Chương 2 khối đa diện tách đề 4 5 6

Một mặt phẳng  P vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo một đường tròn tâm H.. Gọi V là thể tích khối nón đỉnh O và đáy là đường tròn tâm H... Lời giải Tác giả:Trần Thị Thu Thanh

CHƯƠNG 2 KHỐI ĐA DIỆN TÁCH ĐỀ 4-5-6 Câu 1. Cho hai khối cầu   C1 , C2

có cùng tâm và có bán kính lần lượt là ,a b , với a b .

Thể tích phần ở giữa hai khối cầu là

A 2  3 3

3 b a





3 b a



 C 4 3 3

3 b  a . D.

 3 3

4

3 b a





Lời giải

Tác giả:Võ Thanh Hải; Fb:Võ Thanh Hải

Chọn D

Gọi V V lần lượt là thể tích của hai khối cầu 1, 2   C1 , C2 Thể tích phần ở giữa hai khối cầu là: 3 3  3 3

2 1

V V       b  a

Câu 2. Cho một hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O , bán kính R  5 và có góc ở

đỉnh là 2 với

2 sin

3

  Một mặt phẳng  P

vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo một đường tròn tâm H Gọi V là thể tích khối nón đỉnh O và đáy là đường

tròn tâm H Biết V đạt giá trị lớn nhất khi

a SH b

 với ,a b  và 

a

b là phân số tối

giản Tính giá trị biểu thức T 3a2 2b3?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tình; Fb: Gia Sư Toàn Tâm

Chọn A

Đặt tên các điểm như hình vẽ, gọi A H  , x 0x 5

tan



+) Trong tam giác SAO :

5 tan 2

AO SO



+) Trong tam giác SA H :

5

A H x SH





Thể tích khối nón đỉnh O và đáy là đường tròn tâm H là:

2 1

3

V   A H OH 1 2. 

3 A H SO SH

2

x x

   

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có:

2 5 5

3 2 2

x x

3 5

2 5 2 2

x x

x



  

81



  x

Dấu “ ” xảy ra

2 5 5

x

x x

5 3

SH

5; 3

a b

    T 3.52 2.33 21

Câu 4. Gọi l , h , R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón

Đẳng thức nào sau đây đúng?

A l2 h2R2 B 2 2 2

l h R . C R2 h2l2 D l2 h R.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Chí Thìn; Fb: Nguyễn Chí Thìn

Chọn A

R

l h

A

Gọi A , B lần lượt là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón Gọi C là một điểm

nằm trên đường tròn đáy của hình nón

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông tại B ta có AC2 AB2BC2

l h R

A.

90cm2

B 94cm2

C 96cm2

D 92cm2

Lời giải

Tác giả:Phan Dung; Fb:phandung.

Chọn A

Ta có bán kính hình trụ là r5cm , độ dài đường sinh l bằng chiều cao h của hình

trụ tức là l  h 4cm

Diện tích toàn phần của hình trụ là S tp 2rl2r2 2 5.4 2 5   2 90cm2

Câu 6. Cho hai điểm cố định A,B và một điểm M di động trong không gian và luôn thỏa

điều kiện AMB   Khi đó điểm 90 M thuộc

tròn

Lời giải

Tác giả:Trần Thị Thu Thanh ; Fb:ThanhTrần

Chọn A

Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB, (trừ hai điểm A,B) Do đó ta chọn A

Câu 7. Cho khối nón có đường cao h  , khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh bằng 4.5

Thể tích của khối nón đã cho bằng

A

2000 9



2000 27



16 3



80 3



Lời giải

Tác giả: Bùi Thị Kim Oanh; Fb: Bùi Thị Kim Oanh

Chọn B

Khối nón có h SO  , 5 d O SA  ,  OH  4

Xét tam giác SAO vuông tại O , ta có:

4 5 4 5

OA OH SO

9

OA

.

Vậy thể tích khối nón là:

2

V  OA SO   

Câu 8 [2H2-1.6-1] Gọi , ,l h R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của

hình nón Diện tích toàn phần S tp của hình nón là

A S tp 2RlR2

B S tp Rl2R2

C S tp RlR2

D.

2

tp

S  Rl R

Lời giải

FB tác giả: Trương Thanh Nhàn

Diện tích xung quanh của hình nón là S xq Rl

Diện tích đáy của hình nón là R2

Từ đó suy ra diện tích toàn phần của hình nón là S tp RlR2

Câu 9 [2H2-1.1-1] Một hình trụ có chiều cao bằng 2 và bán kính đáy bằng 3 Thể tích của

khối trụ đã cho là

Lời giải

FB tác giả: Trương Thanh Nhàn

Thể tích của khối trụ có chiều cao h 2 và bán kính đáy R 3 là V R h2 .3 2 182  

Câu 10 [2H2-1.4-1] Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 5m x 40 m , người ta làm

thành thùng nước hình trụ có chiều cao 5m , bằng cách gò thành mặt xung quanh của

một thùng (tham khảo hình bên dưới) Diện tích xung quanh của thùng hình trụ bằng:

2 2000 m

 C 1000 m 2 D 2000 m 2

Lời giải

FB tác giả: Ngoclan Nguyen

Diện tích xung quanh của hình trụ đúng bằng diện tích của hình chữ nhật Suy ra diện

tích xung quanh hình trụ bằng 5 x40 200 m 2

Câu 11 [2H2-2.1-1] Cho khối cầu có thể tích V 4a3,a0 Tính theo a bán kính của

khối cầu

A R a 33 B R a 3 2 C R a D R a 3 4

Lời giải

Fb tác giả: Võ Tự Lực

Theo công thức thể tích khối cầu bán kính R là

3 4 3

V  R

, ta có

4

3

3

   R a 33 Vậy bán kính khối cầu là R a 33

Câu 12 [2H2-1.1-2] Cho tam giác ABC vuông tại A , trong đó AB a , BC2a Quay tam

giác ABC quanh trục AB ta được một khối tròn xoay có thể tích là

A

3 4 3

a



3 3

a



3 2 3

a



Lời giải

FB tác giả: Vu Thi Thanh Huyen

Quay tam giác ABC quanh trục AB ta được một hình nón có chiều cao AB a , bán

kính đáy AC BC2 AB2 a 3

Vậy thể tích khối nón là 1  2 3

3 3

V   a aa

Câu 13 [2H2-2.2-2] Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại ,A AB 2,

4

AC  SA vuông góc với mặt phẳng ABC

và SA  5. Mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp S ABC. có bán kính R bằng bao nhiêu?

A

10 3

R 

5 2

R 

25 2

R 

D R 5

Lời giải

FB tác giả: Vương Kenny

+) Gọi M là trung điểm BC Qua M , kẻ đường thẳng d ABC

Khi đó d là trục

của đa giác đáy Trong mặt phẳng SA d, 

, kẻ đường trung trực của đoạn SA cắt d tại I Khi đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. và bán kính mặt cầu

R IA

+) BC  AB2AC2  2242 2 5 AM  5

+)

IA AN AM         

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. là

5 2

R 

Câu 14 [2H2-1.2-2] Tính diện tích toàn phần S tp

của hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB , biết AB 5 và BC 2

A S tp 18 B S tp 28 C S tp 24 D S tp 14

Lời giải

FB tác giả: Trương Hồng Hà

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có chiều cao

5

hAB , bán kính đáy R BC 2

Ta có S tp S xq2S d

+ Diện tích xung quanh: S xq 2Rh 20

+ Diện tích đáy: S d R2 4

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: S tp 28

Câu 15 [2H2-2.2-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Biết

SBA SCA   và góc giữa SBC

và mặt đáy bằng 60 Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A.

2 19

12

a 

2 19 48

a 

2 19 24

a 

2 19 29

a 

Lời giải

FB tác giả: Thanh Tâm Trần

Dựng đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

3 2 3

2

a

Ta có: AB BD AB SBD









Mà SDSBD  ABSD  1

Mặt khác: AC CD AC SCD









Mà SDSCD  ACSD  2







Ta có:

AB AC









Gọi I là trung điểm BC  SI BC

Mà :

,









Xét tam giác vuông SDI :

3

SD DI DI

Xét tam giác vuông SDA :

6

a

SA SD AD 

Mặt khác: SBA SCA   90  S A B C, , , nằm trên mặt cầu đường kính SA

Vậy diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:

19

4

S     

Câu 16 [2H1-3.5-2] Một công ty dự định làm một đường ống thoát nước hình trụ dài 1 km,

đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông) bằng 1 m; độ dày của lớp bê tông bằng 10 cm Biết rằng cứ một mét khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước gần đúng với số nào nhất sau đây?

Lời giải

Fb tác giả: Võ Thanh Hải

*Gọi r R, lần lượt là bán kính trong (không kể lớp bê tông) và bán kính ngoài (kể cả lớp bê tông) của ống thoát nước Theo giả thiết ta suy ra r 0,5 m, R 0, 6 m

*Thể tích của bê tông bằng  2 2 3 2 2 3

.10 0, 6 0,5 110 m

V h R  r    

*Số bao xi măng cần dùng là 10V 1100 3456 bao

Câu 17: [2H2-1.5-4] Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh là 2a Hai dây

cung MN , PQ của hai đáy sao cho MN không song song với PQ Khi đó thể tích lớn nhất của tứ diện MNPQ là

3

4

3

a

3 3

a

3 2 3

a

.

Lời giải

FB tác giả: QuangPhi

Gọi O và O¢ lần lượt là tâm của 2 đáy của hình trụ ( như trên hình vẽ ).

Do thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh là 2a nên hình trụ có

chiều cao O O¢=2a.

Hai dây cung MN , PQ nằm trên hai đáy nên d(MN PQ, )=O O¢=2a.

Thể tích của khối tứ diện MNPQ là

.sin , d( , ) 2 2 1.2

a

Dấu "= xảy ra khi và chỉ khi " ( )

2

2 2

MN PQ

ìï =

Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện MNPQ là

3 4 3

a

V =

, đạt được khi MN và PQ là các đường kính vuông góc với nhau

Câu 18 [2H2-1.4-2] Một khối gỗ hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng a, chiều cao bằng

2a Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu, mà đường tròn đáy của khối

gỗ là đường tròn lớn cuả mỗi nửa khối cầu Tính tỉ số thể tích của phần còn lại của khối gỗ và thể tích khối gỗ ban đầu

A

1

1

2

1

2

Lời giải

Fb tác giả: Nguyễn Chí Thìn

Khối gỗ ban đầu là khối trụ có thể tích V R h2 a a2.2  2 a3 (đvtt)

Phần bị khoét đi là hai nửa khối cầu bán kính R a có tổng thể tích

1

V  R  a

(đvtt)

Phần khối gỗ còn lại có thể tích

2

V  V V  a  a  a

(đvtt)

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là:

3 2

3

2

1 3

a V



Câu 19 [2H2-2.1-2] Cho mặt cầu S O R( , )

và mặt phẳng  

Biết khoảng cách từ O đến  

bằng 2

R

Khi đó thiết diện tạo bởi  

với S O R( , )

là một đường tròn có đường kính bằng:

A. 2

R

3 2

R

Lời giải

FB tác giả: Vũ Việt Tiến

+ Giả sử mặt cầu S O R( , )

cắt mặt phẳng  

theo giao tuyến là đường tròn tâm I , bán kính IA

+ Theo giả thiết ta có  ,  

2

R

d O  OI 

+ Xét OAI vuông tại I , ta có OA2=IA2+OI2

2

Vậy đường kính đường tròn giao tuyến bằng R 3

Câu 20 [2H2-1.1-1] Cho hình nón có đỉnh là S , chiều cao h , bán kính đáy R, đường sinh

4

l  và S xq 8

Tìm kết luận sai ?

4 3 3

V  

D S tp 12

Lời giải

FB tác giả: Phương Nguyễn

O +) Ta có : S xq Rl8 R4 R2

+) h l2 R2  16 4 2 3 

+)

S S S RlR     

+)

2

V  R h 

Vậy chọn phương án C.

Câu 21 [2H2-1.5-3] Cho nửa đường tròn đường kính AB2R và điểm C thay đổi trên nửa

đường tròn đó Đặt CAB   , gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C trên AB

Tìm cos 2 sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tam giác

ACH xung quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất.

A

1

3

2

2

2

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Trí Chính

H α

C

B A

Khi quay hình tam giác ACH xung quanh trục AB thì sinh ra khối nón tròn xoay  N

, có đáy là hình tròn, bán kính hình tròn đáy là

1 sin cos sin sin 2 sin 2

2

Chiều cao khối nón  N

là

2

Thể tích khối nón  N

là

2

sin 2 1 cos 2

1 cos 2 1 cos 2

3 1

2 2cos 2 1 cos 2 1 cos 2

3 3

1 2 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2

không âm)

Đẳng thức xảy ra khi 2 2cos 2   1 cos 2

1 cos 2

3



(thỏa mãn cos 2  )1 Vậy

1 cos 2

3

 

Câu 22 [2H2-2.2-2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và

BA BC a  Cạnh bên SA2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S ABC là

2 2

a

6 2

a

Lời giải

FB tác giả: Thanh Tâm Trần

Ta có: BC AB BC SAB









Mà SBSAB  BCSB

Mặt khác: SAC SBC 90  S A B C, , , nằm trên mặt cầu đường kính SC

Xét tam giác vuông ABC : AC AB2BC2 a 2

Xét tam giác vuông SAC : SC SA2 AC2 a 6

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:

6

SC a

Câu 23 [2H2-1.2-2] Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là 1 hình vuông và diện tích toàn

phần bằng 64 a 2 Tính bán kính đáy r của hình trụ

A

4 6 3

a

r 

B r4a C r2a D

8 6 3

a

r 

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Thu Trang

Thiết diện qua trục là hình vuông có cạnh 2r , suy ra chiều cao hình trụ bằng 2r

Ta có S tp 2 2r r2r2 6r2,

3

tp

a

S  a  a  r  r