TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Về kiến thức: _ Giúp HS hiểu rõ thế nào là một chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.. Nhớ các công thức tính chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.. Về kỹ năng: _ Biết t

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

ξ

3 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

TIẾT:

Gv soạn : Nguyễn Thị Thanh Vân Trường THPT LÊ LỢI

A MỤC TIÊU

1 Về kiến thức:

_ Giúp HS hiểu rõ thế nào là một chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử Hai chỉnh hợp chập k khác nhau có nghĩa là gì ? Nhớ các công thức tính chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.

2 Về kỹ năng:

_ Biết tính chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.

_ Biết được khi nào dùng chỉnh hợp, tổ hợp trong bài toán đếm.

_Biết sử dụng các kiến thức chỉnh hợp vào bài toán đơn giản.

3 Về tư duy thái độ:

_ Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic.

B CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ

1 Chuẩn bị của GV: bảng phụ

2 Chuẩn bị của HS: ôn bài cũ, xem SKG trước.

C PHƯƠNG PHÁP DẠY VÀ HỌC

_Về cơ bản sử dụng phương pháp dạy học gợi mở, vấn đáp đan xen.

D TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

Hoạt động của HS Hoạt động của GV Ghi bảng – Trình chiếu Nghe và làm bài tập trong giấy

nháp

Nghe và hiểu nhiệm vụ

2 Chỉnh hợp

a Chỉnh hợp là gì ?

- cho VD

- Gọi 3 HS lê bảng làm

VD: Cho tập hợp

A = { cam, hồng, lê}

a) Hãy viết các hoán vị có thể

có của tập hợp A ? b) Hãy viết các tập hợp gồm hai phần tử là con của tập hợp A

c) Hãy viết các hoán vị có thể

có từ các tập hợp con ở câu b) ?

Nghe và đọc VD

Lấy 2 phần tử từ 3 phần tử của

tập hợp A và tính thứ tự các

phần tử được gọi là chỉnh hợp

chập 2 của 3

Lấy k phần tử từ n phần tử

Gọi HS đọc VD3 SGK trang57

Huấn luyện viên chọn 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ và xếp thứ tự 5 cầu thủ này gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu thủ

Ở VD1 ta lấy 2 phần tử từ 3 phần tử của tập hợp A và tính thứ

tự các phần tử như câu b) và c) được gọi là gì ?

Một cách tổng quát: có tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên

k với 1≤k≤n

-Khi lấy k phần tử từ n phần tử củatập hợp A và xếp theo thứ tự

VD3 SGK trang57

Định nghĩa:SGK trang 58

củatập hợp A và xếp theo thứ

tự thì đgl chỉnh hợp chập k của

n phần tử.

Chỉnh hợp chập 3 của n phần

tử được hiểu là lấy 3 phần tử từ

10 phần tử và xếp theo thứ tự.

thì đgl gì ?

- GV nhấn mạnh chỉnh hợp chập

k của n phần tử thì quan tâm đến

thứ tự của các phần tử.

? Chỉnh hợp chập 3 của n phần tử được hiểu như thế nào ?

Chú ý:GV nhấn mạnh chỉnh hợp chập k của n phần tử thì

quan tâm đến thứ tự của các

phần tử.

Nghe và hiểu nhiêm vụ Gọi 1 HS đọc H3-SGK58

Gọi 1 HS lên bảng làm, HS khác làm nháp và nhận xét.

Bảng phụ: H3SGK58

Hai chỉnh hợp khác nhau là:

+Có phần tử thuộc chỉnh hợp

này mà không thuộc chỉnh hợp

kia.

+Các phần tử của chỉnh hợp

giống nhau mà thứ tự khác

nhau.

Từ H3 hãy phân biệt thế nào là hai chỉnh hợp khác nhau

Nhận xét: Sgk58

Nghe và hiểu nhiêm vụ

HS nghe và suy nghĩ

- Có 11 cách chọn

- Có 10 cách chọn

- Có 9 cách chọn

- Có 8 cách chọn

? Ở VD1 ta có thể lập được tất

cả bao nhiêu chỉnh hợp chập 2 của 3 ?

Để đếm được số chỉnh hợp có

2 cách:

+ Liệt kê và đếm như VD1

? Nếu số quá lớn ta không thể liệt kê được thì tính số chỉnh hợp ntn ?

b) Số các chỉnh hợp

GV trở lại VD4 Tính xem HLV có bao nhiêu cách lập danh sách 5 cầu thủ đá luân lưu

?

Ta có coi việc chọn 5 cầu thủ

từ 11 cầu thủ là một việc làm trãi qua 5 công đoạn

+ Công đoạn 1: HLV chọn 1 cầu thủ đá quả thứ nhất,c ó mấy cách chọn ?

+ Công đoạn 2: HLV chọn 1 cầu thủ đá quả thứ hai,c ó mấy cách chọn ?

+ Công đoạn 3: HLV chọn 1 cầu thủ đá quả thứ ba,c ó mấy cách chọn ?

+ Công đoạn 4: HLV chọn 1 cầu thủ đá quả thứ tư,c ó mấy

- Có 7 cách chọn

Có 11.10.9.8.7 = 55440 cách

chọn.

Nghe và hiểu nhiêm vụ

HS nghe và suy nghĩ

Ak = n.(n-1)(n-2)…(n-k+1)

cách chọn ? + Công đoạn 5: HLV chọn 1 cầu thủ đá quả thứ năm,c ó mấy cách chọn ?

? Theo quy tắc nhân thì HLV

có mấy cách chọn tất cả ? Vậy số các chỉnh hợp chập 5 của 11 là 55440.

Tương tự hãy tính chỉnh hợp chập 6 của 20.

*Bài toán ổng quát: cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1≤k≤n Hỏi có bao nhiêu chỉnh hợp chập k của n ?

Số các chỉnh hợp chập k của n được kí hiệu là: Ak.

Số các chỉnh hợp chập k của n được tính ntn ?

*Chứng minh: Sgk

Định ly1: sgk58

Nghe và hiểu nhiêm vụ

Cho VD VD: tính số các chỉnh hợp

a/ A3 b/ A5

Là phép hoán vị của tập hợp 5

phần tử

Từ câu b) ta thấy chỉnh hợp chập 5 của 5 là phép gì ta đã học ?

Là phép hoán vị của tập hợp n

phần tử

Chỉnh hợp chập n của n phần

tử là gì ?

Nhận xét: Sgk 59

An = Pn = n!

Nghe và hiểu nhiêm vụ Cho hs làm VD5-Sgk59 Bảng phụ VD5-Sgk59

Ak = n.(n-1)(n-2)…(n-k+1)

=

)!

(

!

k n

n

−

Quy ước: 0! = 1

A0 = 1

Chú ý: Sgk 59

E CỦNG CỐ

- bài tập 6 SGK 62

F DẶN DÒ

- Học bài và công thức theo vở ghi, SGK

- Làm bài tập SGK

- Xem bài Tổ Hợp.

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 11 CHƯƠNG II: TỔ HỢP –XÁC SUẤT BÀI 2: HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP

TIẾT:3

GV soạn:Nguyễn Tuấn và Nguyễn Công Mão

Trường: THPT Nguyễn Huệ

A MỤC TIÊU:

1 Về kiền thức :

- Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.Hai tổ hợp chập k khác nhau là gi?

-Nhớ các công thức tính số các hoán vị ,số các chỉnh hợp chập k và số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.

2.Về kĩ năng.

-Biết tính số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.

-Biết được khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp trong các bài toán đếm

-biết phối hợp sử dụng các khiến thức về hoán vị ,chỉnh hợp và tổ hợp để giải các bà toán đếm đơn giản

3.Về tư duy thái độ: Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic

B.CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ

1 Chuẩn bị của GV:Các phiếu học tập, giáo án và SGK

2.Chuẩn bị của HS: Ôn bài cũ và làm bài tập ở phần hoán vị và chỉnh hợp

C.PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

Về cơ bản sử dụng PPDH gợi mở vấn đáp xen với hoạt động nhóm

D.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

HĐ1: Ôn tập lại kiến thức cũ

-Nghe và hiểu nhiệm vụ

-Nhớ lại kiến cũ và trả lời câu hỏi -Cho biết hoán vị của n phần tử là gì?

-Số hoán vị của n phần tử là gì?

-Cho biết chỉnh hợp của n phần tử là gì?

-Số chỉnh hợp của n phần tử là gì?

Vận dụng vào bài tập Cho tập A={1,2,3,4}

a.Tìm số hoán vị của các phần tử của A

b.Viết các chỉnh hợp chập 2 của A -Làm bt và lên bảng trả lời -Nhận xét và chính xác hoá lại câu

trả lời của HS

3.TỔ HỢP

HS đọc ĐN SGK

HS suy nghĩ trả lời

-Yêu cầu HS đọc phần tổng quát,trang 59

-Từ một hộp phấn có 10 viên ta lấy

ra 5 viên Hỏi cách lấy trên có phải

là một chỉnh hợp hay tổ hợp?

HS hoạt động theo nhóm Chia 4 nhóm cùng làm yêu cầu

nhóm 1,3 làm bt a Nhóm 2,4 làm bt b

a.Cho tập hợp A={a,b,c,d}.Viết tất cả các tổ hợp chập 3 của A

b.Cho tập hợp A={1,2,3,4,5}.Viết tất

cả các tổ hợp chập 3 của A

HS trình bày cách giải -Gọi đại diện của nhóm lên trình bày

- Cho HS nhóm khác nhận xét

-Nhận xét các câu trả lời của hs,chính xác hóa nội dung

HĐ3:b.Số các tổ hợp

GV giảng định lý 3

Kí Hiệu :

k n C

Định lý 3 (SGK,trang 60)

Đọc SGK trang 60 CHÚ Ý (SGK,trang 60)

Chia 4 nhóm cùng làm yêu cầu nhóm 1,2 làm VD 6 Nhóm 3,4 làm

VD 7 Gọi đại diện của nhóm lên trình bày

- Cho HS nhóm khác nhận xét -Nhận xét các câu trả lời của hs,chính xác hóa nội dung

4 HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ :

k n C

HS tự chứng minh HĐ4: a.Tính chất 1

=

(SGK ,trang 61)

HS tự chứng minh HĐ5: b.Tính chất 2

1 1

+ = + Chia 4 nhóm cùng làm

CMR: Với

3 k n ≤ ≤

3

+

Gọi đại diện của nhóm lên trình bày

- Cho HS nhóm khác nhận xét -Nhận xét các câu trả lời của hs,chính xác hóa nội dung

HĐ6:Củng cố toàn bài

Học sinh trả lời trong phiếu TN -Phát các phiếu học tập là những câu

hỏi trắc nghiệm

-Câu hòi 1: Em hãy cho biết bài học vừa rồi có những nội dung chính gì?

-Theo em qua bài học này ta cần đạt điều gì?

-BTVN: làm phần luyện tập ,trang 63

-Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác điều lồi?

a.30 b.35 c.40 d.45

- lớp 11A có 35 học sinh ,có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp?

a

3 35

A

b

3 35

C

c

3 32

A

d

3 32

C

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG 2.TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

§3 Nhị thức Newton

Tiết 24

GV soạn: Bùi Nguyễn Diễm Phương Trường: PTTH Nguyễn Đình Chiểu

A MỤC TIÊU:

1 Về kiến thức :

Nhằm nắm được công thức nhị thức Newton

Nắm được quy luật truy hồi thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pascal khi đã biết hàng thứ n Quan hệ giữa hệ số trong công thức nhị thức Newton với các số nằm trên một hàng của tam giác Pascal.

2 Về kỹ năng:

Vận dụng công thức nhị thức Newton để tìm khai triển các đa thức dạng (ax + b) và (ax - b) Biết thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pascal từ hàng thứ n.

3 Tư duy thái độ:

Quy nạp và khái quát hóa Cẩn thận, chính xác.

B CHUẨN BỊ:

1 Giáo viên:

Dùng bảng phụ có ghi sườn tam giác Pascal

2 Học sinh :

Chuẩn bị bài cũ.

C PHƯƠNG PHÁP:

Thuyết trình, vấn đáp.

D TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ghi bảng

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

Ôn lại kiến thức, trả bài 1 Hỏi công thức tổ hợp, tính chất

2 Hỏi HĐT (a + b)2 , (a + b)3 Yêu cầu học sinh tìm mối liên hệ giữa số hạng trong HĐT và tổ hợp

Hoạt động 2: Công thức nhị thức Newton I.Công thức nhị thức Newton: Dựa vào số mũ của a, b trong khai

triển để phát hiện ra đặc điểm chung

Tính các tổ hợp

a Hình thành công thức:

Nhận xét về số mũ của a,b trong khai triển (a +b)2, (a+ b)3

Yêu cầu học sinh tìm mối liên hệ giữa các tổ hợp C

0 2 , C

1 2 , C

2 2 ,… với các hệ số của khai triển Suy ra công thức tổng quát

Công thức sgk/64

Tìm mối liên hệ, suy công thức tổng

quát

Sửa công thức tổng quát chính xác

Theo quy luật viết khai triển nêu ra

câu trả lời

b Củng cố công thức:

Phân tích công thức (a+b)n có bao nhiêu số hạng Chú ý tổng số mũ của

a và b, số mũ của a và b với C

k n

Nghe hướng dẫn của giáo viên trả

lời

Vận dụng công thức VD1: Tính hệ số của x12y13 trong

khai triển (x + y)25

x12y13 → hệ số là C

12 25

25 −

= C

13 25 Trả lời câu hỏi (3x - 4)5 = (3x + (-4))5

Số hạng chứa x3 làC

2 5 (3x)3(-4)2

VD2: Tìm hệ số của x3 trong (3x - 4)5

Tính các hệ số tương ứng của đa

thức Yêu cầu học sinh tìm hệ số tương ứng của đa thức

(x-2)6 = (-2+x)6 =

∑

=

6 0

6

k

k

C

(-2)6-k xk

VD3: Viết khai triển (x-2)6

Hoạt động 3: Xây dựng tam giác Pascal

a Tam giác Pascal

II.Tam giác Pascal:

Quy luật : SGK/66 Bảng tam giác Pascal

Tính hệ số và điền vào bảng phụ

chuẩn bị sẵn

Liên hệ suy ra tam giác Pascal

Tính hệ số trong khai triển (a+b)4, (a+b)5, (a+b)6 bằng công thức nhị thức Newton

Liên hệ công thức C

k

n 1+

= C

k n

+ C

1

−

k n

Từ đó dẫn dắt học sinh đưa ra cách xây dựng tam giác Pascal

b Củng cố: VD:Khai triển (x-1)8 Thực hiện khai triển Viết khai triển thì cần hàng thứ mấy

của tam giác Pascal

Nhận xét: Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n +1 số C

0

n

, C

1

n

, C

2

n

,…, C

1

−

n n

, C

n n

E.CỦNG CỐ:

Nhắc lại về tam giác Pascal, nhị thức Newton.

Khi cần khai triển đa thức với số mũ quá lớn nên dùng công thức nhị thức Newton hơn là tam giác Pascal.

F DẶN DÒ:

BVN 17→20 / 67.

GÍAO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 11 (nâng cao) CHƯƠNG II :Tổ hợp và xác suất

$ 4 / BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Tiết :

Gv soạn : Huỳnh Tiến Hùng & Lê Hữu Sáng Trường PTTH Nguyễn Đình Chiểu

A MỤC TIÊU :

1/ Về Kiến thức:

Nắm vững các khái niệm cơ bản : phép thử , không gian mẫu ,biến cố liên quan đến phép thử , tập hợp mô tả biến cố

2/ Về Kỷ năng: giúp học sinh

- Biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển của xác suất;

- Biết tính xác suất thực nghiệm ( tần suất) của biến cố theo định nghĩa thống kê của xác suất.

3/ Về tư duy thái độ: tích cực tham gia đóng góp bài học ,rèn luyện khả năng quan sát ,

tư duy lôgic.

B CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ

- Chuẩn bị của GV : các phiếu học tập , 3 đồng xu , 5 con súc sắt cân đối ,…

- Chuẩn bị của HS : ôn tập bài củ

C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: gợi mở , vấn đáp , nêu tình huống có vấn đề đan xen với các hoạt động nhóm

D.TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC BÀI HỌC:

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng-Trình chiếu

HĐ 1 : Oân tập lại kiến thức

- Nghe và hiểu nhiệm vụ

- Nhận xét câu trả lời của bạn

-Định nghĩa tổ hợp và công thức tính số các tổ hợp

- Tính C5

52

Nhận xét và chính xác hoá lại các câu trả lời của hs

HĐ 2:Chi ế m l ĩ nh tri th ứ c v ề bi ế n

c ố

- Nghe và hiểu nhiệm vụ

-Trả lời câu hỏi : mô tả không gian

mẫu trong từng phép thử ?

- Thực hành H1 ( sgk,trang 70 )

- Thông qua các hành động gieo con súc sắc ; gieo 1 , 2 ,3,… đồng

xu nhằm giúp hs hiễu được ý nghĩa

- Phép thử ngẫu nhiên…( sgk,trang

70)

-Đọc sgk trang 70 và phát hiện định

nghĩa phép

thử ngẩu nhiên , kg mẫu

- Đọc Định nghĩa ( sgk ,trang 71)

và yêu cầu hs thực hiện H2

( sgk,trang 71)

của phép thử ngẩu nhiên ; biết cách mô tả không gian mẫu của mỗi phép thử

- Yêu cầu hs đọc vd3 (sgk,trang 70)

-HĐTP :Cũng cố kiến thức và rèn

luyện óc quan sát:

Chia nhóm và yêu cầu hs nhóm 1 thực hiện phép thử :” Gieo 1 con súc sắc “, tìm không gian mẫu ; nhóm 2 thực hiện phần còn lại trong vd 3

- H1 : Ω

={SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN }

- Định nghĩa ( sgk ,trang 71)

HĐ 3: Chi ế m l ĩ nh tri th ứ c v ề xác suất của bi ế n c ố

-Đọc ví dụ 4 ( sgk,trang 71 )

- Quan sát và trả lới câu hỏi

- Nhận xét câu trả lời của bạn

- Đọc ví dụ 5 ( sgk,trang 72 )

- Quan sát và trả lới câu hỏi

- Nhận xét câu trả lời của bạn

- Đọc ví dụ 7 ( sgk,trang 72 )

- Quan sát và trả lới câu hỏi

- Nhận xét câu trả lời của bạn

- Trả lới câu hỏi

- Yêu cầu nhóm 2 ghi kết quả của phép thử T “ Gieo 2 con súc sắc “ trong vd 4 ( trang 71 )

- Cho học sinh nhóm khác nhận xét

- Nhận xét các câu trả lời của hs và chính xác hoá nội dung

- Nhóm 3 tính xác suất của biến cố

A :” tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là 7 “

- Nhận xét câu trả lời của hs và chính xác hoá nội dung

- Yêu cầu tương tự như trong vd4 ,nhưng đổi nhóm cho nhau

- Ví dụ 6 (sgk ,trang 73) để hs tự nghiên cứu

- Yêu cầu tương tự như trong vd4

- Ví dụ 8 (sgk ,trang 74) để hs tự nghiên cứu

-Chia nhóm thực hành H3 (sgk ,trang 75) : nhóm 1 điền kết quả tần số , nhóm 2 điền kết quả tần suất , nhóm 3 nêu nhận xét

- Như slide trình chiếu bảng kết quả trong vd4

- Định nghĩa cổ điển của xác suất : ( sgk, trang 72)

- Chú ý (sgk, trang 72)

- Định nghĩa thống kê của xác suất : ( sgk, trang 74)

- Học sinh trả lới câu hỏi HĐ 4 :Củng cố toàn bài

Câu 1:Nêu nội dung chính của bài học?

Câu 2 : Theo em qua bài học này ta cần đạ được điều gì ?

HĐ 5 : Bài tập về nhà Làm bài tập

từ 25 đến 29 trang 75 và 76

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 11

CHƯƠNG 2 : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

ξ 5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Giáo viên : Nguyễn Hữu Ân và Nguyễn Đức Tuệ Trường THPT BC Nguyễn Đình Chiểu

A/ MỤC TIÊU :

• Về kiến thức : Giúp học sinh

– Nắm chắc các khái niệm hợp và giao của hai biến cố

– Biết được khi nào hai biến cố xung khắc, hai biến cố độc lập

• Về kĩ năng : Giúp học sinh biết vận dụng các quy tắc cộng và nhân xác suất để giải các bài toán xác suất

đơn giản

B/ CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ :

• Giáo viên : Soạn tốt nội dung bài dạy

• Học sinh : Bài cũ cần

– Nắm vững được các khái niệm cơ bản : phép thử, không gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử, tập hợp mô tả biến cố

– Biết tính xác suất của biến cố

C/ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC :

– Gợi mở, vấn đáp.

– Đưa ra nội dung bài học.

D/ TIẾN TRÌNH BÀI HỌC :

Bao gồm các hoạt động sau :

• Hoạt động 1 : Cho ví dụ (kiểm tra bài cũ và xây dựng bài mới)

• Hoạt động 2 : Phân tích ví dụ lên quan đến việc xây dựng bài mới

• Hoạt động 3 : Đưa ra nội dung bài học mới

• Hoạt động 4 : Cho ví dụ luyện tập

NỘI DUNG

I/ Quy tắc cộng xác suất :

Ví dụ 1 :

Khối lập phương gồm có 6 mặt, các mặt theo thứ tự lần lượt đánh dấu các số 1, 2 ,3, 4, 5, 6 : ta thường gọi là hột Xí ngầu.

Cho phép thử T “Gieo xí ngầu một lần”

∗ Không gian mẫu : Ω = { 1 , 2, 3 , 4 , 5, 6 }

∗ n(Ω) = 6

Biến cố A “Xí ngầu xuất hiện mặt chẵn”

∗ Không gian mẫu : ΩA = { 2 , 4 , 6 }

∗ n(A) = 3 ⇒ xác xuất của biến cố A :

n(A) 3 1 P(A)

n( ) 6 2

Ω

Biến cố B “Xí ngầu xuất hiện mặt lẻ”

∗ Không gian mẫu : ΩB = { 1 , 3 , 5 }