PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A.. Phương pháp quy nạp tóan học Giả sử muốn chứng minh Pn đúng n N * .. Chứng minh bằng quy nạp 1.. Xác định một dãy số - Xác định nhờ khai triển các số h
Trang 1GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
Bài 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A Tóm tắt lý thuyết
1 Phương pháp quy nạp tóan học
Giả sử muốn chứng minh P(n) đúng n N * Ta thực hiện hai bước sau:
- Bước 1: Chứng minh P(1) đúng
- Bước 2: Giả thiết P(k) đúng Với giả thiết đó, ta chứng minh: P(k+1) đúng
Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra P(n) đúng n N *
2 Dãy số
a) Định nghĩa: Dãy số(dãy sồ vô hạn) là một hàm số xác định trên N*
- Người ta thường viết dãy số đước các dạng sau:
+ Dạng khai triển: u1, u2, u3, , un,
với u1 = u(1), u2 = u(2), un = u(n),
+ Dạng vắn tắt: (un) Trong đó: u1 là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát
+ Dãy số hữu hạn: u1, u2, , um
b) Dãy số tăng – Dãy số giảm
- Dãy số (un) tăng nếu un 1 u , n N *n - Dãy số (un) giảm nếu un 1 u , n N *n Dãy số tăng hạy giảm gọi chung là đơn điệu
c) Dãy số bị chặn
Dãy số (un) bị chặn m,M R : n N*, m u n M
- Nếu un M thì (un) bị chặn trên - Nếu un m thì (un) bị chặn dưới
B Ví dụ và bài tập
Dạng 1 Chứng minh bằng quy nạp
1 Chứng minh:
a) 12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1), n N *
6
b) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n(n 1)(n 2)
3
2 Chứng minh: n N *
a) 3 2
n 3n 5n 3 b) n
4 15n 1 9 c) 2n n 2 n
6 3 3 11
3 Chứng minh: n N *
a)
n 1 x nx
sin sin
sin x sin 2x sin(nx)
x sin 2
2.4.6 (2n) 3n 1
4 Tính tổng: n
1.2 2.3 n(n 1)
, n N *
Dạng 2 Xác định một dãy số
- Xác định nhờ khai triển các số hạng
- Nhờ công thức của số hạng tổng quát
- Nhờ công thức truy hồi
5 Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1, 3 , 4 , ,5 6 , 7
6
2 2 3 3 5 5 6 6
Trang 2GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
6 Cho dãy số có số hạng tổng quát là: n n
, n N *
7 Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi sau: 1
u 11
u 10u 9n 1
Tính un theo n
Dạng 3 Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số
- Xét hiệu số: u n+1 – un
- Hoặc xét tỉ số: n 1
n
u u
(nếu các số hạng đều dương)
8 Khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) un 2n 1
n 1
2n 1
2
d) un n
n 1
n
u
4
Dạng 4 Khảo sát tính bị chặn của dãy số
9 Xét tính bị chặn của dãy số:
a) n
2n 1
u
n 1
2n u
2n 1
10 Cho dãy số (un) xác định bởi: 2, , , , 3 4 5
2 3 4 a) Xác định (un) b) Chứng minh dãy số (un) giảm và bị chặn
11 Cho dãy số
1
n
n 1
u
2
, n N *
a) Chứng minh: un 1 n 21
2
b) Chứng minh dãy số (un) giảm và bị chặn
12 Chứng minh dãy số: n
1.2 2.3 n(n 1)
tăng và bị chặn trên
13 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số:
14 Chứng minh dãy số sau bị chặn: n
n dau can
u 2 2 2
bị chặn trên
15 Cho dãy số 1, , ,4 3 8 5, ,
5 5 17 13 a) Xác định (un) b) Chứng minh dãy số (un) giảm và bị chặn
16 Cho dãy số: n
1.3 2.4 n(n 2)
Trang 3GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com
Bài 2 CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
A Tóm tắt lý thuyết
1 Định nghĩa
a) Cấp số cộng: (un) là cấp số cộng với công sai d un 1 und, n N *
b) Cấp số nhân: (un) là cấp số nhân với công bội q un 1 u q, n N*n
2 Số hạng tổng quát:
a) Cấp số cộng: un u1(n 1)d, n 2 b) Cấp số nhân: n 1
u u q , n 2
3 Tính chất của 3 số hạng liên tiếp
a) Cấp số cộng: 2un un 1 u , n 2n 1 b) Cấp số nhân: 2
u u u , n 2
4 Tổng n số hạng đầu của cấp số
a) Cấp số cộng: n 1 n
n
2
n
1 q
1 q
B Ví dụ và bài tập
1 Cho 3 số theo thứ tự: 2, 6, 34
a) Chứng minh 3 số trên tạo thành cấp số nhân mà không tạo thành cấp số cộng
b) Phải thêm vào số hạng thứ hai một số x bằng bao nhiêu để được cấp số cộng?
u 1 2 ; u 2 3 ; u 3 4 ; u 4 5 Tính un
3 Tìm 3 số hạng tạo thành cấp số cộng biết tổng 3 số đó bằng -3 và tổng bình phương của chúng bằng
35
4 Tìm 3 số tạo thành cấp số nhân biết tích và tổng của chúng lần lượt bằng 1
64 và 7
8
5 Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng 1 và số hạng 2
thì ta được cấp số nhân
6 Tính tổng: S 1 2 2232 4252 62 99 21002
50so9
S 9 99 999 99 9
8 a) Xác định cấp số cộng (un) biết: 1 3 5 7
b) Xác định cấp số nhân (vn) biết: 1 3 5
9 a) Xác định cấp số cộng (un) biết: S10 = 170 và S12 = 252
b) Xác định cấp số nhân (vn) biết: S4 = 40 và S8 = 680
10 a) Xác định cấp số cộng (un) biết: u20 = 1
2 và S20 = 105 b) Tính tổng S8 của cấp số nhân (vn) biết: v8 = 128 và công bội q = - 2
11 Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng biết rằng khi cộng thêm -2 vào số hạng thứ hai ta được cấp số nhân.
Sau đó, khi cộng thêm 1 vào số hạng thứ ba ta được cấp số nhân
12 Cho 3 số 2 , ,1 2
b a b b c tạo thành cấp số cộng Chứng minh a, b, c tạo thành cấp số nhân
13 Tính
a 1 (a 1) (a 1)
Trang 4GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com