Bài giảng Cơ học kết cấu 2

Nội dung cơ bản của phương pháp ➢ Không thể tính phản lực, nội lực trực tiếp trên hệ siêu tĩnh đãcho mà phải tính thông qua một hệ khác cho phép dễ dàngxác định phản lực, nội lực → Hệ cơ

CƠ HỌC KẾT CẤU II

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

BỘ MÔN: SỨC BỀN - KẾT CẤU

PGS.TS ĐÀO VĂN HƯNG

Email: dvhung@tlu.edu.vn Tell/zalo: 0988851926

Điều kiện cần:

*) Hệ bất kỳ:

 Nối D miếng cứng với nhau bằng T liên kết thanh, K liên kết khớp

và H liên kết hàn (đã quy đổi về liên kết đơn giản) thành một hệ BBH.

 n: hiệu số giữa số bậc tự do có thể khử được và số bậc tự do cần khử:

n = T + 2K + 3H - 3 (D - 1)

a) n < 0: hệ thiếu liên kết, hệ biến hình.

b) n = 0: hệ đủ liên kết, cần phải xét thêm điều kiện đủ Nếu hệ BBH thì gọi là hệ tĩnh định.

c) n > 0: hệ thừa liên kết, cần phải xét thêm điều kiện đủ Nếu

hệ BBH thì gọi là hệ siêu tĩnh Số n biểu thị số lượng liên kết thừa tương đương với liên kết thanh (liên kết loại một) có trong hệ.

Điều kiện cần: n = T + 2K + 3H - 3 (D - 1)  0

5.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH

5.1.1 Định nghĩa

 Hệ siêu tĩnh: dùng các phương trình cân

bằng tĩnh học không thể xác định được

tất cả các phản lực và nội lực

Hệ siêu tĩnh là hệ BBH và “thừa” liên kết

 Liên kết “thừa” là những LK không cần

thiết cho sự cấu tạo hình học của hệ

nhưng vẫn cần cho sự làm việc của công

trình.

 HST được sử dụng rộng rãi trong thực tế

(cầu giao thông, nhà dân dụng và công

nghiệp, đập ngăn, cống, cầu máng, trạm

thủy điện)

5.1.2 Đặc điểm của hệ siêu tĩnh

 Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong HST nói chung nhỏhơn trong HTĐ có cùng kích thước và tải trọng → dùng HST

sẽ tiết kiệm vật liệu hơn so với HTĐ tương ứng

 Trong HST phát sinh các nội lực do thay đổi nhiệt độ,chuyển vị các gối tựa, sự chế tạo và lắp ráp không chính xácgây ra (những nguyên nhân này không gây ra nội lực trongHTĐ).

 Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vật liệu, kích thước vàhình dạng của tiết diện trong các thanh (EJ, EF)

5.1.3 Bậc siêu tĩnh n

 Bậc siêu tĩnh n của HST bằng số lượng LK thừa đã qui đổi ra

LK thanh ngoài số liên kết cần thiết đủ để cho hệ BBH

 Cách tính n:

 Theo định nghĩa

 Loại bỏ dần LK: để đưa HST đã cho về HTĐ Số LK bị loại

bỏ (đã qui đổi ra LK thanh) là bậc siêu tĩnh cần tìm

 Theo công thức đơn giản n = 3V – K

V - số chu vi kín ; K – số khớp đơn giản

(quan niệm trái đất là miếng cứng hở)

5.1.4 Các phương pháp tính hệ siêu tĩnh

1 Phương pháp lực: phương pháp tổng quát áp dụng chokết cấu dạng thanh bất kỳ với các nguyên nhân khác nhau

(Hệ có bậc siêu tĩnh càng cao việc tính toán càng phức tạp)

2 Phương pháp chuyển vị: thường dùng để tính cho hệdầm, khung Việc tính toán khá thuận tiện và có khả năng tựđộng hoá cao

 Nhược điểm: phải giải hệ phương trình nhiều ẩn số

Ngoài ra, có thể sử dụng phương pháp phân phối mô men (PP số) – Giáo trình CHKC_Bộ môn SB-KC_Trường ĐHTL.

5.2 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC

TÍNH HỆ SIÊU TĨNH5.2.1 Nội dung cơ bản của phương pháp

➢ Không thể tính phản lực, nội lực trực tiếp trên hệ siêu tĩnh đãcho mà phải tính thông qua một hệ khác cho phép dễ dàngxác định phản lực, nội lực → Hệ cơ bản

➢ HCB là hệ BBH được suy ra từ HST đã cho bằng cách loạibớt các liên kết thừa

➢ Để bảo đảm cho HCB làm việc giống HST đã cho ta cần phải

bổ sung thêm các điều kiện phụ

➢ Nếu loại bỏ tất cả các liên kết thừa thì HCB là tĩnh định, còn nếu chỉ loại bỏ một số liên kết thừa thì HCB là siêu tĩnh có bậc thấp hơn

 Tại vị trí loại bỏ liên kết trong HST có các phản lực XB, YBcòn trong HCB không có các thành phần lực này.

 Trong HST, chuyển vị theo phương của các liên kết bị loại bỏ đều bằng 0, còn trong HCB các chuyển vị này có thể tồn tại

a

Để HCB làm việc giống HST đã cho, ta cần:

 Trong HCB, đặt các lực X1, X2, , Xn tương ứng với vị trí và phương của các liên kết bị loại bỏ.

Ẩn số là lực (P, M) → phương pháp lực

 Thiết lập điều kiện bổ sung: buộc chuyển vị trong HCB tương ứng

với vị trí và phương của các liên kết bị loại bỏ phải bằng với các chuyển vị thực tương ứng trong hệ siêu tĩnh (thường bằng 0)

Chuyển vị trong HCB tương ứng với vị trí và phương của ẩn số X1,

X2, ,Xn do các lực X1, X2, ,Xn và do các nguyên nhân bên ngoài (tải trọng P, sự thay đổi nhiệt độ t, sự chế tạo lắp ráp không chính xác và chuyển vị gối tựa ) gây ra phải bằng 0

 Phương trình cơ bản của phương pháp lực

n - bậc siêu tĩnh và HCB tĩnh định

Chú ý:

 Khi chọn HCB cho HST chịu các chuyển vị cưỡng bức  tại các gối tựa,

để vế phải của phương trình cơ bản luôn bằng không như trường hợp tải trọng và nhiệt độ tác dụng ta cắt các liên kết có chuyển vị cưỡng bức mà không loại bỏ nó

 Khi chọn HCB cho hệ dàn siêu tĩnh hoặc hệ siêu tĩnh có các thanh hai đầu khớp với độ cứng hữu hạn (EF  ) và tải trọng không tác dụng trên thanh, chỉ được phép cắt và thay thế bằng các cặp lực XK ngược chiều nhau mà không được phép loại bỏ.

 km - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực XK do lực

Xm gây ra trong hệ cơ bản;

 kP, kt, k - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực XK

do riêng tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị gối tựa gây ra trong

hệ cơ bản.

 km là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực XK do riêng lực Xm=1 gây ra trong HCB

 Phương trình cơ bản thứ k có dạng:

k1.X1 + k2.X2 + + kk.Xk + + kn.Xn + kP + kt + k = 0

 Hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực

 kk - hệ số chính ; km (với k  m) - hệ số phụ

Hệ phương trình chính tắc có thể viết dưới dạng ma trậnnhư sau:

2 Cách tính các hệ số và số hạng

 Hệ số

Các hệ số chính kk luôn dương, các hệ số phụ km có thể dương, âm hoặc bằng không

 Chuyển vị do riêng tải trọng gây ra trong HCB

- Biểu đồ nội lực do riêng tải trọng gây ra trong HCB

 Chuyển vị do riêng nhiệt độ gây ra trong HCB

Với những hệ gồm những thanh thẳng có tiết diện khôngđổi trong từng đoạn thanh và nhiệt độ thay đổi như nhaudọc theo chiều dài của từng đoạn thanh, dùng công thứcthực hành:

 Chuyển vị do riêng chuyển vị cưỡng bức của gối tựa gây ratrong HCB

 Nếu nguyên nhân tác dụng trên hệ siêu tĩnh do chế tạo, lắpráp không chính xác gây ra

5.2.3 Cách tìm nội lực trong hệ siêu tĩnh

1 Cách tính trực tiếp: đặt tất cả các ẩn lực đúng chiều và trị số vào HCB cùng với tải trọng đã cho, tính toán như đối với HTĐ

2 Cách dùng nguyên lý cộng tác dụng

Mô men uốn, lực cắt, lực dọc trong hệ siêu tĩnh do P, t,  gây ra có thể xác định theo biểu thức cộng tác dụng

3 Cách vẽ biểu đồ lực cắt, lực dọc

Ta có thể vẽ biểu đồ lực cắt từ biểu đồ mô men đã biết và xác định biểu đồ lực dọc từ biểu đồ lực cắt đã biết.

a Xác định giá trị lực cắt tại đầu mỗi đoạn thanh

QAB - giá trị lực cắt tại tiết diện A của thanh AB trong hệ siêu tĩnh.

- giá trị lực cắt tại tiết diện A của thanh AB do tải trọng tác dụng trong đoạn thanh AB gây ra khi coi thanh đó như một dầm đơn giản hai đầu khớp.

MAB - hiệu đại số các tung độ mô men ở hai đầu đoạn thanh A và B.

MAB- lấy dấu dương khi từ trục thanh quay một góc nhỏ hơn 90 o về phương của đường nối hai tung độ mô men ở hai đầu thanh là thuận chiều kim đồng hồ và lấy dấu âm khi quay ngược chiều kim đồng hồ

b Xác định giá trị lực dọc từ lực cắt:

dựa trên cơ sở khảo sát sự cân bằng về lực của các nút hoặc của từng phần hệ được tách ra khỏi hệ thanh (thông qua các phương trình cân bằng hình chiếu)

5.3 CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG

5.3.1 Hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động

5.3.1 Hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động

Ví dụ

Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men uốn trong khung chịu sự thay đổi của nhiệt độ có kích thước và sơ đồ như hình vẽ Cho biết chiều cao h của các tiết diện không đổi, h = a/10 EJ = const Vật liệu có hệ số dãn nở vì nhiệt là 

Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men uốn trong khung siêu tĩnh cho trên hình

5.19a khi thanh AB có chiều dài chế tạo bị hụt một đoạn là 

Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men uốn trong dầm liên tục cho trên hình 5.20a,

khi ngàm A bị xoay thuận chiều kim đồng hồ một góc  = /l và gối tựa C

bị lún xuống một đoạn bằng  Cho biết EJ = const.

Ví dụ: Xác định lực dọc trong các thanh của dàn Biết EF = const.

n = D + C - 2M = 6 + 3 - 2.4 = 1

11X1 + 1P = 0

29 14:56

5.4 CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH

5.4.1 Cách tính chuyển vị

 Giải hệ siêu tĩnh một lần ở trạng thái thực “m”, còn trạngthái phụ “k” sẽ được tính trên hệ cơ bản tĩnh định bất kỳđược suy từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ các liênkết thừa

 G/sử cần tính c/vị ngang tại k do nguyên nhân “m” gây ra (P, t, ).

 - chuyển vị ngang tại k do các ẩn lực và tải trọng đã cho gây ra trên hệ cơ bản tĩnh định

 - chuyển vị tương ứng tại k do nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức tại các liên kết tựa gây ra trên hệ cơ bản tĩnh định đã chọn làm trạng thái phụ “k”

5.4.2 Ví dụ áp dụng

Xác định góc xoay tại nút B ( B=?) Cho biết các biểu đồ mô men uốn trên

hệ siêu tĩnh MP, Mt, M như hình 5.25a, b, c.

5.5 CÁCH KIỂM TRA TÍNH TOÁN TRONG

PHƯƠNG PHÁP LỰC

5.5.1 Kiểm tra quá trình tính toán

1 Kiểm tra các biểu đồ đơn vị và biểu đồ

2 Kiểm tra các hệ số km và các số hạng tự do

- biểu đồ mô men đơn vị tổng cộng

3 Kiểm tra kết quả giải hệ phương trình chính tắc

Thay thế các lực Xk tìm được vào hệ phương trình chính tắc ban đầu

5.5.2 Kiểm tra biểu đồ nội lực cuối cùng

 Ví dụ

37 14:56

5.6 CÁC BIỆN PHÁP ĐƠN GIẢN HOÁ KHI TÍNH

HỆ SIÊU TĨNH CÓ SƠ ĐỒ ĐỐI XỨNG5.6.1 Chọn sơ đồ hệ cơ bản đối xứng

 Loại bỏ liên kết tại các vị trí nằm trên trục đối xứng của hệ

 Hệ phương trình chính tắc có dạng:

, - đối xứng, - phản đối xứng

5.6.3 Phân tích nguyên nhân tác dụng bất kỳ thành đối xứng và phản đối xứng

5.6.4 Biện pháp biến đổi sơ đồ tính

 Thay thế việc tính hệ đx bằng việc tính nửa hệ với sơ đồ

1. Hệ đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng đối xứng

2 Hệ đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng phản đối xứng

Hệ đối xứng, tải trọng đối xứng

a Trục đx không trùng trục thanh trong hệ

14:56

47

49

Hệ đối xứng, tải trọng phản xứng

a Trục đx không trùng trục thanh trong hệ

51

6.1.1 Các giả thiết (ngoài các giả thiết chung)

1. Coi các nút cứng trong hệ là tuyệt đối cứng → các thanh qui

tụ tại nút đều xoay một góc như nhau và gọi là góc xoay của nút.

2. Trong khung và dầm, bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng do Q,

N (không đúng với nguyên nhân nhiệt độ).

3. Trước và sau biến dạng, khoảng cách giữa hai đầu một đoạn

thanh theo phương ban đầu của thanh là không đổi (không đúng với nguyên nhân nhiệt độ).

 Nếu hệ khớp BBH: nt = 0

 Nếu hệ khớp biến hình: nt bằng số liên kết thanh

chống thêm vào vừa đủ để cho hệ khớp trở thành BBH

 Lập bảng tra phản lực và nội lực của các dầm siêu tĩnh một nhịp có EJ = const, chịu tác dụng của P, t,  bằng phương pháp lực.

59 14:56

61 14:56

6.2 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ TÍNH HỆ SIÊU TĨNH CHỊU TẢI TRỌNG BẤT ĐỘNG

Ẩn là chuyển vị nút, HCB là HST thêm liên kết, bản chất củaphương trình cơ bản là phản lực

6.2.1 Hệ cơ bản

➢ Đặt thêm vào các nút của hệ các liên kết để ngăn cản hết tất cả các chuyển vị còn lại của các nút có trong hệ, biến các thanh trong hệ thành các dầm một nhịp độc lập tương

tự như các thanh dầm trong bảng tra

➢ Ngăn cản chuyển vị xoay của nút cứng: liên kết chốt (liên kết “ngàm”, liên kết mô men)

➢ Số liên kết mô men được thêm vào bằng số nút cứng của hệ

 Để ngăn cản chuyển vị thẳng của nút, đặt vào nút liên kết thanh chống

 Số liên kết thanh thêm vào bằng số chuyển vị thẳng độc lập của các nút

 HCB của phương pháp chuyển vị là duy nhất

6.2.2 Hệ phương trình chính tắc

 Để tìm Z1, Z2 phản lực mô men tại liên kết D và phản lựcthanh chống thêm vào trên HCB tương đương phải bằngphản lực tương ứng trên hệ ban đầu (= 0)

0

R1(Z ,Z ,P)

2

 Ptr cơ bản tổng quát của hệ có n ẩn số tại liên kết

thêm vào thứ k có dạng

(k = 1,2, ,n) Đây là hệ phương trình cơ bản của PP chuyển vị

 RkZm là phản lực tại liên kết thêm vào thứ k trên hệ cơ

bản do ẩn chuyển vị tại liên kết thêm vào thứ m là Zm

gây ra

 RkP là phản lực tại liên kết thêm vào thứ k trên hệ cơ bản

do tải trọng đã cho gây ra trên hệ cơ bản

65

0

Rk(Z ,Z , ,Z ,P)

n 2

0 R

R

R R

n 2

1 n

2

14:56

 rkm là phản lực đơn vị tại liên kết thêm vào thứ k do ẩn chuyển vị Zm=1 gây ra trên HCB

rn1Z1 + rn2Z2 + + rnnZn + RnP = 0

6.2.3 Xác định các hệ số và số hạng tự do

❖r km (m=1,2, ,n) - phản lực tại liên kết thêm vào thứ k do lần lượt liên kết thêm vào thứ 1,2, ,n chuyển dịch cưỡng bức 1 lượng bằng đơn vị gây ra trên HCB

❖R kP - phản lực tại liên kết thêm vào thứ k do tải trọng đã cho gây ra trên HCB

❖r km và R kP được xác định từ điều kiện cân bằng mômen tại nút

K hoặc ptcb hình chiếu do Zm= 1 và do tải trọng đã cho gây ra trên HCB

 Chiều dương của các phản lực trên lấy theo chiều dịch

chuyển của ẩn ZK (góc xoay, chuyển vị thẳng)

69 14:56

6.2.4 Vẽ biểu đồ mô men uốn

 Giải hệ phương trình chính tắc → Z 1 , Z 2, Z n

 Từ M suy ra Q, từ Q suy ra N như trong phương pháp lực

 Để kiểm tra biểu đồ M cuối cùng theo phương pháp chuyển vị chỉ cần xét dạng, xét cân bằng mô men nút, xét cân bằng bộ phận là đủ

6.2.3 Xác định các hệ số và số hạng tự do

 r km (m=1,2, ,n) - phản lực tại liên kết thêm vào thứ k do lần lượt liên kết thêm vào thứ 1,2, ,n chuyển dịch cưỡng bức 1 lượng bằng đơn vị gây ra trên HCB

 R kP - phản lực tại liên kết thêm vào thứ k do tải trọng đã cho gây ra trên HCB

 r km và R kP được xác định từ điều kiện cân bằng mômen tại nút K hoặc ptcb hình chiếu do Zm= 1 và do tải trọng đã cho gây ra trên HCB

 Chiều dương của các phản lực trên lấy theo chiều dịch

chuyển của ẩn ZK (góc xoay, chuyển vị thẳng)

Ví dụ

6.4 TÍNH HỆ SIÊU TĨNH KHI CÓ CHUYỂN VỊ GỐI TỰA

6.6 TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP

 Lựa chọn phương pháp tính thông thường trước hết căn

cứ vào số ẩn xác định theo mỗi phương pháp

 Thường gặp những kết cấu có phần này dùng PP lực lợi hơn, còn phần kia thì dùng PP chuyển vị lợi hơn → PP hỗn hợp

Ví dụ

P P

+ + = + +  = (6.10) Trong đó các hệ số chính r 11 ,  22 và các số hạng tự do R 1P ,  2P có ý nghĩa và cách tính như

đã biết trong mỗi phương pháp

r 11 , R 1P phản lực thêm vào thứ 1 (nút B) lần lượt do Z 1 =1 và tải trọng đã cho gây nên trên

hệ cơ bản, được xác định bằng cách tách xét cân bằng mô men tại nút B trên biểu đồ M và 1 MoP

 22 ,  2P - chuyển vị tại tiết diện F theo phương ẩn lực X 2 lần lượt do X 2 =1 và tải trọng đã cho gây nên trên hệ cơ bản, được xác định theo công thức Mo viết dưới dạng nhân biểu đồ như sau:

 là chuyển vị tại tiết diện F theo phương ẩn lực X 2 do ẩn chuyển vị Z 1 = 1 gây nên trên

hệ cơ bản Để tính chuyển vị này ta dùng công thức M o tính chuuyển vị do gối tựa dời chỗ do liên kết tựa dời chỗ ( 

=

 = − 

 n

1 i

i m

i k

k R ) Ta nhận thấy trên hệ cơ bản, khi liên kết ngàm xoay một góc

Z 1 = 1, phần khung bên phải BDEF không bị biến dạng mà chỉ xoay xung quanh nút B, do đó cũng

có thể tính  bằng phương pháp hình học thông thường (hình 6.18c) hoặc theo định lý tương hỗ 21

giữa phản lực đơn vị và chuyển vị đơn vị, ta có quan hệ  = - 21 r 12

M 2

M 2

M 2

M o p