Bài giảng Cơ học cơ sở 1

CHƯƠNG1 CÁC NGUYÊN LÝ TỔNG QUÁT TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Khoa Cơ khí – Bộ môn Cơ học kỹ thuật CƠ HỌC CƠ SỞ 1 CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ NGUYÊN LÝ TỔNG QUÁT 1 1 Cơ học kỹ thuật 1 Cơ học (Vị trí và[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Khoa Cơ khí – Bộ môn Cơ học kỹ thuật

CƠ HỌC CƠ SỞ 1

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ

NGUYÊN LÝ TỔNG QUÁT

1.1 Cơ học kỹ thuật

1 Cơ học (Vị trí và đối tượng)

 Cơ học: cơ học vật rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn

biến dạng, và cơ học chất lỏng.

• Nghiên cứu trạng thái đứng yên hay chuyển động của

các vật thể chịu tác dụng của hệ lực.

 Cơ học vật rắn: tĩnh học và động lực học

• Tĩnh học nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật.

• Động lực học nghiên cứu các vật chuyển động có gia tốc.

 Cơ học cơ sở I: tĩnh học

2 Một số sự kiện

 Galileo (1564 -1642)

• 1638: “Luận giải và chứng minh toán học liên quan

đến hai khoa học mới”

 Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

• 1788: “Cơ học giải tích”

1.2 Các khái niệm cơ bản

1 Bốn đại lượng cơ bản (khái niệm)

• Thời gian được quan niệm là sự nối tiếp của các sự kiện.

• 1 giây = 9,192,634,770 chu kỳ của bức xạ điện từ, tương ứng với sự

chuyển dời giữa hai mức siêu tinh tế của trạng thái cơ bản của xezi–

133 (1967) (đồng hồ NIST F-1 sai số 1 giây/300 triệu năm)

• Thứ nguyên: [T] Đơn vị: (s) giây

 Khối lượng

• Khối lượng là một thuộc tính của vật chất, ta sử dụng chúng để so

sánh tác động của một vật với một vật thể khác.

• 1 kg = khối lượng của 1 dm 3 nước tinh khiết ở nhiệt độ 4.0°C/39.2°F

(1790s) Hoặc khối trụ bằng hợp chất platin-iriđi có cùng khối lượng (1889).

• Thứ nguyên: [M] Đơn vị: (kg) - SI (slug) - FPS

 Lực

• Lực được xem như là tác dụng “đẩy” hay “kéo” của một vật lên một

vật khác Lực được biểu diễn một cách đầy đủ bởi độ lớn, phương chiều, và điểm tác dụng của nó.

• Thứ nguyên: [M][L]/[T] 2 Đơn vị: 1N = 1kg.1m/s 2 SI (lb)

-FPS

• Ký hiệu: F hoặc

• Lực tập trung biểu diễn một lực tác dụng lên một vật thể tại một điểm.

• Lực phân bố biểu diễn lực tác dụng lên một vật thể trên một diện tích.

F

Sự lý tưởng hóa

* Chất điểm:

Một chất điểm có khối lượng có thể bỏ quakích thước mà không làm ảnh hưởng đếntác dụng của lực vào nó

Ví dụ: kích thước của trái đất là khôngđáng kể khi so sánh với quỹ đạo của nó, và

do đó trái đất có thể được mô hình hoágiống như một chất điểm khi nghiên cứuchuyển động trên quỹ đạo của nó

* Vật rắn tuyệt đối: tập hợp các chất

điểm, trong đó khoảng cách giữa các chất điểm là không đổi trong cả trước

và sau khi chịu lực tác dụng.

Vật rắn tuyệt đối viết tắt là vật rắn.

*Cơ hệ và hệ vật rắn

1.3 Các định luật của Niutơn

Ba định luật Niutơn về chuyển động của chất điểm

Định luật thứ nhất

Định luật thứ hai

Định luật thứ ba

Định luật vạn vật hấp dẫn

Định luật 1

Một chất điểm ban đầu ở trạng tháiđứng yên hoặc chuyển động trên mộtđường thẳng với vận tốc không đổi sẽ giữnguyên trạng thái ban đầu nếu như chấtđiểm không chịu tác dụng bởi một hệ lựckhông cân bằng

Định luật 2

Một chất điểm dưới tác dụng bởi một lựckhông cân bằng F sẽ chuyển động với gia tốc a có cùng phương chiều với lực tác

dụng và có cường độ tỷ lệ thuận với lựctác dụng

F = ma

Định luật 3

bằng nhau về trị số, trái chiều và cộng tuyến

CHƯƠNG 2

VÉCTƠ LỰC VÀ MÔMEN CỦA LỰC

2.1 VÉCTƠ LỰC

1 VÔ HƯỚNG VÀ VÉCTƠ

- Một đại lượng mô tả bởi một số âm hoặc

dương được gọi là một vô hướng A (A)

- Một véctơ là một đại lượng mà có cả trị số và

phương chiều A  A

cùng chiều với A nếu a > 0

ngược chiều với A nếu a < 0

Chia A cho a đưa về phép nhân: với a ≠ 0

b Cộng và trừ véctơ

- Cộng véctơ

Áp dụng qui tắc hình bình hành

Đặt hai véctơ A và B tại cùng điểm gốc của chúng Véctơ tổng

R là đường chéo của hình bình hành

Áp dụng qui tắc dựng hình tam giác ( trường hợp đặc biệt)

Véc tơ B cộng véctơ A theo cách nối điểm đầu của véctơ A với điểm cuối của véctơ B Véctơ tổng R là véctơ được nối từ gốc của véctơ A tới ngọn của véctơ B ( hoặc ngược lại).

- Trừ véctơ

Hiệu hai véctơ A và B được biểu diễn như

sau:

R = A – B = A + (–B)

- Phép phân tích véc tơ

Sử dụng quy tắc hình bình hành ta có thểphân tích một véctơ ra thành hai thànhphần theo hai phương biết trước

Định lý hàm sin, cos

3 Cộng các véctơ lực áp dụng qui tắc

hình bình hành

Trường hợp có nhiều hơn hai lực cùng đặttại O ( đồng quy) ta vẫn áp dụng lần lượtquy tắc hình bình hành để nhận được hợplực của nó

FR = ( F1 + F2 ) + F3

Ví dụ

Đinh ốc như trên hình vẽ chịu tác dụng của hai

lực F1 và F2 Xác định trị số và phương của véctơ hợp lực của hai lực trên.

Ví dụ

Lực F độ lớn 500 N được phân tích ra thành hai thành

phần dọc theo thanh AB và AC Xác định góc  hợp

bởi phương của lực F và phương ngang như hình vẽ,

sao cho thành phần FAC có chiều từ A tới C và có độ lớn là 400 N.

500 N

4 Cộng các véc tơ lực áp dụng các véctơ Đềcác (Áp dụng phương pháp chiếu)

a Các véctơ Đề các

Hệ tọa độ bàn tay phải

Hệ tọa độ bàn tay phải

Các thành phần vuông góc của vectơ

A = A x + Ay + Az

A = A x i + Ayj + Azk

Biểu diễn véctơ Đềcác

uA = cosi + cosj + cosk

k j

A A

A A

cos cos2   2   2  

A = AuA = Acosi +Acosj +Acosk

= Axi + Ayj +Azk

Ví dụ

Biểu diễn lực F dưới dạng véctơ Đề các

cos 2  + cos 2  + cos 2  =1

cos2 + cos 2 60o + cos245o =1

1  (0.5)  (0.707)   0.5

F = Fcosi + Fcosj + Fcosk = (100.0i + 100.0j + 141.4k) N

 = 60 0 hoặc  = 120 0 (Chọn  = 60 0 vì Fx > 0)

* Hệ lực đồng quy ( Hợp hệ lực đồng quy)

* Nếu hệ lực đồng phẳng (Trong mặt phẳng x-y)

F

= arctg

F



Ví dụ

Xác định độ lớn và hướng của hợp lực

2 2 R

2.1.5 Véctơ vị trí

Véc tơ định vị : r = xi + yj + zk

Tổng quát hơn, véctơ r xác định hướng từ

điểm A đến điểm B trong không gian

r = rAB = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k

- Các bài toán tĩnh trong không gian, phươngchiều của véctơ lực được xác định bởiđường thẳng đi qua hai điểm.

- Lực F được xác định cùng phương, chiều với véctơ r hướng từ A tới B.

Phương chiều của r được xác định bởi vectơ đơn vị u, nên:

Ví dụ

Một người đàn ông kéo một sợi dây với một lực là 70lb

như hình vẽ Hãy biểu diễn lực này có điểm đặt ở A theo véctơ Đề các và xác định phương chiều của nó.

Véc tơ định vị r

Tọa độ điểm A(0, 0, 30 ft) và B(12 ft, -8 ft, 6 ft)

Độ lớn của véc tơ r được xác định là chiều dài

của đoạn dây AB

Lực F

Biểu diễn lực F thông qua vectơ đơn vị u

Các góc chỉ phương được xác định là góc

giữa véctơ r (hoặc véctơ F) và chiều

dương của các trục tọa độ có gốc đặt tại A

2.1.6 Tích vô hướng

A.B = A B cos θ (0 ≤ θ ≤ 1800)

Các phép toán

 Tính giao hoán : A.B = B.A

 Nhân với một số:

a(A.B) = (aA).B = A.(aB) = (A.B)a

 Tính phân phối : A(B + D) = (A.B) + (A.D)

Công thức trong tọa độ Đềcác.

AB A xi A yj A zk B xi B y j B zk

 A B x x  A B y y  A B z z

Các ứng dụng cơ học

1.Xác định góc tạo bởi giữa hai véctơ hoặc hai đường thẳng giao nhau.

2 Xác định các thành phần của vectơ trên phương song

song và vuông góc với đường thẳng

Ví dụ

Xác định độ lớn của hình chiếu của lực tác

dụng lên ống có độ lớn 100 lb lên trục BC

như hình vẽ

Các phép tính với nhân hữu hướng hai véctơ

Công thức véctơ Đề các

i x j = k i x k =  j i x i = 0

j x k = i j x i =  k j x j = 0

k x i = j k x j =  i k x k= 0

Công thức véctơ Đề các :

2 Mômen của lực lấy đối với một điểm

và một trục định trước

a Công thức vô hướng

Xét lực F và điểm O nằm trên

mặt phẳng Mômen của lực F

lấy đối với điểm O hoặc lấy

đối với trục đi qua O và vuông

góc với mặt phẳng trên là đại

lượng véctơ MO, được biểu

diễn có cả độ lớn và hướng.

Độ lớn

Hướng của nó được xác định

bởi qui tắc bàn tay phải

Chiều quay

Trục lấy mômen

a)

d F

M O 

Hợp mômen của hệ lực phẳng.

Nếu hệ lực nằm trong mặt

phẳng x-y, thì mômen của

mỗi lực thuộc hệ lấy đối với

+

Ví dụ

Xác định hợp mômen của bốn lực tác dụng lênthanh lấy đối với điểm O được cho như hìnhvẽ

b Công thức véctơ

Mômen của lực lấy đối với tâm O hoặc đối với trục lấy mômen đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng chứa

điểm O và F, nói chung được biểu diễn bởi phép nhân

NHẬN XÉT

* Ta có:

r trong các công thức được hiểu là

véc tơ nối từ điểm O đến một điểm

bất kỳ trên đường tác dụng của lực F

Thì:

Ý nghĩa: Nguyên lý này có ứng dụng quan trọng trong việc giải các bài toán và chứng minh các

lý thuyết sau này

Ví dụ

Lực F tác dụng vào góc cuối của dầm công

xôn Xác định mômen của lực lấy đối với O

Phương pháp véctơ

Sử dụng phương pháp véctơ, véctơ lực và

véctơ định vị được thể hiện như hình vẽ

c.Mômen của một lực lấy đối với một trục định trước

Xét mômen của lực F đối với trục aa có hai cách

phân tích:

- Cách 1: Phân tích vô hướng

Giả sử da là khỏang cách vuông góc từ giá của lực

F đến trục aa tính được Lúc này:

Độ lớn: Ma = Fda

Phương chiều: Xác định theo quy tắc bàn tay phải.

Ví dụ

Lực F = {-40i + 20j + 10k} tác dụng tại điểm

A như hình vẽ Hãy xác định mô men củalực này lấy đối với trục x và trục a

- Phương pháp véctơ

rA = {-3i + 4j + 6k} m ; ux = i,

= 1[4(10) – 6(20)] – 0{(–3)(10) – 6(–40)] + 0[(–3)(20) – 4(–40)] = –80 N.m

=  [4(10) – 6(20)] – [(  3)(10) – 6(  40)] + 0[(  3)(20) – 4(  40)] = 120 N.m

- Phương pháp đại số

Mx = (10 N)(4 m) – (20 N)(6 m) = – 80 N.m

Tính M a bằng phương pháp đại số thì sẽ phức tạp hơn phương pháp véctơ.

3 Mômen của ngẫu lực

a Ngẫu lực, mômen của ngẫu lực, ngẫu lực tương

đương.

- Ngẫu lực:

Ngẫu lực là một cặp 2 lực song song, có cùng độ lớn, ngược chiều nhau và không cùng giá, cách nhau một khoảng d

• Dưới tác dụng của ngẫu, vật rắn

sẽ chuyển động quay hoặc có

xu hướng quay

- Mômen của ngẫu lực

M = rA  (-F) + rB  F ; M = r x F

Véc tơ mômen ngẫu lực là một véctơ tự do

Công thức vô hướng để xác định mômen của ngẫu:

Hướng và chiều như hình vẽ.

- Ngẫu lực tương đương

Hai ngẫu lực được gọi là tương đương nhau nếu chúng cùng sinh ra một mô men

M = Fd

b Hợp mômen các ngẫu lực

( Hợp hệ ngẫu lực)

Vì các véctơ mômen ngẫu là các véctơ tự do, nên ta

có thể đặt chúng tại một điểm bất kỳ P trên vật để cộng véctơ.

R   (  )

Ví dụ

Thay thế 2 ngẫu lực tác dụng lên đường ống trong hình bằng một mô men ngẫu lực tổng hợp.

Phương pháp véc tơ

M1 = Fd = 150 N(0.4 m) = 60 N.m ; M1 {60 } N mi 

2 CD C

4 3 (0.3 ) 125 - 125

Mômen ngẫu lực tổng hợp trở thành

R  1  2  {60  22.5  30 } N m 

§ 2.3 Hợp hệ lực và hệ ngẫu lực

1 Hệ tương đương

Hai hệ lực tương đương ?

- Khi điểm O nằm trên đường tác dụng của

lực

- Khi điểm O không nằm trên đường tác dụng của lực

2 Hợp hệ lực và hệ ngẫu lực

• Khi một vật rắn tuyệt đối chịu tác dụng củamột hệ lực và hệ mômen lực ( hoặc hệ ngẫulực), để thuận tiện cho việc nghiên cứu cáctác động bên ngoài lên vật thể của hệ lực tathay hệ bằng một hợp lực và một mômenlực tổng hợp tương đương tác dụng tại mộtđiểm O xác định

- Xét điểm O không nằm trên đường tác dụngcủa các lực thì hệ lực sẽ không thay đổi tácdụng nếu ta di chuyển các lực tới điểm O vàthêm vào các mômen lực

F R = F

M Ro = M C + M O

Nếu hệ lực nằm trong mặt phẳng (x-y) và các

mô men ngẫu lực của hệ vuông góc với mặtphẳng này, tức là dọc theo trục z, thì các hệthức trên tương đương với 3 hệ thức đại sốsau:

3 Dạng tối giản khi thu gọn hệ lực và hệ

ngẫu lực

a.Thu gọn về một hợp lực

- Khi một hệ lực và hệ mômen ngẫu lực thu về

tâm O được FR = F và MRo = MO vuông góc với nhau

Vị trí của điểm P tính từ điểm O luôn có thể xác định được P phải nằm trên trục bb vuông góc

với cả đường tác dụng của lực FR và trục aa, chọn sao cho thỏa mãn biểu thức vô hướng

hay là

RO R

b.Thu gọn về một xoắn

- Thế nào là xoắn?

Kết hợp của một mô men ngẫu và một lực cộng tuyến được gọi là một xoắn hay một đinh ốc Trục xoắn cùng đường với tác dụng của lực

Khi thu gọn về tâm O được FR và MRo, tạo với nhau góc

MRo = M + M ||



R

d  M / F

FR = {-249.6i + 166.4j – 800k} N

RO = -166.4 -650 +300 N m 

Ví dụ

Cần trục máy chịu tác dụng bởi ba lực phẳng Hãy thay các tải trọng này bằng một hợp lực tương đương và xác định vị trí mà đường tác dụng của hợp lực đó cắt cột AB và tay cần cẩu BC.

4 Thu gọn tải trọng phân bố đơn giản

Xét trường hợp đơn giản: Áp lực phân bố p có dạng không đổi dọc theo một trục (y) của vật hình chữ nhật : p = p(x) Để tính người ta thay bằng hàm tải trọng w, nhằm chỉ ra cường độ của tải trọng dọc theo chiều dài kết cấu, tính theo đơn vị N/m hoặc lb/ft.

Vậy biểu đồ cường độ lực w = w(x) có thể biểu diễn bằng một

hệ lực song song phẳng như hình b Hệ lực này thu về một hợp

lực đơn giản FR.

2

w= [p(x) N/m ]a m  w(x) N / m

Độ lớn của hợp lực

Vị trí của hợp lực:

Hợp lực có đường tác dụng đi qua trọng tâm C ( tâm hình học) của diện tích xác định bởi biểu đồ lực phân bố

w(x)dx dA

   

CHƯƠNG 3

TRẠNG THÁI CÂN BẰNG

CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN

§3.1 Cân bằng của chất điểm

1 Điều kiện cân bằng

- Thế nào là trạng thái cân bằng ?

Một chất điểm ở trạng thái cân bằng nếu

chuyển động với vận tốc không đổi.

- Để có được trạng thái cân bằng thì:

2 Lò xo, cáp và puli

a Lò xo

F = k.s Nếu các lò xo mắc:

b Dây cáp

Quan niệm các dây cáp lý tưởng là các dây cáp hoàn toàn mềm mại ( không chịu uốn), có trọng lượng không đáng kể, không giãn và nó chỉ chịu lực căng ( kéo) nhất định theo hướng dây cáp.

c.Puli: puli ( hay ròng rọc) lý tưởng là puli (hay ròng rọc) bỏ qua các lực ma sát do sự quay của nó gây ra.

Thừa nhận: Một dây cáp lý

tưởng vắt qua một puli lý tưởng

xuất hiện lực căng có độ lớn

không đổi để giữ cho dây cáp

đó cân bằng

Sơ đồ vật rắn tự do

3.2 CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN

1 Điều kiện cân bằng của vật rắn

a.Nội lực và ngoại lực: Xét chất điểm k thuộc vật

Nếu chất điểm ở cân bằng,

theo định luật I Newton ta có:

Fi + fi = 0

b Điều kiện cân bằng

*Vậy điều kiện cân bằng

2 Cân bằng của hệ lực phẳng

Nếu liên kết làm cản trở sự dịch chuyển của vật rắn theo một phương nhất định thì xuất hiện một lực tác dụng theo phương đó Tương tự nếu chuyển động quay của vật bị cản trở thì nó có một

vật.

Một số loại liên kết đối với vật rắn chịu

tác dụng của hệ lực phẳng.

Liên kết dây cáp

Thanh không trọng lượng

Gối tựa con lăn

Bản lề

Thanh gắn chặt với ống trượt trên thanh không ma sát

Liên kết ngàm

Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì

A B C

Ví dụ

Xác định các thành phần phản lực theophương thẳng đứng và ngang của phản lựcliên kết do chốt tại B và con lăn tại A tác dụnglên dầm Bỏ qua trọng lượng của dầm

c Chi tiết (khâu) chịu tác dụng

của hai hoặc ba lực

Chi tiết ( khâu) hai lực

Chi tiết (khâu) không chịu

tác dụng của mômen ngẫu

và các lực tác dụng chỉ

tác dụng tại hai điểm trên

chi tiết (khâu)đó.

Chi tiết (khâu) ba lực Nếu một chi tiết

(khâu) chỉ chịu tác dụng của ba lực, để chitiết (khâu) cân bằng thì các lực này phảihoặc đồng quy hoặc song song với nhau

Chi tiết (khâu) ba lực

3 Cân bằng trong không gian

Các liên kết thường gặp trong không gian

Bản lề cầu

Chốt trơn nhẵn

Bản lề một chiều

Ngàm không gian

b Các liên kết thích hợp với vật rắn

Liên kết thừa Đây là bài toán siêu tĩnh ?

* Các liên kết không thích hợp dẫn đến hệ không ổn định Các phản lực liên kết cắt một trục chung (Bài toán không

gian) hoặc đồng quy tại một điểm (Bài toán phẳng)

Các phản lực liên kết song song với nhau

Hệ chỉ được liên kết từng phần

VÍ DỤ

Một tấm đồng chất được thể hiện trên hình vẽ có khối lượng

100 kg chịu tác dụng một lực và một mô men tại mép của tấm.

Nó được giữ ở mặt phẳng nằm ngang nhờ liên kết gối tựa con lăn tại A, một khớp cầu tại B và một dây thừng tại C Xác định các thành phần phản lực tại các liên kết.

a Sơ đồ vật rắn tự do.