Bài giảng điện tử :Bất đẳng thức Cô si nằm trong chương trình Đại số lớp 10 được biên soạn khá đầy đủ và chi tiết gồm 11 slide. Các slide được thiết kế rõ ràng, hình thức đẹp.
Trang 3BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỐI VỚI n SỐ KHÔNG ÂM
Cho n số không âm a1, a2,…,an, ta có :
(1)
2 1
2
n
n
a a
a
≥
+ +
+
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi a1=a2=…=an
Ta có (1) tương đương với :
(2)
2
Ta có (1) tương đương với :
(3)
2 1
2
1
n
n
n a a a n
a a
a
≥
Trang 4Aùp dụng (1) ta cũng có :
(4)
2 1
2
1
n
n n
n
n
a a
a n
a a
a
≥
+ +
+
Từ (1) ta có : Nếu tổng S = a1+a2+…+an
không đổi thì tích P = a1.a2….an lớn nhất khi và chỉ khi a1=a2=…=an
Từ (1) ta có: Nếu tích P = a1.a2….an không đổi thì tổng S = a1 +a2+…+an bé nhất
khi và chỉ khi a1 =a2=…=an
Trang 5MỘT VÀI ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Trang 6Bài 1:
Người ta rào một diện tích đất rộng
29400 m2 bằng một hình chữ nhật
ABCD (AB =x ≤ y= BC) và sau đó chia đôi đám đất thành hai phần bằng nhau bằng một hàng rào nữa ( như hình vẽ) .Hỏi kích thước của hình
chữ nhật như thế nào để cho độ
dài hàng rào : d = 3x+2y là ngắn
nhất
B
C
Trang 7A y D
C
Giải
Ta
29400
y ,
0 = >
>
x
Vậy
x
x
d = 3 + 2 29400
Mà 2.29400 .3x 6.29400
x
Vậy d ngắn nhất ⇔
140 3
29400
2
3
29400
2
⇔
=
x x
x x
Từ đó : y =210
Vậy x = 140; y =
210m
Trang 8Bài 2:
Người ta rào một đám
đất hình tam giác có
chu vi là 30m (hình
vẽ).Hỏi độ dài mỗi
cạnh của đám đất là
bao nhiêu thì diện tích
đám đất là lớn nhất
A
a
Giải:
Ta kí hiệu P, S theo thứ tự là diện tích và chu vi của tam giác ABC Ta có:( )
) )(
)(
( 2
1
c p
b p
a p
P S
c b
a P
−
−
−
=
+ +
=
Ta có (P-a), (P-b), (P-c) đều là số dương , theo bất đẳng thức côsi cho ba số
không âm, ta có:
Trang 9(1)
) )(
)(
( 3
) )(
( )
c P
b P
a P
c P
b P
a
P
−
−
−
≥
−
− +
−
Ta có
Dấu (=) xảy ra ⇔ P-a=P-b=P-c ⇔ a=b=c, Ta có (1)
) )(
)(
( 27
) )(
)(
( 3
3
3
c P
b P
a P
P
c P
b p
a P
P
−
−
−
≥
⇔
−
−
−
≥
⇔
S c
P b
P a
P P
P
=
−
−
−
≥
3 3
2
m
10 c
b a
nhất lớn
S nên đổi
không 3
3
p Vì
2
=
=
=
⇔ 2
2
4
3
10
m S
=
Trang 10Bài 3:
Cho hình thang cân ABCD (AD là đáy
lớn ) AB = BC = CD = a Hỏi góc
DCB = α+β bằng bao nhiêu độ để cho
diện tích hình thang ABCD lớn nhất Giải: Ký hiệu S là
diện tích hình
thang ABCD
Ta có HA= acos
α;HB=asin α
= a2sinα cosα+a2cosαsinβ ( vì 0< sin β ≤ 1)
Nên S≤ a2cosα.sinα + a2cosα(dấu “=“xảy ra⇔ sinβ=1)
Ta có S≤ a2cosα(1+sinα) ⇔ S2 ≤ a4cos2α(1+sinα)2
⇔S2 ≤ a4 (1-sinα) (1+sinα) (1+sinα)(1+sinα)
H
β
α
α
a
a
a
Trang 11(3 3 sin α )(1 sin α )(1 sin α )(1 sin α ) 3
1 4
⇔ S a
Ta có S lớn nhất ⇔
o
90
2
1 sin
1 sin
sin 1
sin 3
3
1 sin
=
=
⇔
=
=
⇔
+
=
−
=
α β
α
β α
α β
Từ đó ta có góc DCB= α+β =120o
Chú ý: Trong thực tế người ta ứng
dụng bài toán trên để gò máng
nước và làm mương thủy lợi