A tam giác

có J^ tích <% 4

 Ta có 3

2

0

x

g x x m







Hàm !" có 3 C  y '  0 có 3      g m 0 m 0 (*)

y  0 x1   m x ; 2  0; x3 m

1; 2; 3

(0; 2  ); ;   2 ;  ;   2

Ta có: AB2  AC2  m4 m BC ; 2  4 m   ABC cân

M (0; m4 m2 2 ) m AM m2 m2

Vì  ABC cân

ABC

5

1& m 516.

Câu

a) y  x4 2 m x2 2 1, S = 32 7e: m   2

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO Câu 34. Cho hàm  y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham  (1)

1)

2) Tìm m ' BC% D% d: y = 1 `   hàm  (1) ; ba ' phân ^ A(0; 1), B, C sao cho các ) 7X 

  hàm  (1) ; B và C vuông góc 1 nhau.

x3 3 x2 mx    1 1 x x ( 2 3 x  m )  0

, 0 4

Khi xB, xC là các x2 3 x   m 0  xB xC   3; x xB. C  m

, !" góc @'  I& \ B là k1 3 xB2  6 xB m và \ C là k2  3 xC2  6 xC m

 I& @' (C) \ B và C vuông góc <G nhau  k k1. 2   1  4 m2 9 m   1 0

Câu 35. Cho hàm  y  x3– 3 x  1 có   (C) và BC% D% (d): y  mx   m 3

1)

2) Tìm m ' (d) ` (C) ; M(–1; 3), N, P sao cho ) 7X  (C) ; N và P vuông góc 1 nhau.

x3– ( m  3) – x m – 2  0

 ( x  1)( x2– – x m – 2)  0  x y

g x x2 x m

1 ( 3)

   

     



Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ

4

  

Khi xN, xP là các x2    x m 2 0  xN  xP  1; xN xP    m 2

, !" góc @'  I& \ N là k1 3 xN2  3 và \ P là k2  3 xP2  3

 I& @' (C) \ N và P vuông góc <G nhau  k k1. 2   1  9 m2 18 m   1 0

Câu 36. Cho hàm  y  x3 3 x2 4 (C)

1)

2) cS (d) là BC% D%  qua ' A(2; 0) có ^  góc k Tìm k ' (d) ` (C) ; ba ' phân ^ A, M, N sao cho hai ) 7X  (C) ; M và N vuông góc 1 nhau

y  k x (  2)

+ PT hoành x3 3 x2  4 k x (  2)

 ( x  2)( x2   x 2 k )  0  x xA

g x x2 x k

2

  



    



0 (2) 0 4 k

f

 



   



2

M N

M N

x x

x x k

 



   



+ Các  I& \ M và N vuông góc <G nhau y x  ( M) y x  ( N)   1

(3 xM  6 xM)(3 xN  6 xN)   1 9 k2 18 k   1 0 3 2 2

3

k  

 

Câu 37. Cho hàm  y  x3 3 x (C)

1)

2) G% minh &<% khi m thay Q4 BC% D% (d): y  m x (   1) 2 luôn `   (C) ; A ' M  

và xác  các giá &  m ' (d) ` (C) ; 3 ' phân ^ M, N, P sao cho ) 7X  (C) ; N và P vuông góc 1 nhau

(1) 

(  1)(    2 )  0 x

x2 x m

1 0

  

    



(1) luôn có 1 x   1 (y  2)

(d)

9 4 0

m m

  





 



(*)

 I& \ N, P vuông góc  y x '( N) '( y xP)   1  m 3 2 2

3

 



Câu 38. Cho hàm  y  x3 3 mx2 3( m2 1) x  ( m2 1) (m là tham  (1)

2) Tìm các giá &  m '   hàm  (1) ` &? hoành ; 3 ' phân ^ có hoành A JBO%

(*)

CĐ CT

có cực trị

y y

a y

(1) 2

(0) 0











Trong y  x3 3 mx2 3( m2 1) x  ( m2 1)  y   3 x2 6 mx  3( m2 1)

+

y m2 m2 1 0 0, m

       

CT

y

1 0

1

   

     



Suy ra: (*)

m m

m

m

2

  

  







y  x  mx    x m ( Cm)

1)

2) Tìm m ' ( Cm)` &? hồnh ; 3 ' phân ^ cĩ Q% bình )BO% các hồnh A 61 O 15

3      3 x12 x22 x32  15

Ta cĩ: (*)  ( x  1)( x2  (1 3 ) m x   2 3 ) m  0  x

1 ( ) (1 3 ) 2 3 0

 



Do g x ( )  0 cĩ 2 x1, x2 phân x12 x22  14.

 m  1

Câu y  x3 3 mx2 3 x  3 m  2

Câu 40. Cho hàm  y  x3  3 x2  9 x  m, trong + là tham   m

2) Tìm $  các giá &  tham  '   hàm  M cho ` &? hồnh ; 3 ' phân ^ cĩ hồnh A 6() m

thành $)  A%

cĩ 3

cĩ 3

3 9

x  x  x   m

.

     

Câu 41. Cho hàm  y  x3 3 mx2 9 x  7 cĩ   (Cm), trong + là tham   m

2) Tìm m ' (Cm) ` &? hồnh ; 3 ' phân ^ cĩ hồnh A 6() thành $)  A%

(1)

x3 3 mx2 9 x   7 0

ta cĩ:

x x x1; 2; 3 x1 x2 x3 3 m

78 x x x1; 2; 3 Q thành K !" ? thì x2  m là

2) Tìm m '' hàm  (1) có  & % C % cách 5 ''  ;    hàm   %  S A O <%

6U % cách 5 ''  ''7    hàm   %  S...

Câu 12. Cho hàm  y    x3 3 mx2 m  1

1)

2) I1 giá &  m   hàm  có '' ...

Câu 13. Cho hàm  y  x3 x2 mx (1)

1)

2) I1 giá &  m   hàm  (1) có ''