Kiến thức chương 3 hình học toán 10 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

vectơ chỉ ph-ơng của đ-ờng thẳng Định nghĩa 1: Một vectơ a khác 0 gọi là vectơ chỉ ph-ơng viết tắt vtcp của đ-ờng thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng với d.. vectơ pháp tuyến củ

ch-ơng 3  ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng

A Kiến thức cần nhớ

I Đ-ờng thẳng

1. vectơ chỉ ph-ơng của đ-ờng thẳng

Định nghĩa 1: Một vectơ a khác 0 gọi là vectơ chỉ ph-ơng (viết tắt vtcp) của đ-ờng

thẳng (d) nếu giá của a song song hoặc trùng với (d)

Nhận xét:

 Nếu a là vtcp của đ-ờng thẳng (d) thì mọi vectơ ka với k  0 đều là vtpt của (d)

 Nếu a(a1; a2) là vtcp của đ-ờng thẳng (d) thì với a1  0 ta gọi k = 2

1

a

a là hệ số góc của đ-ờng thẳng (d)

 Một đ-ờng thẳng đ-ợc hoàn toàn xác định khi biết một vtcp của nó và một

điểm mà nó đi qua

2. ph-ơng trình tham số của đ-ờng thẳng

a > 0 đ-ợc gọi là ph-ơng trình tham số của

x xa



2

y ya



Từ đó, đ-ờng thẳng (d) đi qua hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2), ta có:

4. vectơ pháp tuyến của đ-ờng thẳng

Định nghĩa 2: Một vectơ n khác 0 gọi là vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt) của đ-ờng

thẳng (d) nếu giá của n vuông góc với (d)

Nhận xét:

 Nếu n là vtpt của đ-ờng thẳng (d) thì mọi vectơ kn với k  0 đều là vtpt của (d)

 Một đ-ờng thẳng đ-ợc hoàn toàn xác định khi biết một vtpt của nó và một

điểm mà nó đi qua

5. ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng

là đ-ờng thẳng có vtpt n(0; B) do đó nó vuông góc với

Oy, cắt Oy tại điểm có tung độ C

là đ-ờng thẳng có vtpt n(A; 0) do đó nó vuông góc với

Ox, cắt Ox tại điểm có hoành độ C

là đ-ờng thẳng có vtpt n(A; B) và đi qua gốc toạ độ O

4 Nếu A2

+ B2

= 1, thì (4) đ-ợc gọi là ph-ơng trình pháp dạng của đ-ờng thẳng

L-u ý: Để đ-a ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng

6. Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng

Cho hai đ-ờng thẳng (d1) và (d2) có ph-ơng trình

+ 2

> 0

Ph-ơng trình (3) đ-ợc gọi là ph-ơng trình của chùm đ-ờng thẳng, điểm I gọi là tâm của chùm

Ta th-ờng dùng ph-ơng trình của chùm đ-ờng thẳng để giải các bài toán dạng: "

Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua giao điểm của hai đ-ờng thẳng đã cho và thoả mãn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó

7. góc giữa hai đ-ờng thẳng

8. khoảng cách từ một điểm đến một đ-ờng thẳng

Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) và đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình

 Chú ý: Nếu (d1) và (d2) không vuông góc với nhau thì (d1) tạo với (d2) hai góc

nhọn và hai góc tù, khi đó ta có thể xác đinh ph-ơng trình đ-ờng phân giác của góc nhọn hoặc góc tù nhờ kết quả trong bảng sau:

Dấu của

n1.n2

Ph-ơng trình đ-ờng phân giác của góc nhọn tạo bởi (d1), (d2) ứng với

Ph-ơng trình đ-ờng phân giác của góc tù tạo bởi (d1), (d2) ứng với

 Chú ý: Ta có:

 Đ-ờng tròn tâm O bán kính R có ph-ơng trình x2

+ y2 = R2

 Đ-ờng tròn đơn vị có ph-ơng trình x2

+ y2 = 1

2. ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng tròn

Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đ-ờng cong (C) có ph-ơng trình

(C): x2 + y22ax2by + c = 0, với a2

+ b2c  0 (2)

là ph-ơng trình của đ-ờng tròn tâm I(a, b) và bán kính R = a2 b2 c

3. Ph-ơng trình tiếp tuyến của đ-ờng tròn

Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, ph-ơng trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x0; y0) của

1 Ph-ơng trình (5) đ-ợc gọi là ph-ơng trình phân đôi toạ độ theo quy tắc

(xa)2 = (xa).(xa) thay bằng (xa).(x0a)

(yb)2

= (yb)(yb) thay bằng (yb)(y0b)

2 Nếu (C) có ph-ơng trình tổng quát:

(C): x2 + y22ax2by + c = 0, với a2

+ b2c  0 thì tiếp tuyến (d) có ph-ơng trình:

(d): x.x0 + y.y0a(x + x0)b(y + y0) + c = 0

dựa theo quy tắc:

x2 = x.x thay bằng x.x0

y2 = y.y thay bằng y.y0 2ax = a(x + x) thay bằng a(x + x0)

2by = b(y + y) thay bằng a(y + y0)

3 Trong tr-ờng hợp tổng quát, đ-ờng thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đ-ờng tròn (C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:

d(I, (d)) = R

4. ph-ơng tích của một điểm đối với một đ-ờng tròn

Cho đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình:

(C): x2 + y22ax2by + c = 0, với a2

+ b2c  0

Ph-ơng tích của điểm M(x0, y0) đối với đ-ờng tròn (C) đ-ợc xác định bởi:

pM/(C) = x20 + y202ax02by0 + c

Từ giá trị về dấu của pM/(O) ta xác định đ-ợc vị trí của điểm M đối với (C)

 Nếu pM/(C) > 0  M ở ngoài đ-ờng tròn (C)

 Nếu pM/(C) = 0  M ở trên đ-ờng tròn (C)

 Nếu pM/(C) < 0  M ở trong đ-ờng tròn (C)

5. Trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn

Cho hai đ-ờng tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có ph-ơng trình:

(C1): x2 + y22a1x2b1y + c1 = 0, với a12 b12 c1 0

(C2): x2

+ y22a2x2b2y + c2 = 0, với a22 b22 c2 0 Khi đó tập hợp những điểm có cùng ph-ơng tích với hai đ-ờng tròn (C1) và (C2) là

đ-ờng thẳng (d), gọi là trục đẳng ph-ơng của hai đ-ờng tròn (C1), (C2) có ph-ơng trình:

(d): 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)yc1 + c2 = 0

III Elíp

1. ph-ơng trình chính tắc của elíp

Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm

F1(c; 0), F2(c; 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với

điểm tuỳ ý M(x; y)(E) là 2a (a > c) có ph-ơng trình:

y

cos tb

Ta biết rằng, nếu đặt z = tan t

2 thì:

sint = 2z2

1 z và cost =

2 2

do đó (*) có thể đ-ợc viết d-ới dạng:

(E):

2 2 2

2azx

1 zb(1 z )y

ta xét các tính chất hình học của (E) bằng cách xét

các tính chất đại số t-ơng ứng của ph-ơng trình trên

a Ph-ơng trình của (E) có bậc chẵn đối với x và y nên:

 Nếu điểm M(x; y)(E) thì các điểm M1(x; y), M2(x; y) và M3(x; y) cũng thuộc (E)

 (E) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng

b (E) cắt các trục toạ độ tại bốn điểm:

 (E)  Ox = {A1, A2} có toạ độ là A1(a; 0), A2(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi

là trục lớn của (E) có độ dài bằng 2a

 (E)  Oy = {B1, B2} có toạ độ là B1(0; b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là

trục nhỏ của (E) có độ dài bằng 2b

 Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh của Elíp (E)

L-u ý: Hai tiêu điểm của Elíp (E) luôn ở trên trục lớn

c Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đ-ờng thẳng x

=  a và các đ-ờng thẳng y = b đ-ợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E) Vậy Elíp (E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có các kích th-ớc là 2a, 2b

4. Tâm sai của elíp

Tâm sai của Elíp là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của Elíp

 Đối với Elíp (E): x22 y22 1

IV Hypebol

1. ph-ơng trình chính tắc của Hypebol

Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1(c; 0), F2(c; 0)

và có hiệu hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y)  (H) là 2a (a > c) có ph-ơng trình:

các tính chất đại số t-ơng ứng của ph-ơng trình trên

c Ph-ơng trình của (H) có bậc chẵn đối với x và y nên:

 Nếu điểm M(x; y)  (H) thì các điểm M1(x; y), M2(x; y) và M3(x; y) cũng thuộc (H)

 (H) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng

d (H) cắt các trục toạ độ tại hai điểm:

 (H)  Ox = {A1, A2} có toạ độ là A1(a; 0), A2(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi

là trụ c thực của (H) có độ dài bằng 2a

 (H) không cắt Oy, đặt B1(0; b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là trục ảo của

x O

L-u ý: Hai tiêu điểm của Hypebol (H) luôn ở trên trục thực

e Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đ-ờng thẳng x =

a và các đ-ờng thẳng y =  b đ-ợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H)

f Từ M(x; y)  (H) suy ra:

2 2

Nh- vậy Hyperbol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau

- Tập con của (H) chứa những điểm M(x; y) thoả mãn x  a gọi là nhánh bên phải của Hyperbol

- Tập con của (H) chứa những điểm M(x; y) thoả mãn x a gọi là nhánh bên trái của Hyperbol

- Hai nhánh này đối xứng nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm trục đối xứng

- Dựng các đ-ờng thẳng x = a và y = b cắt nhau tại P, Q, R, S

- Hình chữ nhật PQRS có kích th-ớc 2a, 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của

Hyperbol

- Kẻ hai đ-ờng tiệm cận là hai đ-ơng chéo của hình chữ nhật cơ sở

- Dựa trên hai đỉnh A1, A2 và hai đ-ờng tiệm cận để vẽ Hyperbol

 Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp:

- Có chung các đ-ợng tiệm cận và hình chữ nhật cơ sở

- Có các tiêu điểm và đỉnh khác nhau

Trục thực của Hyperbol này là trục ảo của Hyperbol kia và ng-ợc lại

4. Tâm sai của Hypebol

Tâm sai của Hypebol là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của

=  2py

VI Ba đ-ờng côníc

Định nghĩa: Đ-ờng chuẩn của Elíp (Hyperbol) ứng với tiêu điểm Fi (i = 1,2) là

đ-ờng thẳng (i) (i = 1, 2) vuông góc với trục đối xứng chứa các tiêu điểm nằm về cùng một phía với Fi đối với trục đối xứng còn lại và cách tâm của Elíp (Hyperbol) một đoạn a

e với e là tâm sai và a là độ dài nửa trục lớn (trục thực)

a Với Elíp (E) có ph-ơng trình (E): x2 y2 1

Đ-ờng chuẩn của cả ba đ-ờng Conic đều có tình chất chung sau đây:

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đ-ờng Conic là khoảng cách từ

điểm đó tới tiêu điểm và đến đ-ờng chuẩn t-ơng ứng bằng tâm sai e của đ-ờng Conic đó

Định nghĩa 2: Đ-ờng Côníc (C) là tập hợp điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến

một điểm cố định và đến một đ-ờng thẳng cố định không đi qua điểm

y

x O

 Chú ý: Đi kèm với họ đ-ờng thẳng (dm) th-ờng có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ đ-ờng thẳng (dm) luôn đi qua một điểm cố định

Câu hỏi 2: Tìm các điểm mà họ (dm) không đi qua

Khi đó:

a Với câu hỏi 1, ta thực hiện theo các b-ớc:

B-ớc 1: Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (dm), khi đó:

Ax0 + By0 + C = 0 m

B-ớc 2: Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0  (x0, y0)

B-ớc 3: Kết luận

b Với câu hỏi 2, ta thực hiện theo các b-ớc:

B-ớc 1: Giả sử M(x, y) là điểm mà họ (dm) không đi qua, khi đó:

0a

 Ph-ơng trình am2

+ bm + c = 0 (a  0) vô nghiệm m m < 0

 Ph-ơng trình acosm + bsinm = c vô nghiệm m  a2

+ b2 < c2

Thí dụ 2 Cho ph-ơng trình mx + (m2)ym = 0 (1)

a Chứng minh rằng với mọi m ph-ơng trình (1) là ph-ơng trình của

= 2m24m + 4 = 2(m1)2

+ 2 > 0, m

Vậy với mọi m ph-ơng trình đã cho là ph-ơng trình của một đ-ờng thẳng

b Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua

ThÝ dô 3 T×m tËp hîp c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng kh«ng thuéc bÊt cø ®-êng th¼ng

nµo cña hä ®-êng th¼ng (dm): (m + 1)xy + m2m = 0

VËy, tËp hîp c¸c ®iÓm M(x; y) tho¶ m·n x2 6x + 4y + 1 < 0 kh«ng thuéc bÊt cø

®-êng th¼ng nµo cña hä (dm)

)y,x(MQua

2 2 2

1 1

1 2

1xx

xx



 =

1 2

1yy

yy





x = 1

 §-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm M0(x0, y0) lu«n cã d¹ng:

(d): A(xx0) + B(yy0) = 0, víi A2

+ B2 > 0

2 §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vµ biÕt vtcp:

)y,x(MQua

2 1

0 0 0

 (d):

1

0a

x

x = 2

0a

y

y

taxx

2 0

1 0, t  R

L-u ý: §-êng th¼ng (d) cã vtcp a (a1, a2) lu«n cã d¹ng:

)y,x(M

)y,x(M

 (d): y = k(xx0) + y0

L-u ý: §-êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc k lu«n cã d¹ng:

ThÝ dô 1 LËp ph-¬ng tr×nh tham sè cña ®-êng th¼ng (d) trong mçi tr-êng hîp sau:

a (d) ®i qua ®iÓm M(2, 1) vµ cã vtcp a(3, 4)

b (d) ®i qua ®iÓm M(2, 3) vµ cã vtpt n(5, 1)

)1,2(MQua

t32x

)3,2(MQua

)3,2(MQua

t2x

, t  R

ThÝ dô 2 LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (d) trong mçi tr-êng hîp sau:

a (d) ®i qua ®iÓm M(5, 8) vµ cã hÖ sè gãc k= 3

b (d) ®i qua hai ®iÓm A(2, 1) vµ B(4, 5)

c (d) ®i qua ®iÓm M(4, 0) vµ ®iÓm N(0, 1)

)8,5(MQua

)1,2(AQua

 (d):

24

2x





 = 15

1y

)0,4(MQua

 (MN):

4

x + 1y

 = 1  (MN): x  4y  4 = 0

 Chó ý: Víi c©u b) chóng ta còng cã thÓ t×m ®-îc ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña

®-êng th¼ng (d) b»ng viÖc sö dông ph-¬ng tr×nh tham sè hoÆc tõ vtcp

AB(6, 4) suy ra vtpt n(2, 3) cña ®-êng th¼ng (d)

ThÝ dô 3 Cho ABC, biÕt A(1, 4), B(3, 1), C(6, 2)

a LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c ®-êng th¼ng AB, BC, CA

b LËp ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng cao AH vµ trung tuyÕn AM

)4,1(AQua

 (AB):

13

1x



 =

41

4y

AQua

)4,1(AQua

AQua

 (AM): Qua A(1, 4)

1x



 = 421

4y

trung điểm I của MM thuộc( )

Thí dụ 6 Thiết lập ph-ơng trình các đ-ờng phân giác của các góc trong của

ABC có ba cạnh đ-ợc tạo bởi các ph-ơng trình :

3x4y = 0, 4x3y = 0, 5x + 12y63 = 0

 Giải

Giả sử ba ph-ơng trình trên của các cạnh AB, BC, AC

a Ph-ơng trình đ-ờng phân giác trong của góc A: Tr-ớc tiên:

 Tọa độ của B là nghiệm của hệ ph-ơng trình:

M và B cùng phía với (AC)

M và C cùng phía với (AB)

§ã chÝnh lµ ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (dA)

T-¬ng tù: Víi ph-¬ng tr×nh d-êng ph©n gi¸c trong cña gãc B,C

ThÝ dô 7 Cho ®iÓm M(2; 1) §-êng th¼ng (d) lu«n ®i qua M c¾t Ox, Oy theo thø tù

t¹i A(a; 0), B(0; b) víi a, b > 0 LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) sao cho:

a DiÖn tÝch OAB nhá nhÊt b OA + OB nhá nhÊt

Dạng toán 3: Xét vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng

A

= 2

1B

2

1C

C  (d1) // (d2)

b Nếu

2

1A

A

= 2

1B

B = 2

1C

C  (d1)  (d2)

c Nếu

2

1A

2

1B

B  (d1) cắt (d2)

Các tr-ờng hợp khác thì bằng việc xét hệ ph-ơng trình tạo bởi hai đ-ờng thẳng (d1) và (d2), khi đó số nghiệm của hệ ph-ơng trình cho phép kết luận về vị trí t-ơng

đối của hai đ-ờng thẳng

Thí dụ 1 Xét vị trí t-ơng đối của các cặp đ-ờng thẳng (d1) và (d2) sau đây:

t5x

t56x

, t  R

 Giải

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Xét hệ ph-ơng trình tạo bởi ph-ơng trình của (d1) và (d2), ta có :

x

01y10

1)}

Cách 2: Nhận xét rằng

1

4 110

t2x

t31x

,t1, t2  R

a Xác định giao điểm của (d1) và (d2)

b Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)

2 1

t63t

3

t31t

1t2

1 Vậy (d1) cắt (d2) tại A(2, 3)

|

|a

|

|a.a

|2 1

2 1

21.)3()2(

|2.31.2

8

 Chú ý: Việc xét vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng có ph-ơng trình tổng

quát sẽ gợi ý cho chúng ta giải bài toán:

" Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

1 1

1

CyBxA

CyBxA

Xác định các giá trị của D, Dx, Dy

x = D

Dx

và y =

D

Dy

b Nếu D = Dx = Dy = 0 

2 1

2 1

2

1

C

CB

BA

0D

0D

y

2 1

2 1

2

1

C

CB

BA

Vậy minF =

a4

, đạt đ-ợc khi t = 

1k



 và y =

32a

 và y =

32a

H-ớng 1: Tận dụng ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) cho tr-ớc

Cách 1: Nếu đ-ờng thẳng (d) cho d-ới dạng tham số :

taxx

2 0

1 0, t R

B-ớc 1: Lấy điểm M  (d), suy ra M(x0 + a1t, y0 + a2t)

B-ớc 2: Dựa vào điều kiện K xác định t

Cách 2: Nếu đ-ờng thẳng (d) cho d-ới dạng tổng quát:

(d): Ax + By + C = 0, với A2

+ B2 > 0

B-ớc 1: Lấy điểm M(xM, yM)  (d), suy ra

t22x

 Với t1 = 1, suy ra điểm M1(4, 4)

 Với t2 = 

5

17, suy ra điểm M2(

5

24, 52)

Vậy, tồn tại hai điểm M1(4, 4) và M2(

5

24, 5

2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 2 Cho đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình:

(d): x2y + 15 = 0

Tìm trên đ-ờng thẳng điểm M(xM, yM) sao cho 2

M 2

2

M y

x  = (2yM15)2

+ y2M = 5y2M60yM + 225 = 5(yM6)2

15t2x

, t  R

Điểm M  (d), suy ra M(2t15, t)

Khi đó:

2 M 2

x  = (2t15)2

+ t2 = 5t260t + 225 = 5(t6)2

 (41)(y2M x2M)

M 2

Khi đó:

MA + MB = 5(M1A1 + M1B1)

Vì M1 chạy trên trục hoành và A1, B1 nằm về hai phía của Ox nên

(MA + MB)min ( M1A1 + M1B1)min M1 = (A1B1)  Ox

Khi đó:

|MAMB| = 5|M2A2M2B2|

Vì M2 chạy trên trục hoành và A2, B2 nằm về một phía của Ox nên

|MAMB|max |M2A2M2B2|max M2 = (A2B2)  Ox

B-ớc 2: Để (1) là ph-ơng trình đ-ờng tròn điều kiện là:

a2 + b2c  0