Xác suất của một biến cố

Biến cố chắc chắn Không gian mẫu E còn gọi là biến cố chắc chắn, tức là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên.. Biến cố không thể Biến cố không thể là biến cố không

XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xét thí nghiệm gieo quân xúc sắc 6 mặt (có thể gieo một con, hai con hoặc nhiều quân xúc sắc) và xét số chấm xuất hiện, ta có các khái niệm sau đây:

1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm có kết quả mang tính chất ngẫu nhiên

mà ta không thể biết chắc được kết quả sẽ xảy ra nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử

Ví dụ: Việc gieo quân xúc sắc là một phép thử ngẫu nhiên

2 Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu Không gian mẫu thường được kí hiệu là E hoặc Ω

Ví dụ: Nếu gieo một quân xúc sắc thì không gian mẫu E là {1, 2, 3, 4, 5, 6} Nếu gieo lần lượt hai quân xúc sắc thì không gian mẫu E là

{(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6), (5;1),

(5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6) }

3 Biến cố

Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố Mỗi phần tử của biến cố

A gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Ví dụ: Biến cố để gieo lần lượt 2 quân xúc sắc có tổng bằng 5 là

{(1;4), (4;1), (2;3), (3;2)}

4 Các loại biến cố

4.1 Biến cố sơ cấp

Mỗi phần tử của không gian mẫu là một biến cố sơ cấp

Ví dụ: (1;2) là biến cố sơ cấp

4.2 Biến cố chắc chắn

Không gian mẫu E còn gọi là biến cố chắc chắn, tức là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên

Ví dụ: Biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 12 là biến cố chắc chắn

4.3 Biến cố không thể

Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên Biến cố không thể kí hiệu là ∅

Ví dụ: Biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 12 là biến cố không thể 4.4 Biến cố hợp

Biến cố A ∪ B là biến cố "ít nhất có A hoặc B xảy ra" gọi là hợp của hai biến

cố A và B

Biến cố A1∪B2 ∪ ∪A k gọi là hợp của k biến cố A1, A2, ,A k

Ví dụ: Gọi A là biến cố để gieo lần lượt 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 10 và

B là biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng nhỏ hơn 4

Khi đó biến cố A B∪ là {(6;5), (5;6), (6;6), (1;1), (1;2), (2;1)}

4.5 Biến cố giao

Biến cố A ∩ B là biến cố "cả A và B cùng xảy ra"

Biến cố A1∩B1 ∩ ∩A k là biến cố "A1, A2, ,A k cùng xảy ra", gọi là giao của biến cố A A1, 2, ,A k

Ví dụ: Gọi A là biến cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 7 và B là biến

cố để gieo 2 quân xúc sắc có tổng nhỏ hơn 10

Khi đó biến cố A B∩ là {(2;6), (6;2), (3;5), (5;3) (4;4), (4;5), (5;4)}

4.6 Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu khi biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra, tức là A∩B ≠0

Ví dụ: Biến cố A gieo 2 quân xúc sắc có tổng lớn hơn 10 và biến cố B gieo 2 quân xúc sắc có tổng nhỏ hơn 4 là hai biến cố xung khắc

4.7 Biến cố đối. Biến cố đối của biến cố A trong không gian mẫu E, kí hiệu

A, là biến cố "không xảy ra A"

Ví dụ: Biến cố A gieo 2 quân xúc sắc có tổng là một số chẵn, khi đó biến cố A

là biến cố gieo 2 quân xúc sắc có tổng là một số lẻ

4.8 Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B của một phép thử ngẫu nhiên gọi là độc lập với nhau nếu

sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia

Ví dụ: Khi gieo 2 quân xúc sắc, gọi A, B là biến cố tương ứng để quân xúc sắc đầu tiên và thứ hai nhận được mặt 3 Khi đó A, B độc lập với nhau

5 Tần số của một biến cố

Số m lần xuất hiện của biến cố A trong n lần thực hiện phép thử ngẫu nhiên gọi

là tần số của biến cố A (0 m n≤ ≤ )

Ví dụ: Khi gieo 16 lần một quân xúc sắc ta thấy có 2 lần xuất hiện mặt lục thì tần số của biến cố quân xúc sắc xuất hiện mặt lục là 2 trong 16 phép thử

6 Tần suất của một biến cố

Tỉ số giữa tần số m của biến cố A và số n lần thực hiện phép thử ngẫu nhiên

gọi là tần suất của biến cố A Kí hiệu f m

n

=

Ví dụ: Khi gieo 16 lần một quân xúc sắc ta thấy có 2 lần xuất hiện mặt lục thì tần suất của biến cố quân xúc sắc xuất hiện mặt lục là 2 0,125

16

f = =

7 Định nghĩa xác suất

Xác suất của biến cố A là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và tổng số trường hợp có thể xảy ra trong phép thử ngẫu nhiên:

Nếu biến cố A có m phần tử trong không gian mẫu E có n phần tử (0 m n≤ ≤ ) thì xác suất của biến cố A là :

Số trường hợp thuận lợi cho A Tổng số trường hợp có thể xảy ra P(A) =

Số phần tử của A

Số phần tử của E

P A

n E

8 Tính chất

Cho một thí nghiệm ngẫu nhiên có không gian mẫu E và A, B là hai biến cố Khi đó0≤P A( )≤1; P E( )=1; P(∅ =) 0; A và B xung khắc ⇔ (A∩B =) 0

9 Quy tắc tính xác suất

9.1 Quy tắc cộng xác suất

9.1.1 Biến cố xung khắc

Cho A và B là hai biến cố xung khắc Ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Cho k biến cố xung khắc A1, A2, ,A k Ta có:

( 1 1 k) ( )1 ( 2) ( k)

P A ∪A ∪ ∪A =P A +P A + +P A

9.1.2 Biến cố đối

Cho A là biến cố đối của biến cố A Ta có: P A( )+P A( )= ⇔1 P A( )= −1 P A( ) 9.2 Quy tắc nhân xác suất:

9.2.1 Biến cố độc lập:

Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau Ta có: P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Cho k biến cố A1, A2, , A k độc lập với nhau Ta có:

( 1 2 k) ( )1 , ( 2), , ( k)

P A ∩A ∩ ∩A =P A P A P A

9.2.2 Biến cố xung khắc:

Cho A và B là hai biến cố xung khắc

Ta có (A ∩ B) luôn không xảy ra, nên: P(A ∩ B) = 0

Ta có A và B xung khắc thì A và B không độc lập, nên:

( ) ( ) ( )

P A∩B ≠P A P B với ( ) 0P A > và ( ) 0P B >

9.3 Liên hệ giữa quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất

Cho A và B là hai biến cố bất kì Ta có:

P A∪B =P A +P B − p A∩B

Chú ý: Có sách kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB thay cho A ∩ B

Giao của k biến cố A1, A2, ,A k là A A1 2 A k

B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1 TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ

Phương pháp: Dùng định nghĩa xác suất của một biến cố

Bài 1 Cho 9 quả cân trọng lượng 1kg, 2kg, …, 8kg, 9kg Chọn ngẫu nhiên 3

quả cân Tính xác suất để tổng trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 8 kg

Giải Gọi E là tập hợp tất cả các cách chọn 3 quả cân trong 9 quả cân ⇒ 3

9 84

E =C = Gọi A là biến cố "lấy 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá 8kg" Xét các khả năng xảy ra: 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 4 = 7; 1 + 2 + 5 = 8; 1 + 3 + 4 = 8 Như vậy chỉ có 4 cách chọn ra 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá 8kg, tức là A =4 Vậy xác suất cần tìm là ( ) 4 1

84 21

P A = =

Bài 2 Gieo lần lượt ba đồng xu Gọi A là biến cố có ít nhất hai mặt sấp xuất

hiện liên tiếp; B là biến cố có ba mặt giống nhau

1 Tính xác suất của A và B

2 Tính xác suất của A B∪ và của A B∩

Giải

1 Không gian mẫu có 1 1 1 3

2 .2 2 2 8

C C C = = phần tử:

E= NNN NNS NSN NSS SNN SNS SSN SSS

Biến cố A={SSS SSN NSS SNS; ; ; }; biến cố B = {NNN SSS; }

Xác suất của A: ( ) 4 1

8 2

P A = = ; xác suất của B: P(B) 2 1

8 4

= =

2 Ta có: A∪B={SSS SSN NSS SNS NNN; ; ; ; } và A∩B={SSS}

Xác suất của : ( ) 5

8

A∪B P A∪B = ; Xác suất của : ( ) 1

8

A∩B P A∩B =

Bài 3 Gieo lần lượt hai quân xúc sắc Tính xác suất của các biến cố sau đây:

1 A: "Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện của hai quân xúc sắc ≤ 6"

2 B: "Có đúng một quân xúc sắc xuất hiện số chấm là số lẻ"

3 C: "Số chấm xuất hiện trên hai quân xúc sắc hơn kém nhau 2"

Giải Không gian mẫu E ={ (1,1 ; 1, 2 ; 1,3 ; 6, 6) ( ) ( ) ( ) }: có 6.6 = 36 phần tử

1 Biến cố: A ={ (1,1 ; 1, 2 ; 1,3 ; 1, 4 ; (1,5); 2, 1 ; 2, 2 ; 2,3 ; (2, 4); 3,1 ;) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3, 2 ; (3,3); 4,1 ; (4, 2); (5,1) có 15 phần tử Xác suất của A: ( ) 15) ( ) } 5

36 12

P A = =

2 Biến cố: B ={ (1,2 ; 1, 4 ; 1,6 ; 2, 1 ; 2,3 ; 2,5 ; 3, 2 ; 3,4 ; 3,6 ;) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(4,1 ; 4, 3 ; 4, 5 ; 5, 2 ; 5, 4 ; 5, 6 ; 6, 1 ; 6, 3 ; 6, 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } có 18 phần tử Xác suất của B: ( ) 18 1

36 2

P B = =

3 Biến cố C ={ (1, 3 ; 3, 1 ; 2, 4 ; 4, 2 ; 3, 5 ; 5, 3 ;(4, 6);(6, 4)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } có 8 phần tử Xác suất của C: ( ) 8 2

36 9

P C = =

Chú ý: Nếu gieo đồng thời 2 quân xúc sắc thì hai khả năng xảy ra (p;q) và (q;p) với p ≠ q là như nhau nên không gian mẫu E chỉ có 21 phần tử, biến cố A

có 9 phần tử, biến cố B có 9 phần tử và biến cố C có 4 phần tử

Bài 4 Gieo lần lượt một đồng xu và một quân xúc sắc

1 Tính xác suất của một biến cố A có một mặt sấp và một quân xúc sắc xuất

hiện là một số chẵn

2 Tính xác suất của biến cố B có mặt quân xúc sắc xuất hiện là một số nguyên tố

3 Tính xác suất của biến cố C có một mặt ngửa và mặt quân xúc sắc xuất hiện

là một số lẻ

4 Tính xác suất của A B∪ , của A B∩ và của A B C∩ ∩

Giải

1 Không gian mẫu có 1 1

2 6 12

C C = phần tử:

{ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

E= N N N N N N S S S S S S

Biến cố A={S2; 4; 6S S } Xác suất của A: ( ) 3 1

12 4

P A = =

2 Biến cố B={N2; N3; N5; 2; 3; 5S S S } Xác suất của B: ( ) 6 1

12 2

P B = =

3 Biến cố C={N1; N3; N5} Xác suất của C: ( ) 3 1

12 4

P C = =

4 Biến cố A∪B={S2; 3; 4; 5; 6;S S S S N2; N3; N5}

12 3

A∪B P A∪B = =

Biến cố A∩B={S2} Xác suất của : ( ) 1

2

A∩B P A∩B = Biến cố A B C = ∅∩ ∩ Xác suất P A( ∩B∩C =) 0

Bài 5 Một bình đựng 5 viên bi xanh, 7 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng Lấy ngẫu

nhiêu 4 viên bi

1 Tính xác suất để được 1 viên bi xanh và 3 viên bi vàng

2 Tính xác suất để được đủ 3 màu

3 Tính xác suất để được 4 viên bi cùng màu

Giải Không gian mẫu có 4

16 1820

C = phần tử

1 Biến cố A lấy được 1 viên bi xanh và 3 viên bi vàng có 1 3

5 4 20

C C = phần tử Vậy xác suất là: ( ) 20 1

1820 91

P A = =

2 Biến cố B lấy được đủ 3 màu 1 1 2 1 2 1 2 1 1

5 7 4 5 7 4 5 7 4 910

C C C +C C C +C C C = phần tử Vậy xác suất là ( ) 910 1

1820 2

P B = =

3 Biến cố C lấy được 4 viên bi cùng màu có: 4 4 4

C +C +C = phần tử Vậy xác suất là: ( ) 41

1820

P C =

Bài 6 Một hộp đựng 5 tờ bạc 50000đ và 10 tờ bạc 20000đ

1 Lấy ngẫu nhiên 2 tờ bạc Tính xác suất để được 70000đ

2 Lấy ngẫu nhiên 4 tờ bac Tính xác suất để được 140000đ

Giải

1 Gọi A là biến cố lấy được 150000đ Ta có:

700000đ = 50000đ + 20000đ nên 2 tờ bạc phải khác nhau

A có 1 1

5 10 5.10 50

C C = = phần tử Không gian mẫu có 2

15 105

C = phần tử

Vậy xác suất là: ( ) 50 10

105 21

P A = =

2 Gọi B là biến cố lấy được 140000đ Ta có: 140000đ = 100000đ + 40000đ

Nên B có 2 tờ bạc 50000đ và 2 tờ bạc 20000đ

B có: 2 2

5 10 10.45 450

C C = = phần tử Không gian mẫu có 4

15 1365

C = phần tử Vậy xác suất là ( ) 450 30

1365 91

P B = =

Bài 7 Đoàn tàu thống nhất S1 có 4 toa đi Huế − Đà Nẵng Tại ga Thanh Hóa

có 6 hành khách mua vé đi 4 toa này Mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách mua vé

Giải Gọi E là tập hợp tất cả các dãy số (x1, x2, x3, x4, x5,x6), trong đó x i là số toa

mà khách thứ i mua vé với x ∈ i {1, 2, 3, 4} Khi đó E =46

Gọi A là biến cố "mỗi toa đều có hành khách mua vé" Ta tính số phần tử của biến cố A bằng cách phân chia tập A thành hai tập con A1 và A2 sau đây:

iA1 là tập hợp các cách mua vé tàu sao cho 1 toa có 3 người, và 3 toa còn lại mỗi toa có một người, khi đó ta có các khả năng sau:

+ Có 3 người mua vé toa 1 + Có 3 người mua vé toa 2

+ Có 3 người mua vé toa 3 + Có 3 người mua vé toa 4

Giả sử xét khả năng có 3 người lên toa 1: điều này có nghĩa trong dãy

1, 2, 3, 4, 5, 6

x x x x x x số 1 xuất hiện 3 lần, mỗi số 2, 3, 4 xuất hiện 1 lần

Khi đó số các khả năng xảy ra là 3

6.3! 20.6 120

Do 4 khả năng 3 người mua vé 1 toa có vai trò như nhau nên số phần tử của biến cố A1 là A =1 120.4 480=

iA2 là tập hợp các cách mua vé sao cho có 2 toa có 2 người và 2 toa có 1 người Khi đó ta có các khả năng sau:

+ Có 2 người mua vé toa 1 và 2 người mua vé toa 2

+ Có 2 người mua vé toa 1 và 2 người mua vé toa 3

+ Có 2 người mua vé toa 1 và 2 người mua vé toa 4

+ Có 2 người mua vé toa 2 và 2 người mua vé toa 3

+ Có 2 người mua vé toa 2 và 2 người mua vé toa 4

+ Có 2 người mua vé toa 3 và 2 người mua vé toa 4

Xét đại diện khả năng có 2 người mua vé toa 1 và 2 người mua vé toa 2

Điều này có nghĩa trong dãy x1, x2, x3, x4, x5,x6 số 1 và 2 xuất hiện 2 lần, số

3 và 4 xuất hiện 1 lần Khi đó số khả năng xảy ra là: 2 2

6 4.2! 15.6.2 180

Suy ra A =2 6.180 1080= và A = A1 + A2 =1320 nên ( ) 1320 165

4096 512

A

P A

E

DẠNG 2: XÁC SUẤT CỦA NHIỀU BIẾN CỐ

Phương pháp: Sử dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất: ( ) ( ) 1

P A +P A =

P A∪B =P A +P B −P A∩B (A, B bất kỳ)

P A∪B =P A +P B (A, B xung khắc)

( ) ( ) ( )

P A∩B =P A P B (A, B độc lập)

Bài 1 Lớp 12C có 30 học sinh, trong đó có 5 em giỏi, 17 em khá và 8 em

trung bình Chọn ngẫu nhiên 3 em Tính xác suất để:

1 Có 3 em giỏi 2 Có ít nhất 1 em giỏi 3 Không có em trung bình

Giải

1 ( )

3

5

3

30

406 4060

C

P A

C

2 Gọi B là biến cố chọn được ít nhất một em giỏi thì B là biến cố chọn không

có học sinh giỏi Do ( )

3 25 3 30

2300 115

4060 203

C

P B

C

203

P B = −P B =

3 Có 3

22

C cách chọn 3 học sinh không trung bình nên ( )

3 22 3 30

1540 11

4060 29

C

P C

C

Bài 2 Công ty Samsung phát hành 25 vé khuyến mại trong đó có 5 vé trúng

thưởng Một đại lý được phân phối 3 vé Tính xác suất để đại lý đó có:

1 Một vé trúng 2 Ít nhất một vé trúng

Giải

1 Gọi A là biến cố có 1 vé trúng Xác suất của A là: ( )

1 2

5 20 3 25

46

C C

P A

C

2 Gọi B là biến cố không có vé nào trúng thì ( )

3 20 3 25

57 115

C

P B

C

Biến cố B là biến cố có ít nhất một vé trúng thì ( ) 1 ( ) 58

115

P B = −P B =

Bài 3 Một bình đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi màu đỏ Lấy lần lượt 2 viên

bi Tính xác suất để được viên bi thứ hai màu đỏ

Giải Gọi A là biến cố lấy được viên bi xanh lần thứ nhất; B là biến cố lấy được viên

bi đỏ lần thứ nhất; C là biến cố lấy được viên bi đỏ lần thứ hai

Biến cố lấy được viên bi đỏ lần thứ hai là tập hợp của hai biến cố: A ∩ C và

B ∩ C, trong đó A và C; B và C là hai cặp biến cố độc lập

Ta có: ( ) 5 4 5

9 8 18

P A∩C = ⋅ = và ( ) 4 3 3

9 8 18

P B∩C = ⋅ = Vậy xác suất phải tính là: 5 3 4

18 18 9

P = + =

Bài 4 Hai xạ thủ A và B cùng nhắm bắn một con thỏ Xác suất để xạ thủ A

bắn trúng là 2

7; xác suất để xạ thủ B bắn trúng là 18 Tính xác suất để:

1 Cả hai xạ thủ đều bắn trúng 2 Chỉ một trong hai người bắn trúng

3 Ít nhất một trong hai người bắn trúng 4 Cả hai xạ thủ đều bắn trượt

Giải

1 Gọi A là biến cố xạ thủ A bắn trúng Xác suất là ( ) 2

7

P A = ; B là biến cố xạ thủ B bắn trúng Xác suất là ( ) 1

8

P B = Hai biến cố A và B độc lập

Vậy xác suất để hai xạ thủ cùng bắn trúng là ( ) ( ). ( ) 2 1 1

7 8 28

P A∩B =P A P B = ⋅ =

2 Gọi A là biến cố xạ thủ A bắn trật, ta có ( ) 1 ( ) 5

7

P A = −P A = ;

B là biến cố xạ thủ B bắn trật, ta có ( ) 1 ( ) 7

8

P B = −P B =

Biến cố một người bắn trúng là hợp của hai biến cố A B∩ và A B∩

Vậy xác suất để một người bắn trúng là:

7 8 7 8 56 56 56

P=P A∩B +P A∩B = ⋅ + ⋅ = + =

3 Đó là biến cố A B∪ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3

7 8 28 8

P A∪B =P A +P B −P A∩B = + − =

4 Xác suất phải tìm là P A( ∩B) Mà A và B độc lập nên A và B độc lập

Do đó: ( ) ( ) ( ). 5 7 5

7 8 8

P A∩B =P A P B = ⋅ =

8 8

P A∩B =P A∪B = −P A∪B = − =