ĐẠI SỐ TỔ HỢPI - LÝ THUYẾT 1 Qui tắc cộng và qui tắc nhân : a Qui tắc cộng • Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ c
Trang 1ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I - LÝ THUYẾT
1) Qui tắc cộng và qui tắc nhân
: a) Qui tắc cộng
• Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào thì thì có m+n cách chọn một trong các đối tượng đã cho
• Dưới dạng tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2 mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách chon đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng xj nào (i≠ j; i, j = 1, 2, 3 n) thì có m1 + m2 + + mn cách chọn một trong những đối tượng đã cho
Ví dụ 1: có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quyển đó
Ví dụ 2: từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có các chữ số khác nhau
: b) Qui tắc nhân
Ví dụ: Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: Tàu hỏa, tàu thủy, máy bay, ôtô Từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng tàu hỏa, máy bay, ôtô Muốn đi từ tỉnh A tới tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C?
• Nếu có m cách chọn đối tượng x và với mỗi cách chọn đối tượng x có n cách chọn đối tượng y thì ta có m.n cách chọn cặp đối tượng (x, y)
• Tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, với mỗi cách chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2 Sau đó với mỗi cách chọn x1 và x2 như thế
có m3 cách chọn đối tượng x3 Cuối cùng với mỗi cách chọn x1, x2, x3, , xn-1 có mn cách chọn xn, thì ta có m1m2 mn cách chọn dãy x1, x2, , xn
2) Hoán vị
a) Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử (n≥1) Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần
tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó
b) Số hoán vị của n phần tử.
Định lí: Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì ta có:
Pn = n(n-1)(n-2) 3.2.1 = n!
3) Chỉnh hợp
a) Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (1≤k≤n) phần tử sắp thứ
tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c} tìm số chỉnh hợp chập 2 từ 3 phần tử của A
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ
Trang 2b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Định lí: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là k
n
A thì ta có:
)!
k n (
! n )
1 k n ) (
1 n ( n
Ak
n = − − + = −
4) Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ thợp chập k của n phần tử đã cho
Ví dụ: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi Mỗi phòng thi gồm hai giám khảo Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi?
b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C thì ta có:kn
)!
k n ( k
! n
Ckn
−
=
Ví dụ 1: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu tính điểm Thể lệ cuộc thi là bất kì hai đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Ví dụ 2: Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi?
c) Các hệ thức:
n
k
n C
n
k 1 n 1 k 1
−
• Akn=Ckn.k!
5) Nhị thức newton
a) Công thức nhị thức newton:
n n n k
k n k n 1
n 1 n
0 n
n C a C a b C a b C b )
b
a
=
−
n 0 k
k k n k
na b C
b) Các tính chất:
• Số các số hạng của công thức là n + 1
• Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức n
• Số hạng tổng quát có dạng: Cknan−kbk Đây là số hạng thứ k + 1 trong khai triển của nhị thức
• Các hệ số trong khai triển cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau
n
k n
1 n
0 n n
n (1 1) C C C C
n n k
n k 1
n
0 n
n C C ( 1) C ( 1) C )
1 1 (
Trang 3c) Tam giác pascan
II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP
1 Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số.
2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4
chữ số
3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng
giữ thì giống nhau?
4 Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5?
5 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, Từ thành phố A đến thành
phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đên thành phố D?
6 Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát Tại hội
diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, một điệu múa và một bài hát Hỏi đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn? Biết chất lượng các
vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau
7 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:
a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau
b) bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau
8 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau?
9 Cho các số 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7 Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên
sao cho:
a) Chữ số đầu tiên là 3
b) Các chữ số khác nhau
c) Các chữ số khác nhau và đều chia hết cho 2
d) Các chữ số khác nhau và chia hết cho 5
10 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số có 5 chữ
số, các chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) Các số là số lẻ
b) Các số đều chia hết cho 5
c) Trong đó nhất thiết phải có số 5
d) trong đó nhất thiết phải có số 0
11 Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần
12 Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó
có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau
13 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5
Hỏi trong đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu từ số 1
b) Bắt đầu bởi 23
c) Không bắt đầu bởi 345
d) không nhỏ hơn 234
Trang 414 Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5
chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
a) Là số chẵn
b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải là 1
15 (HVCNBCVT TPHCM - 98)Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể
thành lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số
đó có mặt chữ số 0 và 1
16.Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số có mặt một lần
17 (ĐHQGTPHCM - 99) Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
a) có bao nhiêu tập con X của A thỏa mãn điều kiện X chưa 1 và không chứa 2
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A mà không bắt đầu từ 123
18 (HVNH TPHCM - 99)
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,
3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau
b) Các chữ số được xếp tùy ý
19 (ĐH KIẾN TRÚC - 98)
Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn
có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số trên có mặt một lần
20 HVQS - 2000
Một lớp học sinh có 20 em trong đó có 14 nam và 6 nữ Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đội gồm 4 em học sinh trong đó có:
a) Số nam và số nữ bằng nhau
b) Ít nhất có một nữ
21 ĐHQG TPHCM - 2000
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn
a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng (6048 cách)
b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có tất cả bao nhiêu cách.(579600 cách)
22 QGTPHCM - 98
Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một đoàn đại biểu có 5 người ( gồm trưởng đoàn, thư kí và ba thành viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đoàn đại biểu nói trên.(15840 cách)
23 ĐH LUẬT - 99
Một đoàn tàu có 3 toa chở khách, toa I, II, III Trên sân ga có 4 khách chuẩn
bị đi tàu Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi:
Trang 5a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên 3 toa.(81 cách)
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên.(24 cách)
24 ĐH HUẾ - 99
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó sắp xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành.(288 số)
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành.(312 số)
25 ĐHSP VINH - 99
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Từ 8 chữ số nói trên có thể lập được bao nhiêu
số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.(1260 số)
26 ĐHQGHN - B - 2000
Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau mà không chia hết cho 5 (96 số)
27 ĐH HUẾ - A - 2000
Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
a) Nếu phải có ít nhất là hai nữ
b) Nếu phải chọn tùy ý,
28 ĐH HUẾ - D - 2000.
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta lập được:
a) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một (156 số)
b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một.(36 số)
c) Có bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một.(16 số)
29 ĐH Y HN - 2000
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam Cần lập đoàn công tác gồm 3 người cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách?(90 cách)
30 ĐHTN - A - 2000
Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra 5 người, sao cho:
a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó.(5400 cách)
b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.(12900 cách)
31 ĐHTN - D - 2000
Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong
đó có đủ mặt 3 chữ số trên.(150 số)
32 ĐHSP II - 2000
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt một lần.(10080 số)
33 HVKTQS - 2000
Trang 6Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, hai người ở địa điểm B, còn 4 người trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công.(1260 cách)
34 ĐHGTVT - 2000
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có hai cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó
có ít nhất một cán bộ lớp.(324 cách)
35 ĐHCS - 2000
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.(50.000 số)
36 ĐHQG TPHCM - A - 2000
a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ.(42.000 số)
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có đúng 3 chữ
số lẻ và 3 chữ số chẵn( Chữ số đầu tiên phải khác 0).(64.800 số)
37 ĐHQG TPHCM - A - 2001
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), Trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1 (33.600 số)
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số ( chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.(11.340 số)
38 ĐH HUẾ - A - 2001
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số, sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần (8.676 số)
39 ĐH HUẾ - D - 2001.
Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham
dự lễ mít tinh tai trường với yêu cầu có cả nam lẫn nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn
40 ĐHKTQD - 2001
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải nhất thiết có mặt chữ số 5 (1.560 số)
41 ĐH KIẾN TRÚC TPHCM - 2001
a) Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một.(648 số) b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?(3000 số)
42 ĐHNNI - B - 2001
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn ra từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.(544.320 số)
43 HVKTQS - 2001
Có 16 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh
đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi
tổ có ít nhất hai học sinh khá.(3.780 cách)
44 TSĐH - B - 2002
Trang 7Cho đa giác đều A1, A2, , A2n (với n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn O Biết rằng tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, , A2n Tìm n?( n
= 8)
45 TSĐH - B - 2004.
Trong một môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có
đủ 3 loại câu hỏi trên(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2
III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON
1 n
k 1 n
k
n A kA
k n 2 1 n k n 2 n k
15
2 2 1
0 5 3
2 x ) a a x a x a x x
x 1
a) Tính hệ số a10 = ?
b) Tính tổng: T=a0 +a1 +a2 + +a15
S=ao −a1 +a2 − −a15
4 Khai triển: (x−2)100 =ao +a1x+a2x2 + +a100x100
a) Tính hệ số a97?
b) Tính T = ao +a1 +a2 + +a100
c) Tính S = a1+2a2 + +100a100
5 Khai triển: (1+2x+3x2)10 =ao +a x +a2x2 + +a20x20
a) Tính hệ số a4?
b) Tính tổng: S = a0 + a1 + a2 + + a20
n
2 2 x o n
2) a a a x a x x
3 x 2 1
Tính tổng: S=a0 +a1 +a2 + +a n
7 Khai triển: (1+x +x2)1996 =ao +a x +a2x2 + +a3992x3992
a) Tính tổng S=a0 +a1 +a2 + +a3992
b) Tính tổng S=a0 −a1 +a2 − +a3992
c) Chứng minh rằng S=a0 +2a1+22a2 + +23992a39922401
8 ĐHTL - II - 2000
Cho đa thức: P(x) = (1+x)9 +(1+x)10 + +(1+x)14 Có dạng khai triển là: P(x)
= ao +a1x+a2x2 + +a14x14 Hãy tính hệ số a9
9 Đa thức P(x) = (1+x)+2(1+x)2 +3(1+x)3 + +20(1+x)20được viết dưới dạng: P(x) = ao +a1x+a2x2 + +a20x20 Tìm a15?
10 Trong khai triển: )12
x
3 3 x ( − Tìm hệ số của số hạng chứa x4?
Trang 811 Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức:
n
3
x
x x x
12 Hãy tìm trong khai triển nhị thức: 3 3)18
x
1 x ( + số hạng độc lập đối với x?
13 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton của:
12
) x
1
x
14 Hãy tìm số hạng đứng giữa của các khai triển sau:
a) (a3 +ab)31
b) (a3 +ab)30
15 Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển: ( 3− 15)6
17 Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ ( 3+4 5)124
18 Tính hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 +xy)15
19 Xác định hệ số của xn trong khai triển: (1+x+2x2 + +nxn)2
20 Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển: 5 3 x)10
x
1
21 Tìm hạng tử là một số nguyên trong khai triển: ( 3+3 2)9
22 Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho trong khai triển: (1 + x)ncó hai hệ
số liên tiếp có tỉ số là
15
7
23 Xác định số n sao cho trong khai triển nhị thức (x + 2)n hạng tử thứ 11 là
số hạng có hệ số lớn nhất
24 Tìm số nguyên dương n sao cho hạng tử thứ 5 của khai triển:
6 n 4
4
4 2
2
(
−
25 Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:
n 2
nx 2
1 nx
64 Tìm hạng tử không chứa x
26 Cho biết ba hạng tử đầu tiên trong khai triển
n
4 x 2
1
là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng Tìm tất cả các hạng tử hữ tỉ của khai triển đã cho
27 Tìm số nguyên dương x, biết trong khai triển:
x
3 3
1 2
hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối là
6 1
Trang 928 Tìm các giá trị thực của số thực x, sao cho trong khai triển của:
m 1 x
x
2
1
2
+
− tổng các hạng tử thứ 3 và 5 là 135 và tổng hệ số 3 hạng tử cuối
là 22
29 Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ 3 của khai triển: (x+xlgx)5 là 1.000.000
30 Chứng minh rằng trong khai triển [(s−2)x2 +nx−s](x+1)nhệ số của x8 là
2
s
n
C −
31 Tìm hệ số của xn-1 và xn-2 trong khai triển:
) 2
1 x ) (
2
1 x )(
2
1 x )(
2
1 x (
32 Xét khai triển: ( 2lg( 10− x ) +5 2( x−2 ) lg 3)m
Cho biết hạng tử thứ 6 là 21 và các hệ số thứ 2, 3 và 4 của khai triển là các số hạng thứ 1, 3 và 5 của 1 cấp số cộng Tìm x?
33 Tìm hệ số của xm trong khai triển: (1+x)k +(1+x)k+1 + +(1+x)n
Xét các trường hợp m < k và m ≥ k
34 Khai triển: P(x)=(1+2x)12 thành dạng:
P(x) = ao +a1x+a2x2 + +a12x12 Tìm max(ao,a1, ,a12)
35 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = C05 +2C15 +22C52 + +25C55
b) B = C0n +C1n +C2n + +Cnn
n
n n 2
n
3 n 1
2 n 1
n
C
C n
C
C 3 C
C 2
d) D = 2nC0n +2n−2C2n +2n−4C4n + +Cnn
e) E = 2n−1C1n +2n−3C3n +2n−5C5n + +Cnn
f) F = C0n +2C1n +22C2n + +2nCnn
g) G = 1−2C1n +22C2n −23C4n + +(−1)n2nCnn
h) H = 317C170 −4.316C117 +42315C2n −43314C173 + −417C1717
i) I = C0n +3C1n +32C2n + +3nCnn
k) K = C0n +C2n +C4n + +C nn
m) M = C116 +C117 +C118 +C1111(ĐHQGHN - 97)
n) N = C1n −2.C2n +3C3n −4.C4n + +(−1)n.n.Cnn (ĐHBK - 99)
36 Chứng minh rằng:
3
1 ) 1 (
C 3
1 C 3
1 C [
Trang 10b) (C0n)2 +(C1n)2 + +(Cnn)2 =Cnn
c) C0n −C1n +C2n −C3n + +(−1)n.Cnn =0
d) (C0n)2 −(C1n)2 +(C2n)2 − +(C nn)2 =−Cnn
e) (−1)n.C0n +(−1)n−1.2.C1n + +(−1)k.2k.Ckn + +2n.Cnn =1
f) C0n +C2n +C4n + +C nn =2 n−1
g) 4n.C0n −4n−1.C1n + +(−1)n.Cnn =C0n +2.C1n + +2n.Cnn
n 1 n 2
n 3 n 1
n 2 n 0
n 1
n C (n 1).4 C (n 2).4 C ( 1) C 4
n
=C1n +2.2.C2n + +n.2n−1Cnn i) C0n +C2n +C4n + +C nn = C1n +C3n +C5n + +C nn−1
k) nC0n +(n−1)Cnn−1+ +Cnn−1 =n.2n−1
m) n.(n−1).C0n +(n−1).(n−2).Cnn−1 + +2.Cnn−1=n(n−1).2n−1
n) 1−10.C1n +102C2n −103.C3n + −10 n−1.C nn−1 +10 n =81n
p) nC0n −(n−1)C1n +(n−2)C2n −(n−3)C3n + +(−1)n−1Cnn−1=0
q)
1 n
1 2
n 1
C
2 1
C 1 1
C C
1 n n
n
2 n
1 n 0
−
= + + + +
+ +
r)
1 n
1 1
n
C ) 1 (
C 4
1 C 3
1 C 2
1 C
n n
n 3
n
2 n
1 n
0
− + +
− +
−
37.
a) Tính: ∫1 −
0
n
2) dx x 1 ( x
b) Chứng minh:
) 1 n ( 2
1 C
2 n 2
) 1 (
C 6
1 C 4
1 C 2
n
n 2
n
1 n
0
− + + +
−
38.
a) Tính: I = ∫2 −
0
ndx ) x 1 (
1 n
1 C
2 1 n
1 ) 1 (
C 2 2
1 C
n 1 n n
1 n 2 0
+
= +
− + +
39 Chứng minh đẳng thức:
1 n
1 3
C 1 n
2
C 3
2 C 2
2 C
2
1 n n n
1 n 2
n
3 1 n
2 0
−
= +
+ + +
40 Chứng minh đẳng thức:
1 n
n C
1 n
) 1 (
C 3
1 C
2
n
1 n 2
n
1
− + +
41 ĐHTL - 99 Chứng minh rằng :
k 3 n 3 k n 2 k n 1
k n
k
n 3C 3C C C