LỜI NÓI ĐẦUHiện nay, một bộ phận không nhỏ học sinh chúng ta học môn toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà k
Trang 1LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay, một bộ phận không nhỏ học sinh chúng ta học môn toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm đường lối giải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó
Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việc tìm lời giải cho bài toán đối với rất nhiều học sinh là rất khó khăn, không thê tự tìm đường lối giải được Quá trình tìm đường lối giải có tính chất quan trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán Quá trình này là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo - một khả năng không thê thiếu đối với một người giải Toán
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những bài toán cơ bản của chương trình Toán THPT Nếu một hàm số đã được cho hoặc chuyên được về dạng: hàm đại số đa thức hoặc hàm đại số hữu tỉ thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên dễ hơn nhiều Vì dưới các dạng này, chúng ta có thê sử dụng công cụ: đạo hàm hoặc đồ thị
Tuy nhiên, trong đề thi tuyên sinh Đại học, Cao đẳng những năm gần đây có nhiều bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của những hàm đại
số một biến, đặc biệt là hàm đại số nhiều biến mà việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng công cụ đồ thị hay đạo hàm tỏ ra không hiệu quả Trong những trường hợp này, nếu sắp xếp được ta có thê dùng ẩn phụ lượng giác đê lượng giác hóa các hàm đại số
Trang 2Lượng giác là một trong những phân môn quan trọng và chiếm nhiều thời lượng trong chương trình Toán bậc THPT Các em được rèn luyện nhiều trong việc biến đổi các công thức và giải phương trình lượng giác Lượng giác được ứng dụng rất nhiều trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; ứng dụng trong tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số… Tuy vậy, ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đối với học sinh vẫn còn tương đối mới mẻ và lúng túng
Trên tinh thần đó, chúng tôi đưa ra một số ví dụ có tính chất minh họa
ở một khía cạnh nhỏ của vấn đề Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm đại số ở đây, dưới cách nhìn và sau một số bước biến đổi, ta
có thê linh hoạt chuyên sang các hàm số lượng giác cùng với một lời giải nhiều lúc sẽ ngắn hơn, tốt hơn, đường đi thuận lợi hơn và đặc biệt là nó rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học
Rất mong được sự góy ý, bổ sung của quý đồng nghiệp đê đề tài này được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn
Krông Păc, tháng 04 năm 2010
TRẦN VĂN HÙNG Tổ Toán – Tin Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Trang 3A LƯU Ý BAN ĐẦU
Đê lượng giác hóa các hàm đại số, ta ghi nhớ các dấu hiệu sau:
1 Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thê đặt:
=
= u cos y
u sin x
2 Nếu trong bài toán có biêu thức: a2 −x2 thi có thê đặt:
u sin a
x= hoặc x= a cosu
3 Nếu trong bài toán có biêu thức:
2
2 x
a + hoặc a2 +x2 thì đặt: x = atanu hoặc x = acotu
Trong một số bài toán thì các dấu hiệu này không xuất hiện ngay từ đầu, người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho đê làm xuất hiện các dấu hiệu đó
Trang 4B MỘT SỐ VÍ DU
Bài toán 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
xy 2 y 2 1
) x xy 6 ( 2
2 + +
+
= với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 +y2 =1
(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)
Nhận xét và lời giải:
Hệ thức x2 +y2 =1 giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:
1 u cos u sin2 + 2 =
Vì vậy, ta đặt: x = sinu, y = cosu
Dưới hình thức lượng giác, ta có:
u cos u sin 2 u cos 2 1
) u sin u cos u sin 6 ( 2
2 +
+
+
=
2 u 2 cos u 2 sin
1 u 2 cos u 2 sin 6 P
+ +
+
−
Đê tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành:
(P – 6)sin2u + (P + 1)cos2u = 1 – 2P (**) Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là:
( ) (2 ) (2 )2
P 2 1 1 P 6
P− + + ≥ − ⇔2P2 +6P−36≤0
3 P
6≤ ≤
−
⇔ Vậy, giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6
Bài toán 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
5 x 2 y
P= − + với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức: 36x2 +16y2 =9
Trang 5Nhận xét và lời giải:
Biến đổi 36x2 +16y2 =9 về dạng: 1
3
y 4 3
x
=
+
Ta nghĩ đến việt đặt:
=
=
⇒
=
=
u sin 4
3 y
u cos 2
1 x
u sin 3
y 4
u cos 3
x 6
Khi đó, dưới dạng lượng giác thì: P = sinu cosu 5
4
3
+
− Sử dụng bất đẳng thức: − a2 +b2 ≤asinu+bcosu≤ a2 +b2
Ta suy ra: maxP =
4
25 1 16
9
5+ + =
minP =
4
55 1 16
9
5− + =
Bài toán 3:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
2 y x
xy 4 y 3 P
+
−
=
Nhận xét và lời giải:
Biến đổi hàm P về dạng:
+
+
−
+
=
2 2 2
2
2
2
y
y x
x 4
y x
y 3
P
y x
x y
x
2 2
2
2
+
+
2 2 2
x u
cos ,
y x
y u
sin
+
= +
= Lúc đó, hàm số P dưới hình thức lượng giác là:
P = 3 sin2u – 4 sinu.cosu
Trang 63 u 2 cos 2
3 u 2 sin
= Áp dụng bất đẳng thức: − a2 +b2 ≤asinu+bcosu≤ a2 +b2
Ta được: maxP = 4
minP = -1
Bài toán 4:
Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn: x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
y 1
y x
1
x P
−
+
−
=
Nhận xét và lời giải:
Với x, y > 0 và x + y = 1 nên ta đặt:
=
=
u cos y
u sin x
2
2
< < π
2 u 0
Lúc đó, P =
u cos u sin
u cos u sin u
sin
u cos u
cos
u sin2 + 2 = 3 + 3
Đặt t = sinu.cosu = , 1 t 2
4 u sin
+ π
thí
1 t
t 3 t ) t ( f
3
−
−
−
=
=
(t 1) 0
3 t )
t ( '
2
4
<
−
+
−
= Nên f(t) nghịch biến trên [1; 2] Vậy: minP=f( 2)= 2
Bài toán 5:
Tìm a và b sao cho hàm số:
1 x
b ax
+
+
= đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1
Trang 7Nhận xét và lời giải:
Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x2 cho nên ta có thê lượng gíac hóa bằng cách đặt: x = tanα.
Khi đó, hàm số y trở thành:
α +
α α
= α +
+ α
tan 1
b tan a y
2
b 2 cos 2
b 2 sin 2
a
Áp dụng công thức:
2 2 2
2 b asinu bcosu a b
−
Ta được: max a2 b2
2
1 2
b
2 2
2
1 2
b
Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình:
=
−
∨
=
=
⇔
−
= +
−
= + +
3 b
4 a 3
b
4 a
1 b
a 2
1 2 b
4 b a 2
1 2 b
2 2
2 2
Bài toán 6:
Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz và x, y, z
3
3
≠
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3
z 3 1
z z 3 y 3 1
y y 3 x 3 1
x x 3 z 3 1
z z 3 y 3 1
y y 3 x 3 1
x x
3
−
−
−
−
−
−
−
−
− +
−
− +
−
−
Trang 8Nhận xét và lời giải:
Cấu tạo của các đại lượng, các thành phần tham gia trong biêu thức cần tính giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:
a 3 tan a
tan 3 1
a tan a
tan 3
2
3
=
−
−
(1)
Vì thế ta đặt: x = tana, y = tanb, z = tanc
Khi đó: P trở thành:
P = tan3a + tan3b + tan3c – tan3a tan3b tan3c Mặt khác, ta có:
a tan c tan c
tan b tan b
tan a tan 1
c tan b tan a tan c tan b
tan a
tan )
c b a
tan(
−
−
−
− +
+
= +
Theo công thức lượng giác ta có
tana.tanb.tanc = tana + tanb + tanc
Từ (2), ta suy ra: tan (a + b + c) = 0
Từ (1), ta suy ra: tan(3a + 3b + 3c) = 0
và từ (2), ta suy ra: P = tan3a + tan3b + tan3c – tan3a.tan3b.tan3c = 0
Bài toán 7:
Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
(1 x2)(1 y2)
xy 1 y x P
+ +
− +
=
Nhận xét và lời giải:
Từ điều kiện x, y R∈ và sự có mặt của biêu thức: 1+ x2 và 1+ y2 , ta
đặt:
=
=
v tan y
u tan x
Lúc đó, P trở thành: P =( )( )
(1 tan u)(1 tan v)
v tan u tan 1 v tan u tan
2
+
− +
Trang 9= .cos ucos v
v cos u cos
v sin u sin 1 v cos u cos
) v u
− +
= sin(u + v) cos(u + v)
= sin(2u 2v) 2
Suy ra: maxP =
2
1
và minP =
-2 1
Bài toán 8:
Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn thỏa điều kiện:
abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức
2 2
3 b
1
2 a
1
2 P
+
+ +
− +
=
Nhận xét và lời giải:
Chúng ta lại gặp các biêu thức dạng: 1 + x2, qua đó ta nghĩ đến việc viết lại giả thiết thành:
ac 1
c a b
−
+
=
(giống hình thức của công thức:
y tan x tan 1
y tan x tan )
y x tan(
−
+
=
Cho nên ta đặt: a = tanx, c = tany
< < π
2 y , x
0 thi b = tan(x + y) và ta
được:
y tan 1
3 )
y x ( tan 1
2 x
tan 1
2
+
+ + +
− +
=
y cos 3 ) y x ( cos 2 x cos
=
= cos2x – cos(2x + 2y) + 3cos2y
= 2sin(2x + y).siny + 3 – 3sin2y
Trang 10= sin (2x y)
3
1 3 ) y x 2 ( sin 3
1 y sin ) y x 2 sin(
2 y
sin
−
3
1 3 ) y x 2 sin(
3
1 y
sin
2
+ +
+
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
=
=
+
⇔
= +
= +
−
3
1 y sin
1 ) y x 2 sin(
1 ) y x 2
sin(
0 ) y x 2 sin(
3
1 y sin
3
3
1 arcsin y
k 3
1 arcsin 2
1 4
x
∈
=
π +
−
π
=
Vậy giá trị lớn nhất của P là:
3 10
Trang 11C MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ
Bài 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xy 2 x 2 1
) y xy ( 2
2 + +
+
= với diều kiện x2 +y2 =1
Bài 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
P = 2(x3 + y3) – 3xy với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện x2 +y2 =1
(Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D – 2008)
Bài 3
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
P = x 1+y+ y 1+x với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện x2 +y2 =1
Bài 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
P = x 9−y2 +y 9−x2
Bài 5.
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
( ) (2 )2
y 1 x 1
xy 1 y x P
+ +
−
−
=
(Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008)
Trang 12Bài 6.
Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số: ( )( )
( 2) (2 2)2
2 2 2
2
y 1 x 1
y x 1 y x P
+ +
−
−
=
Bài 7.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 x 1
x 1 y +
+
=
Bài 8.
Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức: P = x + u, biết rằng x, y, u, v thỏa mãn điều kiện:
≥ +
= +
= +
3 5 yu xv
25 v u
3 y x
2 2
2 2
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987)