Trường THPT Lai Vung 2•... Trường THPT Lai Vung 2B Ví dụ và bài tập: I Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp t
Trang 1Trường THPT Lai Vung 2
S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
Hội đồng bộ môn Toán
Chuyên đề:
Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT
Năm học 2009 – 2010
Trang 2Trường THPT Lai Vung 2
(Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT)
A) Tóm tắt kiến thức cơ bản:
Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau :
1) Bảng các nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp
C
x
dx= +
∫
( 1) 1
1
≠ +
+
= +
α
α
αdx x C
x
( 0)
=
x
dx
C e
dx
e x = x +
∫
(0 1)
=
a
a
dx
a
x
x
C x
∫cos sin
C x xdx= − +
∫sin cos
C x dx
cos
1
2
C x dx
sin
1
2
tanxdx= −ln cosx c+
∫
cotxdx=ln sinx c+
∫
kdx kx C= +
∫
1
≠ +
+
+
=
α
α
a dx b ax
( 0) ln
= +
a b ax dx
C e
a dx
e ax+b = ax+b +
a dx b
∫cos 1sin
a dx b
(ax b)dx= a (ax+b)+C +
cos
1
2
(ax b) dx= −a (ax+b)+C +
sin
1
2
C u
du= +
∫
( 1) 1
1
≠ + +
= +
α
α
αdu u C u
( 0)
=
u du
C e du
e u = u +
∫
(0 1)
=
a
a dx a
u u
C u
∫cos sin
C u udu= − +
∫sin cos
C u du
cos
1
2
C u du
sin
1
2
2) Các tính chất tích phân:
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
a
a
f x dx=
f x dx= − f x dx
Trang 3Trường THPT Lai Vung 2
• ( )
b
a
k f x dx=
b
a
k f x dx∫ ( k là hằng số)
• [ ( ) ( )] ( ) ( )
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
f x dx= f c dx+ f x dx
3) Các công thức lượng giác:
a) Công thức nhân đôi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
b) Công thức hạ bậc:
* sin2a = 1 cos 2
2
a
−
* cos2a = 1 cos 2
2
a
+
c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
* cos cos 1[cos( ) cos( )]
2
a b= a b+ + a b−
* sin cos 1[sin( ) sin( )]
2
a b= a b+ + a b−
* sin sin 1[cos( ) cos( )]
2
a b= − a b+ − a b−
4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
* n a =a1n và n a m =a m n
* n a b.n = n a b ; n n
n
b
b =
* a0 = 1; a1 = a ; a-n = a1n
* a aα. β = aα β+ ; a a
a
α
α β β
−
=
* ( )a b α =a bα α; a a
b b
α α α
=
÷
* ( )aα β =aα β.
5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a2 – b2 = (a+b)(a – b)
2
a b± =a ± ab b+
* a3± = ±b3 (a b a)( 2ma b b + 2)
a b± = ±a a b+ ab ±b
Trang 4Trường THPT Lai Vung 2
B) Ví dụ và bài tập:
I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm Hãy nghiên cứu các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) I1 =
1
3
0 (3x−1) dx
∫
b) I2 =
2 2
0
x
e− + dx
∫
c) I3 =
0
1
3
2x 1dx
−∫ − +
Giải:
a) I1 =
1
3
0
(3x−1) dx
0
x− = − − − =
Vậy: I1 = 5
4
b) I2 =
2
2
0
x
e− + dx
2 2
0
1 1
x
e− +
− = – ( e –
2+2 – e2) = e2–1 Vậy: I2 = e2 –1
c) I3 =
0
1
3
2x 1dx
−∫ − + = 3 1 ln 2 101
2 − +x −
3 (ln1 ln 3) 2
Vậy: I3 = 3ln 3
2
Ví dụ 2: Tính các tích phân
a) J1 = 2( 2 )2
0 1
x + dx
∫
b) J2 =
1
0
2 3 2
x dx x
+
−
∫
c) J3 =
6 1
2
dx x
+
∫
Giải:
a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1
suy ra J1 = 2( 2 )2
0 1
x + dx
2
0 (x +2x +1)dx
2
0
2
x
206 15 Vậy: J1 = 206
15 b) Ta có : 2 3 2 7 1
x
+ = − +
Trang 5Trường THPT Lai Vung 2
suy ra J2 =
1
0
2 3 2
x dx x
+
−
0 0
1 ( 2 7 ) 2 7 ln 2
−
Vậy: J2 = 7ln2 – 2
c) 6 1/2 1/6 1/2 1/6 1/3
1/6 6
x x
−
suy ra J3 = 8( 1/3 ) 4/3 8
3
4
x + dx= x + x
8 2 8 ( 2)
101
4 = 25,25 Vậy: J3 = 101
4
Ví dụ 3: Tính các tích phân
a) K1 = 4
0 sin3 cosx xdx
π
∫
b) K2 = 8 2
0
cos 2xdx
π
∫ c) K3 =
1
2 1
0
1
x
e − − dx
∫
Giải:
a) Ta có: sin3x.cosx = 1(sin4 sin2 )
2 x+ x
suy ra K1 = 1
2
4
0 (sin4x s in2 )x dx
π
∫ 1 1cos 4 1cos 2 04
π
1 2 Vậy: K1 = 1
2 b) K2 = 8 2
0
cos 2xdx
π
∫
Ta có: cos22x = 1 cos 4
2
x
+
suy ra K2 = 1
2
8
0 (1 cos 4 )x dx
π
∫ 1 1sin 4 08
2 x 4 x
π
1
2 1sin4 ( )0
8 4 8
2 8 4
π
Vậy: K2 = 1 1
8 2
π
c) K3 =
1
2 1
0
1
x
e − − dx
∫
Ta có : e2x–1 – 1 = 0 ⇔e2x–1 = 1 = e0 ⇔2x – 1 = 0 ⇔ x = 1
2 ∈[ ]0;1
Trang 6Trường THPT Lai Vung 2
Suy ra K3 =
1
1 2
1 0
2
(e x− −1)dx + (e x− −1)dx
2
1 0
2
0
2e 2 2e
−
0
1
2e 2e 2
1 1
2e
−
2e
Vậy K3 = 1 1 1
1
2e 2e
−
• Các bài tập tự luyện:
Tính các tích phân:
1) L = ∫1 − +
0
2
4 3 2)
5 6
2) I = ∫4 −
6
2
3
sin
sin
1
π
π
dx x
x
KQ: I =
2
2 2
x
x
∫1 −+
0 4 3
2
x
x x
∫2 −
2
3 5
2
KQ: K = – 2
5) M = 12∫
0
5 sin 7 sin
π
xdx
6) N =
4
1
2
x− dx
2 7) P = 3 2
0
sin 3xdx
π
6
π
8) Q = 4 2
0
tan xdx
π
4
π
−
9) R =
/4
/6sin cos
dx
π
3
II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( )
b
a
f x dx
∫
1) Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Trang 7Trường THPT Lai Vung 2
Ví dụ 4: Tính tích phân
a) I1 =
2
2
0
4 x dx−
∫
b) I2 =
3
2 0
1
9+x dx
∫
Giải:
a) I1 =
2
2
0
4 x dx−
∫
+ Đặt x = 2sint , t ;
2 2
π π
(u(t) = 2sint) ⇒ dx = 2costdt
+ Cận mới:
x= 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒sint = 0 ⇒ t = 0
x = 2 ⇒ 2sint = 2 ⇒sint = 1 ⇒ t =
2
π
+ I1 =
2
2
0
4 x dx−
0
4 4sin 2cott dt
π
−
0
1 sin cott dt
π
−
0 cos costt dt
π
0
cos tdt
π
∫
I1 = 22
0 (1 cos 2 )t dt
π +
0
1 sin2 2
π
Vậy I1 = π
Chú ý:
+ Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số π
là 3,141592654
+ Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2
0
a
a −x dx
2 2
π π
(u(t) = asint) ⇒ dx = acostdt rồi thực
hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ
b) I2 =
3
2 0
1
9+x dx
∫
+ Đặt x = 3tant, t ;
2 2
π π
⇒ dx = 3(1 +tan
2t)dt + Cận mới:
x = 0 ⇒ 3tant = 0 ⇒tant = 0 ⇒ t = 0
x = 3 ⇒ 3tant = 3 ⇒tant = 1 ⇒ t =
4
π
+ I2 =
3
2 0
1
9+x dx
2 0
3(1 tan )
9 9 tan
t dt t
π + +
2 0
3(1 tan ) 9(1 tan )
t dt t
π + +
3 4
0
dt
π
∫ = 1
3 t0π4 = 1
3 4
π
Vậy I2 =
12
π
Trang 8Trường THPT Lai Vung 2
Chú ý:
Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2
0
1
a
dx
a +x
2 2
π π
⇒ dx = a(1 + tan
2t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự
2) Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là α và β thì α =u(a) β = u(b)
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.
Ví dụ 5: Tính các tích phân
a) J1 = 2
2
1
x
xe dx
∫
b) J2 =
1
1 ln
e
x dx x
+
∫ c) J3 =
1
3 4 5 0
x x − dx
∫
d) J4 =
2
2 0
4−x xdx
∫
e) J5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
π
+
∫
Giải:
a) J1 = 2
2
1
x
xe dx
∫
+ Đặt u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒xdx = 1
2 du + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 12 = 1; x = 2 ⇒ u = 22 = 4 (α = 1, β = 4)
+ J1 = 2
2
1
x
xe dx
4
1
1 2
u
e du
2
4 1
u
e = 1
2( e4 – e1) = 1
2( e4 – e) + Vậy J1 = 1
2( e4 – e) b) J2 =
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
+ Đặt u = 1 ln x+ ⇒u2 = 1 + lnx ⇒2udu = 1
xdx + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1+ = 1; x = e ⇒ u = 1 ln e+ = 2
Trang 9Trường THPT Lai Vung 2
+ J2 =
1
1 ln
e
x dx x
+
2
1
u.2udu
3
2 3 1
u = 2
3
3 3 ( 2) −1 ) = 2(2 2 1)
+ Vậy J2 = 2(2 2 1)
Ghi nhớ:
• Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx⇒du = 1
xdx
• ln1 = 0 và lne = 1
c) J3 =
1
3 4 5 0
x x − dx
∫
+ Đặt u = x4 – 1 ⇒ du = 4x3dx ⇒x3dx = 1
4du + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 – 1 = –1; x = 1 ⇒ u = 14 – 1 = 0
+ J3 =
1
3 4 5 0
x x − dx
0 5 1
1 4
−∫ = 1
4
0 6
1 6
u
−
= 1 24
−
+ Vậy J3 = 1
24
−
d) J4 =
2
2 0
4−x xdx
∫
4 x− ⇒u2 = 4 – x 2 ⇒2udu = – 2xdx ⇒xdx = –udu
+ Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2
4 0− = 2; x = 2⇒ u = 2
4 2− = 0 + J4 =
2
2 0
4−x xdx
0
2
u.(−u du)
0 2 2
u du
−
3
2 3 0
u = 8 3 + Vậy J4 = 8
3 e) J5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
π
+
∫
+ Đặt u = 1 + sinx⇒ du = cosxdx
+ Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 +sin0 = 1; x =
2
π ⇒ u = 1 + sin
2
π
= 2 + J5 =
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
π
+
2 4 1
du u
2 4
1
u du−
∫ = 1
3
−
2 3 1
u− = 7
24 + Vậy J5 = 7
24
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
Trang 10Trường THPT Lai Vung 2
a) I = ∫6 + x x dx
0
cos sin 4
1
π
KQ: I =
6
1 3
3 −
b) J = ∫2 x − x dx
0
2
c) K = e x x dx
∫1 −
0
.
2
KQ: K =
e
e
2
1
−
d) L = ∫e + x x dx
1
) ln 3
(
KQ: L =
8 13
e) M = ∫21 +
0
2
7 x
dx
KQ: M =
7 3
π
g) N = ∫1 +
0 2 x
x
e
dx
e
KQ: N = ln
3
2 e+
h) P =
1
2010
0
( 1)
x x− dx
4046132
(Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10 -7 )
2) Tính các tích phân:
a) I1 = 2
0
(2sinx 3) cosxdx
π
+
b) J1 =
2
2
1
3
x x + dx
3
−
c) P =
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x
+
+ +
2 0
5 tan
cos
x dx x
π
+
e) L1 =
2
1
1 3ln
ln
e
x xdx x
+
g) N1 =
2
x
x
e
dx
e −
III) Phương pháp tích phân từng phần:
• Công thức:
b a
udv uv= − vdu
• Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ) ( )
b
a
I =∫P x Q x dx
Trang 11Trường THPT Lai Vung 2
Dạng
hàm
P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay
coskx
P(x): Đa thức Q(x):e kx P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)
P(x): Đa thức Q(x): 2
1
sin xhay 2
1
cos x
Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích phân
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân
* u = ln(ax + b)
* dv = P(x)dx * u = P(x)* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới dấu tích phân
Ví dụ 6: Tính các tích phân
a) I1 =
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫
b) I2 =
1
2
0
(x+1)e dx x
∫
c) I3 =
3
2
2 ln(x x−1)dx
∫
Giải:
a) I1 =
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫
• Đặt: u = 2x ⇒ du = 2dx;
dv = cos2xdx ⇒ v = 1
2sin2x
• I1 =
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫ = x.sin2xπ0/4 –
/4
0
sin 2xdx
π
∫ = sin 0 1cos 2 0/4
π
= 1(cos cos 0)
4 2
π −
Vậy: I1 = 1
4 2
π −
b) I2 =
1
2
0
(x+1)e dx x
∫
• Đặt: u = x +1 ⇒ du = dx;
dv = e2xdx ⇒ v = 1
2 e2x
• I2 =
1
2
0
( 1) x
x+ e dx
1 2
0
1 ( 1) 2
x
x+ e –
1 2
0
1 2
x
e dx
0
[(1 1) (0 1) ]
x
(2 1) ( 1)
2 e − −4 e − = 3 2 1
4
e −
Vậy: I2 = 3 2 1
4
e −
c) I3 =
3
2
2 ln(x x−1)dx
∫
Trang 12Trường THPT Lai Vung 2
• Đặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = 1
1
x− dx;
dv = 2xdx ⇒ v = x2
• I3 =
3
2
2 ln(x x−1)dx
2 ln( 1)
x x− –
3 2
x dx
x−
∫ = 9ln2 – 0 –
3
2
1
1
x
+ +
−
∫
= 9ln2 –
3 2
2
2
x
+ + − = 8ln2 – 7
2 Vậy: I3 = 8ln2 – 7
2
• Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu
Đặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = 1
1
x− dx;
dv = 2xdx ⇒ v = x2 – 1 = ( x + 1)( x – 1)
Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x Như đã biết
2
2xdx x= +c
∫ , trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0 Trong bài tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn
Ví dụ 7: Tính các tích phân
a) J1 = ∫40 cos 2
π
x xdx
b) J2 =
2
2 1
ln xdx
x
∫
Giải:
a) J1 = ∫40 cos 2
π
x xdx
• Đặt: u = x ⇒ du = dx;
dv = 2
1 cos x dx ⇒ v = tanx
• J1 = ∫4
0
2
cos
π
x xdx = x.tanx0π/4–
/4
0
tan xdx
π
∫ = tan 0 ln cos 0/4
π
ln
4
π −
Vậy: J1 = ln 2
4
π −
Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm ∫tanxdx= −ln cosx c+ thì có thể biến đổi tanx = sin
cos
x
x rồi đặt u = cosx (đổi biến loại 2)
b) J2 =
2
2 1
ln xdx
x
∫
• Đặt: u = lnx ⇒ du = 1
x dx
Trang 13Trường THPT Lai Vung 2
dv = 2
1
dx
x dx ⇒ v = 1
x
− (HD: 2
2
1
x x
−
= nên có 1 nguyên hàm là 1 1
1
x x
−
= −
• J2 =
2
2 1
ln xdx
x
2
1
1
ln x x
2
2 1
1
dx x
∫ =
2
1
ln 2 ln1
− + − = 1ln 2 (1 1)
− − − =1(1 ln 2)
2 −
Vậy: J2 = 1(1 ln 2)
2 −
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I 1=
1
1
(x 3)e dx x
−
+
2
3e 1
e
−
b) I2 = ∫e − x xdx
1
ln ) 2 1
2
1−e2
c) I3 = ∫4
0
2
cos
π
x
4
π
– ln 2
d) I4 = 2
1
2ln
dx x
e
2 )
2) Tính các tích phân:
a) K1=2
0
.cos sin
x x xdx
π
8
π
b) K2 =
2
3
1
ln x
dx x
16 8−
c) K3 = ∫1
0
dx
e x
KQ: J = 2
d) K4 = 2
1
ln
e
x xdx
3
2 1 9
e +
IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và
y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = ( )
b
a
f x dx
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = ( ) ( )
b
a
f x −g x dx
Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2 Giải:
Trang 14Trường THPT Lai Vung 2
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = ( )
b
a
f x dx
∫ thì S =
2 2
0 1
x − dx
∫
• Phương trình: x2 -1= 0 ⇔x = ±1 , nghiệm x = 1 ∈[0;2]
• Vậy S =
1 2
0 (x −1)dx
2 2
1 (x −1)dx
1 3
0
3
x x
2 3
1
3
x x
− = 2 (đvdt)
Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x
Giải:
• Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x ⇔x2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 và x = -2
• Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = ( ) ( )
b
a
f x −g x dx
1 2
2
2
x x dx
− + −
∫
• Vậy S =
1 2
2
2
x x dx
− + −
1 2
2
(x x 2)dx
− + −
1
3 2
2
2
3 2
x x
x
−
2 (đvdt)
* Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b]
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
Cơ sở lí thuyết:
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = 2( )
b
a
f x dx
Ví dụ 10:
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
Giải:
• Phương trình 2x – x2 = 0 ⇔ x = 0 và x = 2
• Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = 2( )
b
a
f x dx
Ta có V =
(2x x ) dx (4x 4x x dx)
0
4
x
x x
15
π
(đvtt)
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
Giải:
• Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = 0 và x = –1
• Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: V1 =
0
2 2
1 ( x ) dx
π
−
−
5
• Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: V2 =
0
3 2
1 ( )x dx
π
−∫ = 1
7 Vậy thể tích V cần tính là: V = V V1− 2 = 2
35 (đvtt)
Trang 15Trường THPT Lai Vung 2
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành
KQ: S =
3
32 đvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x – 2
KQ: S =
2
9 đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3]
KQs: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) (P): y 2 = 8x và x = 2 KQ: 16π đvtt
5
162π đvtt
V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước cĩ liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1
(TNTHPT năm 2001 – 2002 )
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
1 x 2 x
1 x x x 2
2 3
+ +
− + + , biết F(1) =
3 1
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=
2 x
12 x 10
x2
+
−
− và trục hoành Ox
(TNTHPT năm 2002 – 2003 )
Bài 3: Cho hàm số y =
3
1
x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và
các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox
(TNTHPT năm 2003 – 2004 )
Bài 4: Tính tích phân: I = ∫/2 +
0
2 ).cos sin
(
π
dx x x x
(TNTHPT năm 2004 – 2005 )
Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :
y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1
b Tính tích phân: I = ∫0/24−cos2
2 sin
π
dx x
x
(TNTHPT năm 2005– 2006)
Bài 6: Tính tích phân J = ∫e dx
x
x
1
2
ln
Bài 7: Tính tích phân I
1
2 3 4
1 (1 )
x x dx
−
Bài 8: Tính tích phân I = x(1 cos )x dx
π +
