Tổ hợp và Xác Suất

Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán… 2.. Hỏi có thể lập đ

BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Đỗ Văn Thọ

(Biên soạn)

2

BÀI TẬP: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

A Các bài toán về số sổ hợp, số chỉnh hợp và nhị thức niu – tơn

I Một số kiến thức cần ghi nhớ:

! 1 2 1 0! 1

n

P n n n n



! , 0 k n

! !

k

n

n C

k n k



! , 1 k n

!

k

n

n A

n k

 , 0 k n

C C   

1

1 1 , 1 k<n

C C  C  

 

0

0

1 1

1

n

k n k k n

k

n

n k

C a b

C a b











 





Số hạng tồng quát của nhị thức abn có dạng T k1 C a n k n k b k

II Bài tập:

Bài 1: Cho k, n là các số nguyên và 3 k  Chứng minh n

C  C  C   C  C 

Bài 2: Cho k, n là các số nguyên và 4 k  Chứng minh n

C  C  C   C   C  C 

Bài 3: Cho k, n là các số tự nhiên và 4 k  Chứng minh n

2C n k 5C n k 4C n k C n k C n k C n k

Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:

1

1

2 2

, k 2









3

Bài 5: Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng của x của:

10

1

2

x

a   

 

b 3 2x 8

Bài 6: Khai triển:

a

7

1

x

x

 



 

 

b ab7 c    2  2 6

1 1

P x  x  x 

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển:

a 1 x 10 b  

2008

4

x

 

  

 

Bài 8: Tìm số hạng không chứa x của khai triển:

a  

12

1

, 0

x

   

b

7 3

4

1 , 0

x

Bài 9: Trong khai triển

28

n

x x x



, tìm số hạng không chứa x Biết rằng:

79 , 2

C C  C   n 

Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu – tơn

5 3

x x



, biết rằng 1  

C  C   n n 

Bài 11: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển:

a  3 5

2  3 b

7 3

4 5

2



Bài 12: Tìm hệ số của:

a x trong khai triển 10 5 3x 75

b x31 trong khai triển

40 2

1

x x

 



 

 

Bài 13: Tìm hệ số của:

a 25 10

x y trong khai triển của  3 15

x xy

b x101y trong khai triển 99 2x3y200

Bài 14: Trong khai triển

12

x

1











 hãy tìm số hạng tự do

4

Bài 15: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:

a/ ( 2a+b)4, b/ ( x-3y)5, c/

6

x

3













Bài 16: Tìm hệ số của:

a x16 trong khai triển  2 10

2

x  x

b x1008 trong khai triển

2009 2

3

1

x x



c x trong khai triển 8

12

1

x x

 



 

  (ĐHCHQG - 2000)

d x y trong khai triển 3 7 2x y10

e x10 trong khai triển

10

3

3

x



f x12 trong khai triển

20

2x

x



g x trong khai triển 43

21 5

1

x

x



Bài 17: Tìm số hạng chứa 28

x trong khai triển  3 10

x  xy

Bài 18: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển:

a  3 21

x  xy (nghĩa là có 2 số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11, 12)

b

 

20 4

2 3

1

x x

xy

Bài 19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

a

7 3

4

1

x

x



, với x>0 (ĐH khối D - 2004)

b

17

1

x x



, với x  0 (ĐH QG HN 2000)

c

50

1

x

x



, với x  0

5

d

12 3 3

2

1

x x x



, với x  0

e

16 3

1

x

 

, với x  0

f

60 14

1

x

x



, với x  0

g

12 3

4

1

x

x



, với x  0

h  2 48

1 x  x

i

20

x

x



, với x  0

j

15 3

2

3

2x

x



, với x  0

Bài 20: Trong khai triển

28

n

x x x



, x  Hãy tìm số hạng không phụ 0

thuộc vào x, biết rằng C n n C n n1C n n2 79

Bài 21: Tìm hệ số của số hạng chứa:

a 8

x trong khai triển

12 5 4

1

x x



b 5

x trong khai triển  5 2 10

1 2 1 3

x  x  x  x (Khối D - 2007)

Bài 22: Giải các phương trình sau:

a 1 2 3 7

2

C C C  n

b C1n 6C n2 6C n3 9n2 14n

c C C n2 n n2 2C C n2 n3 C C n3 n n3 100

d P n3 720A P n5 n5

e 2P n 6A n2 P A n n2 12

f A n3 3A n2 12P n1

g C n4 C n5 3C n61

6

Bài 23: Tìm hệ số của số hạng chứa 8

x trong khai triển 5

3

x x



  , biết rằng

1

4 3 7 3

C  C   n

Bài 24: Cho khai triển 3

2 3

3 n

x

x



Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên

trong khai triển bằng 631 Tìm hệ số của số hạng có chứa 5

x

Bài 25: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức sau

a

18 3

3

1

x

x



b

12

1

x x

 



 

 

Bài 26: Tìm hệ số của số hạng x trong khai triển 4

12

3 3

x x

 



 

 

28

, 0

n

Hãy tìm số hạng không chứa

x Biết rằng C n n C n n1C n n2 79

Bài 28: Tìm x trong khai triển của nhị thức

1 2

2 2

n x



có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng

22

C  C  C 

Bài 29: ìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 2 3 12

n

x x



Biết tổng ba hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển trên là 11

Bài 30: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển  3 156

Bài 31: Tìm số hạng nguyên trong khai triển  3 9

3  2

Bài 32: Tính hệ số của x y trong khai triển 25 10  3 15

x  xy

B Một số bài toán về quy tắc đếm:

I Tóm tắt kiến thức:

1 Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai

phương án A hoặc B Phương án A có thể thực hiện bởi n cách, phương

án B có thể thực hiện m cách Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m

cách

7

2 Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và

B Công đoạn A có thể làm theo n cách, công đoạn B có thể làm theo m

cách Khi đó công việc được thực hiện theo n.m cách

3 Hoán vị (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta

lấy “tất cả” n phần tử đó ta đi sắp xếp vào “n vị trí” đã có sẵn

4 Chỉnh hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó

ta lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, sau đó ta lấy k phần tử đó ta

“sắp xếp vào k vị trí” đã có sẵn thì gọi là “chỉnh hợp chập k của n phần

tử”

5 Tổ hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta

lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, gọi là “tổ hợp chập k của n phần

tử”

Nhận xét: Chỉnh hợp khác tổ hợp ở chỗ là “Chỉnh hợp thì ta lấy ra k

phân tử trong n phần tử rồi đi sắp xếp vào k vị trí đã có sẵn” còn “tổ

hợp thì ta chỉ lấy ra k phần tử trong n phần tử chứ không sắp xếp gì

hết”

* Các chú ý khi giải bài tập

1 Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt

(trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của

bài toán…)

2 Ta thường lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp

xếp có thứ tự hay không Để phân biệt ta làm như sau: Đầu tiên ta đưa ra một đáp

án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án, nếu:

- Tạo nên đáp án mới  có thứ tự  tổ hợp

- Không tạo nên đáp án mới  không có thứ tự  chỉnh hợp

II Bài tập:

Bài 1: Một lớp có 30 học sinh Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn

làm lớp phó và một bạn làm thư ký Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học

sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau

Bài 2: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ

8

a) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi về môi trường

b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ tham gia sân chơi

kiến thức dưới cờ

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh trực an toàn giao thông, biết rằng trong

đó phải có ít nhất 2 học sinh nam

Bài 3: Một trường phổ thông có 5 học sinh giỏi lớp 10, 6 học sinh giỏi lớp 11

và 8 học sinh giỏi lớp 12 Cần chọn 4 học sinh để tham gia đội tuyển thi “Đố

vui để học” Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu mỗi khối có ít nhất một học

sinh

Bài 4: Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn

khác nhau Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên

một tủ sách

a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu 2 quyển kề nhau phải khác nhau

Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu:

a) Số lẻ có 3 chữ số khác nhau

b) Số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau

Bài 6: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ

tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ Hỏi có

mấy cách ?

Bài 7: Từ 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số

đôi một khác nhau

a Nếu số đó là số lẻ

b Nếu số đó là số chẵn

ĐS: a 900 số b 1260 số

Bài 8: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế Hỏi có mấy cách

xếp sao cho :

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề

nhau ?

9

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được

ngồi kề nhau ?

Bài 9: Cho tám chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4

chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10

ĐS: 1260 số

Bài 10: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9 Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy

số đôi một khác nhau và :

a) Gồm 3 chữ số ?

b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ?

c) Gồm 3 chữ số và chẵn ?

d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ?

Bài 11: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm 5

chữ số khác nhau

Bài 12: Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, …., 8, 9)

thỏa chữ số vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số

4, 5, 6 đôi một khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Bài 13: Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác

nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên

Bài 14: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ

X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần

Bài 15: Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,

sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành

Bài 16: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,

2, 3, 6, 9

Bài 17: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của

mỗi số là một số lẻ

Bài 18: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Bài 19: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu:

10

a) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một

b) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5

c) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9

Bài 20: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ

số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3

ĐS: 66 số

Bài 21

a Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu

tiên là số lẻ

b Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba số lẻ

và ba chữ số chẵn

ĐS: a 42.000 số b 64.800 số

Bài 22: Cho các chữ số 0;1; 2;3; 4;5 Từ các chữ số đã cho ta lập được

a Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một

b Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng

đôi một

c Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng

đôi một

ĐS: a 156 số b 36 số c 16 số

Bài 23: Với các chữ số 0;1; 2;3; 4;5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5

ĐS: 1560 số

Bài 24:

a Có thể tìm được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau đôi một

b Từ có chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6; 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi

một khác nhau

ĐS: a 648 số b 3000 số

Bài 25: Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5; 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác

nhau Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6

không đứng cạnh nhau

11

ĐS: 480 số

Bài 26: Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số

khác nhau Hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9

đứng ở vị trí giữa

ĐS: 40.302 số

Bài 27:

a Có nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số

1; 2;3; 4;5

b Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số

1; 2;3; 4;5; 6 mà các chữ số đó nhỏ hơn số 345

ĐS: a 24 số b 50 số

Bài 28: Với các số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có

3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789

ĐS: 171 số

Bài 29: Với các chữ số 1; 2;3; 4;5; 6 ta lập các số mà mỗi số có 5 chữ số,

trong đó các chữ số khác nhau đôi một Hỏi:

a Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2

b Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và số 6

ĐS: a 600 số b 480 số

Bài 30: Cho tập A 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số

khác nhau nhỏ hơn 600.000 được thiết lập từ tập A đã cho

ĐS: 36.960

Bài 31: Cho tập A 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có thể thành lập bao nhiêu số gồm

6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1

ĐS: 42.000 số

Bài 32: Cho tập A 0;1; 2;3; 4;5;6; 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5

chữ số khác nhau đôi một trong các trường hợp sau:

a Số 5 chữ số là số chẵn

b Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1

12

ĐS: a 3000 số b 2280 số

Bài 33: Một lớp học có 25 học sinh Lớp học muốn chọn ra: một lớp trưởng,

một lớp phó, một thủ quỹ mà không kiêm nhiệm Hỏi có bao nhiêu cách

ĐS: 13.800 cách

Bài 34: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn

chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn Một

bì thư chỉ dán 1 tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

ĐS: 1200 cách

Bài 35: Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ Chọn ra một tổ gồm 8 người

Hỏi có bao nhiêu cách chọn để tổ có nhiều nhất là năm nữ

ĐS: 12825 cách

Bài 36: Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử ra một ban cán sự lớp gồm

một lớp trưởng, một lớp phó và 3 ủy viên Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự

lớp

ĐS: 13.160.160

Bài 37: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D và E vào một

chiếc ghế dài sao cho:

a Bạn C ngồi chính giữa

b Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế

ĐS: a 24 cách b 12 cách

Bài 38: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta

chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra

không có đủ ba màu

ĐS: a 645 cách

Bài 39: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn

xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp

chỗ ngồi nếu:

a Các học sinh ngồi tùy ý

b Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi môt bàn

ĐS: a 3.628.800 b 28.800

13

Bài 40: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao

nhiêu cách cử ba người đi dự hội nghị Hội học sinh của trường sao cho trong

ba người đó có ít nhất một cán bộ lớp

ĐS: 324 cách

Bài 41: Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam

Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học

và nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách

ĐS: 90 cách

Bài 42: Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh

được chọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:

a Nếu phải có ít nhất hai nữ

b Nếu chọn tùy ý

ĐS: a 3.764.320 b 8.145.060

Bài 43: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có

bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho:

a Có đúng hai nam trong năm người đó

b Có ít nhất hai nam và ít nhấ một nữ trong năm người đó

ĐS: a 102 số b 12.900 số

Bài 44: Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam

a Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng

nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau

b Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam

ĐS: a 120 cách b 66 cách

C XÁC SUẤT

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của

nó, mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

- Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là

không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là 

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu