Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút x= 0, còn mút x=l chuyển động theo quy luật Asinωt, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không.. Tìm dao động dọc của một thanh đồng chấ
Trang 1Bài tập
PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ
Phương trình truyền sóng
1 Vẽ dạng của dây vô hạn dao động tự do nếu vận tốc ban đầu bằng không, còn độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )
>
≤
<
−
≤
<
−
≤
=
3 0
3 2
3
2 1
1
1 0 0 ,
x khi
x khi x
x khi x
x khi x
tại các thời điểm t0 = 0 ,
2
1
1 =
t , t2 = 1 , t3 = 2 , 5 Xét dao động tại các điểm
0
=
x , x= 2 , x= 1 , x= − 1 ( khi nào bắt đầu dao động, khi nào thôi ), biết vận tốc truyền sóng a= 2
2 Vẽ dạng của dây nửa vô hạn, gắn chặt ở đầu mút, dao động tự do, biết rằng vận tốc ban đầu bằng không, độ lệch ban đầu được cho bởi:
( )
+∞
≤
≤
≤
≤
−
≤
≤
=
x
l x l
l x x
u
l 2
2
x sin
0 0 ,
nÕu
nÕu l
nÕu π
tại các thời điểm t bằng
a
l
4 ,
a
l
,
a
l
4
5 ,
a
l
2
3 ,
a
l
4
7 ,
a
l
4
9
3 Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x= 0 ,
l
x= , biết độ lệch ban đầu được cho bởi:
( ), 0 4 ( 2 )
l
x l x x
= ( 0 ≤ x≤l ), còn vận tốc ban đầu bằng không
Đáp số:
( )
l
at n l
x n n
t x u
n
π π
π
1 2 cos 1 2 sin 1 2
1 32
,
3
+ +
+
=
4 Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x= 0 ,
l
x= , biết độ lệch ban đầu bằng không, và vận tốc ban đầu được cho bởi:
>
<
=
∂
∂
2 c -x 0
2 c -x c -x cos 0
π
π
nÕu
nÕu
v t
x u
,
Trang 2trong đó v0 là hằng số dương và
2 2
π π
−
<
<c l
Đáp số:
( )
l
at k l
x k
l
k k
l
k l
c k a
v t x u
k
π π
π
π π
1
2 cos sin
4 ,
1
2
2 2
2
0 ∑∞
=
−
5 Xác định dao động dọc của một thanh đồng chất nếu một mút gắn chặt, còn một mút tự do, biết các điều kiện ban đầu:
( )x f
t
u t
=
∂
∂
=0
Đáp số:
l
x n l
at n b
l
at n a
t
x
u
n
n n
2
1 2 sin 2
1 2 sin 2
1 2 cos ,
1
π π
+
+
=∑∞
=
l
x n x
f
l
a
l
1 2 sin
,
dx l
x n x
F x n b
l
1 2 sin 1
2
6 Cũng như bài 5 , nhưng cả hai mút đều tự do
Đáp số:
( ) [ ( ) ( ) ]
l
x n l
at n b l
at n a dx x tF x f
l
t
x
u
n
n n
l
π π
π
cos sin
cos
1
,
1 0
∑
=
+ +
+
=
l
x n x f
l
a
l
n = ∫
0
cos
l
x n x F a n b
l
n = ∫
0
cos
7 Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén nên độ dài của nó còn lại là 2l(1 - ε) Lúc t = 0, người ta buông ra Chứng minh rằng độ lệch u của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi:
l
at n l
x n n
l t x u
n
n
2
1 2 cos 2
1 2 sin 1 2
1 8
,
1 2
π π
π
+
−
= ∑∞
=
+
, nếu gốc toạ độ đặt ở tâm của thanh
Hướng dẫn: Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu là:
( , ) 0
=
∂
−
∂
x
t l
u , ( ), = 0
∂
∂
x
t l
u , u( )x, 0 = − εx , ( ).0 = 0
∂
∂
t
x
8 Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút x= 0 , x=l trong một môi trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu:
Trang 3( )x f u
t=0 = , F( )x
t
u
t
=
∂
∂
=0
Đáp số:
l
x n t q b t q a t
x u
n
n n n n
π
sin sin
cos ,
1
∑∞
=
+
=
2 2
2
2
2
h l
a
n
l
x n x f l a
l
n = ∫
0
sin
l
x n x F lq
a q
h b
l
n n n
n = + ∫
0
sin
Hướng dẫn: Phương trình dao động là:
2
2 2 2
2
2
x
u a t
u h t
u
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
9 Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút x= 0, còn mút x=l
chuyển động theo quy luật Asinωt, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không
Đáp số:
l
x n l
at n
l
a n l
a A l
a
t x a
A t x u
n
n
π π
π ω
ω ω
ω ω
sin sin
1 2
sin
sin sin
,
1
∑∞
=
−
−
− +
Hướng dẫn: Tìm u dưới dạng u = v +w, trong đó w thoả mãn phương trình
dao động của dây với các điều kiện w( )0 ,t = 0 , w( )l, =t Asin ωt , còn v cũng thoả
mãn phương trình đó với các điều kiện v( )0 ,t = 0 , v( )l, =t 0 , v( )x, 0 = −w(x, 0) ,
t
x w
t
x
v
∂
∂
−
=
∂
10 Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất có một mút cố định, còn mút
kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết rằng
độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không
Đáp số:
∑∞
+ +
−
−
=
2
1 2 sin 2
1 2 cos 1 8
,
n
n
n
l
x n l
at n E
Ql x E
Q t x u
π π
14 Một màng hình vuông đồng chất lúc t= 0 có độ lệch được xác định bởi
(x y ) Axy(b x)(b y)
u , , 0 = − − , trong đó 0 ≤x≤b , 0 ≤ y≤b , dao động với vận tốc ban đầu bằng không, mép gắn chặt Hãy xác định dao động của màng
Trang 4Đáp số: ( )
at m
n m
n
b
y m b
x n Ab
t y x
u
n
π
π π
π
2 2
6
4
1 2 1 2 cos 1
2 1 2
1 2 sin 1 2 sin 64
,
+ +
+ +
=
15 Một màng hình chữ nhật 0 ≤x≤l , 0 ≤ y≤m , gắn chặt ở mép, lúc t= 0
bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng, sao cho:
→
ε
σ
0
trong đó A là hằng số, v0 là vận tốc ban đầu, σε là lân cận của tâm của màng Hãy xác định dao động của màng
Đáp số:
=
Ψ
Ψ
=
1 ,
sin , 2
, 2 4
, ,
n k
kn kn
kn
kn
at y
x
m l ml
a
A t
y x
µ
với ( )
m
y n l
x k y
x
kn
π π
sin sin
, =
2 2
+
=
m
n l
k
kn
Phương trình truyền nhiệt
1 Tìm nghiệm của phương trình:
2
2 2
x
u a t
u
∂
∂
=
∂
∂ (0 <x<l , t> 0) thoả mãn các điều kiện :
( )0 ,t = 0
u , u( )l, =t 0 (t> 0),
( )
≤
<
≤
<
=
l x l l
l x x
x u
2
x
-2 0
0 ,
nÕu
nÕu
∑∞
=
+
− +
−
=
2 2 2
2 2
1 2 sin 1
2 exp 1 2
1 4
,
n
n
l
x n l
t a n
n
l t x
π
2 Một thanh đồng chất có độ dài l , hai mút được giữ ở nhiệt độ không,
nhiệt độ ban đầu trong thanh được cho bởi:
2
x l cx
=
Hãy xác định phân bố nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t > 0
Trang 5Đáp số: ( )
∑∞
=
+
− +
=
2 2 2
3 3
1 2 sin 1
2 exp 1 2
1 8
,
x n l
t a n
n
c t x
π
3 Một thanh đồng chất có độ dài l , mút x = 0 được giữ ở nhiệt độ không, còn tại mút x = l có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài giữ ở nhiệt độ không Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở thời điểm t > 0 biết rằng nhiệt độ
ban đầu trong thanh được cho bởi u ( )x
t=0 = ϕ
Đáp số: ( )
x x
l
x l
t a p
p
p l
t x
l
n
n n
n
ϕ µ µ
µ
µ
sin sin
exp 1
2 ,
0
2 2
2
2 2
∫
∑∞
− +
+
+
=
trong đó µ1, µ2, là những nghiệm dương của phương trình
p
0
>
= hl
4 Một thanh đồng chất có một mút cách nhiệt, còn một mút giữ ở nhiệt độ
không đổi u0 Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết nhiệt độ ban đầu (x ) ( )x
u , 0 = ϕ
=
+
− +
=
2 2 2 0
2
1 2 cos 4
1 2 exp ,
n n
l
x n l
t a n
a u
t x
( )π
π ϕ
1 2
4 1 2
1 2 cos
+
l
x n x
l
l
Hướng dẫn: Tìm u(x,t) có dạng u(x,t) = u0 + v(x,t)
5 Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất, biết nhiệt độ ban đầu
bằng không, nhiệt độ tại mút x = l bằng không, còn nhiệt độ tại mút x = 0
được cho bởi u(0,t) = At
Đáp số:
=
− +
+
−
−
−
=
2 2 2 2
2 3
2 2
3
2
2
sin exp
1 2
2 3
6 1
,
x n l
t a n n
a
A l l
x l
x l
x a
A l l
x At
t
x
Hướng dẫn: Tìm u(x,t) dưới dạng u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t) , trong đó u1(x,t) thoả mãn phương trình truyền nhiệt, thoả mãn điều kiện u1(0,t) = At , u1(l,t) = 0
6 Cũng bài toán như bài 5, nhưng u(0,t) = 4Asinωt
−
−
−
=
2 2 2
sin exp
2 sin 1
,
n
n
l
x n l
t a n n
a A t l
x A t x
π ω
Trang 6trong đó ∫
=
l
l
a n a
0
2
cos
7 Tìm nghiệm của phương trình:
2 2
x
u t
u
∂
∂
=
∂
∂
thoả mãn các điều kiện:
( )0 ,t = 0
Ae t l
l
x A x
u , 0 =
∑∞
=
−
−
−
−
− +
=
2 2 2
2 2
2
sin exp
1 2
,
n
n t
l
x n t l
t n l
n n
Al e
l
Ax t x
π π
8 Một tấm đồng chất hình chữ nhật 0 ≤x≤ p , 0 ≤ y≤q có mép được giữ ở nhiệt độ không Tìm phân bố nhiệt độ trong tấm ở thời điểm t> 0, nếu nhiệt độ lúc t= 0 được cho bởi u(x,y, 0)= ϕ(x,y)
Đáp số: ( ) ∑∞
=
+
−
=
1
2 2
2
exp ,
,
m n mn
q
y n p
x m t q
n p
m A
t y x
q
y n p
x m y x pq A
p q mn
π π
4
0 0
∫ ∫
9 Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật D={0 ≤ x≤l; 0 ≤ y ≤m}thoả mãn điều kiện biên sau:
( y) Ay(m y)
u 0 , = − , u( )l,y = 0 , u( )x, = 0 0 , u(x,m)= 0
10 Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật D={0 ≤ x≤l; 0 ≤ y≤m}thoả mãn điều kiện biên sau:
(0 ,y)= 0
u , u( )l,y = 0 , ( )
l
x B x
sin 0
, = , u(x,m)= 0
11 Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật
D= 0 ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ thoả mãn điều kiện biên sau:
( y) Ay(m y)
u 0 , = − , u(l,y)= 0 , ( )
l
x B x
sin 0
, = , u(x,m)= 0
12 Tìm hàm điều hoà trong miền hình chữ nhật D={0 ≤ x≤l; 0 ≤ y≤m}thoả mãn điều kiện biên sau:
Trang 7( y) A
u 0 , = , u( )l,y = Ay , ( ),0 = 0
∂
∂
y
x u
, ( , )= 0
∂
∂
y
m x u
13.Tìm miền hypebolic, parabolic và eliptic của phương trình:
0 ' 2
1
"
"xx− yy+ u y =
y yu
Đưa phương trình về dạng chính tắc trong miền hypebolic
14 Đưa phương trình sau về dạng chính tắc:
(1 ) " ' 0
"xx+ +y u yy+u x=
15 Đưa phương trình sau về dạng chính tắc:
0 '
'
"
" + 2 + 2x + y=
yy
y
u u y
12 Tính tích phân:
S
dS z n z y n y x n
xcos , cos , cos ,
trong đó S là mặt (elipxoit :
1
2
2 2
2 2
2
= + +
c
z b
y a
nr là pháp tuyến ngoài đối với S
13.Tìm mô men quán tính của mặt chỏm cầu đồng chất có phương trình
2 2
2
2
R z
y
x + + = bị cắt bởi mặt phẳng z=H ( chỏm phía trên ) đối với trục 0z
Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị
14.Tìm toạ độ trọng tâm của phần mặt nón 2
2
2 2 2
z H
R y
x + = bị cắt bởi mặt phẳng
H
z= Biết tỷ khối mặt không đổi và bằng đơn vị