Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi fourier

Phép bien đői Fourier là m®t trong lópnhung phép bien đői tích phân phő bien nhat, có úng dung r®ng rãi nhat.Lu¾n văn này đe c¾p tói nghiên cúu m®t so tính chat cna hàm kha vi vôhan thôn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN KIEU HIÊN

M®T SO TÍNH CHAT CUA HÀM KHA VI VÔ HAN THÔNG QUA GIÁ CUA BIEN ĐOI FOURIER

Chuyên ngành : TOÁN GIAI TÍCH

Mã so: 60 46 01 02

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS VŨ NH¾T HUY

Hà N®i- 2014

Lài cám ơn

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna lu¾n văn, tôi xin bày to lòng biet

ơn chân thành và sâu sac cna mình tói TS Vũ Nh¾t huy, ngưòi đã t¾n tìnhgiúp đõ và chi bao tôi trong suot quá trình hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.Tôi cũng xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quocgia Hà N®i và Khoa sau đai HQc, đã nhi¾t tình truyen thu kien thúc và tao đieuki¾n giúp đõ tôi hoàn thành khóa Cao HQc

Tôi xin bày to lòng biet ơn đen gia đình, ban bè đã luôn đ®ng viên vàkhuyen khích tôi rat nhieu trong thòi gian nghiên cúu và HQc t¾p

Do mói làm quen vói công tác nghiên cúu khoa HQc và còn han che ve thòigian thnc hi¾n nên lu¾n văn không the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kínhmong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna các thay cô và các ban đe lu¾n văn đưochoàn thi¾n hơn

Hà N®i, năm 2014

Nguyen Kieu Hiên

Mnc lnc

Ma

đau 5

1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BAN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY R®NG 6 1.1 Không gian các hàm giam nhanh S ( R n ) 6

1.2 Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S J ( R n ) 11

1.3 Đao hàm cna hàm suy r®ng 13

1.4 Giá cna hàm suy r®ng 13

1.5 Không gian hàm suy r®ng vói giá compact E J(Rn) 15

1.6 Tích ch¾p 17

1.7 Phép bien đői Fourier 17

1.7.1 Phép bien đői Fourier trong không gian các hàm giam nhanh S (Rn) 18

1.7.2 Phép bien đői Fourier trong không gian các hàm tăng ch¾m S J(Rn) 25

1.7.3 Phép bien đői Fourier trong không gian hàm suy r®ng vói giá compact E J(Rn) 26

2 M®T SO TÍNH CHAT CUA HÀM KHA VI VÔ HAN THÔNG QUA GIÁ CUA BIEN ĐOI FOURIER 28 2.1 Dáng đi¾u cna dãy các đao hàm trong không gian L p (R) 28

2.2 Dáng đi¾u cna dãy các đao hàm cna hàm tuan hoàn trong không gian L p (π) 32

2.3 Dáng đi¾u cna dãy P - đao hàm trong không gian L p (Rn) 34 2.4 Nghiên cúu tính chat phő cna dãy P - đao hàm và bat đang thúc

tích ch¾p 38

Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 42

Ma đau

Bien đői Fourier là m®t trong nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG cna Toán

HQc nói chung và cna Giai tích nói riêng Phép bien đői Fourier là m®t trong lópnhung phép bien đői tích phân phő bien nhat, có úng dung r®ng rãi nhat.Lu¾n văn này đe c¾p tói nghiên cúu m®t so tính chat cna hàm kha vi vôhan thông qua giá cna bien đői Fourier (GQI là phő) Van đe này có ý nghĩa ratlón đoi vói úng dung vào giai quyet nhung bài toán khó khác nhau trong Giaitích hàm, Phương trình vi phân đao hàm riêng, Lý thuyet hàm suy r®ng, Lýthuyet nhúng, Lý thuyet xap xi, lý thuyet sóng nho

Ngoài phan mo đau, ket lu¾n và tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chialàm hai chương:

Chương 1: Các không gian hàm cơ ban và không gian hàm suy r®ng Chương này trình bày nhung kien thúc cơ ban ve không gian các hàm

cơ ban, không gian các hàm suy r®ng, tích ch¾p cna hàm suy r®ng, phépbien đői Fourier cna m®t hàm cơ ban, cna hàm suy r®ng, các đ%nh lý vàket qua liên quan đen lu¾n văn làm cơ so đe xây dnng n®i dung chươngtiep theo

Chương 2: M®t so tính chat cua hàm kha vi vô han thông qua giá cua bien đoi Fourier Chương này là phan chính cna lu¾n văn, trình bày tính

chat cna hàm so qua hình HQc cna phő cho toán tu vi phân, mô ta dáng đi¾ucna dãy các đao hàm, dãy các đao hàm cna hàm tuan hoàn, dãy các P - đaohàm hình thành tù toán tu vi phân trnc tiep thông qua giá cna bien đőiFourier, bat đang thúc tích ch¾p cna hai hàm nhieu bien

Chương 1

CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ

BAN VÀ KHÔNG GIAN HÀM

SUY R®NG

Trong chương này, chúng tôi trình bày nhung khái ni¾m và ket qua cơban ve lý thuyet hàm suy r®ng và phép bien đői Fourier (xem [1], [2], [6]).Chúng tôi chi rõ nhung khái ni¾m và ket qua chính đưoc su dung o chươngsau

Trưóc khi nghiên cúu ve không gian các hàm giam nhanh S (Rn), chúng

ta chi ra m®t so ký hi¾u đưoc trình bày trong lu¾n văn

Cho N = {1, 2, } là t¾p các so tn nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } là t¾p các so nguyên không âm, R là t¾p các so thnc, C là t¾p các so phúc Đơn v% ao √ −1

x j ξ j.Vói moi k ∈ Z+ ký hi¾u các t¾p như sau

+

Σ

j

Σ

C k(R) = {u : R → C|u kha vi liên tuc đen cap k},

C k(R) = {u : R → C|u ∈ C k(R), suppu là t¾p compact},

C ∞(R) = ∩ ∞ k=1C k(R), C0∞(R) = ∩ ∞ k=1C k(R),

trong đó suppu = {x ∈ R| u(x) ƒ= 0}.

Vói moi so thnc 1 ≤ p < ∞, ký hi¾u

L ∞(Rn) = {u : Rn → C|ǁuǁ ∞ = ess sup |u (x)| < +∞},

trong đó ess sup |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Rn ||u (x)| > M} = 0}

tương úng là giói han, giói han trên, giói han dưói cna dãy hàm {a m } ∞ m=1

Bây giò là lúc ta có the phát bieu đ%nh nghĩa, đ%nh lý, đong thòi đưa ra các

ví du minh HQA đe làm rõ ve không gian các hàm giam nhanh S (Rn)

Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian S (Rn) là t¾p hap

là giá cna anh Fourier (GQI là phő) cna hàm f Các giói han

Đieu này dan đen hàm ϕ (x) là hàm giam ve 0 khi ǁxǁ → ∞ nhanh hơn bat

kỳ hàm có dang như sau 1/P (x) , x ∈ Rn Vì v¾y, chúng ta GQI S (Rn) làkhông gian các hàm giam nhanh

Ví dn 1.1 Không gian C0∞(Rn) là không gian con cua không gian các hàm giam nhanh S (Rn).

Chúng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞(Rn)

Khi đó, ta đ¾t

suppϕ = K, K là t¾p compact trong Rn

Vói MQI x ∈/ K, suy ra

Ví dn 1.2 Cho hàm so ϕ (x) = e −ǁxǁ , x ∈ Rn Khi đó ϕ là hàm so thu®c không gian các hàm giam nhanh S (Rn).

Chúng minh Theo gia thiet, ta có ǁxǁ2 = x2 + x2 +

Đ%nh nghĩa 1.2 (Đ%nh nghĩa ve sn h®i tn trong không gian S (Rn))

Dãy hàm {ϕ k } ∞ k=1 trong không gian S (Rn) đưac GQI là h®i tn đen hàm ϕ ∈ S (Rn)

Chú ý 1.1 Không gian các hàm giam nhanh S (Rn) là không gian con cua không gian L p (Rn) vái 1 ≤ p ≤ ∞

Chúng minh Ta cHQN hàm ϕ ∈ S (Rn) Hien nhiên hàm ϕ ∈ L ∞(Rn) Nên ta chi can xét 1 ≤ p < ∞ Theo đ%nh nghĩa, ta có

=

đieu này cho ta hàm ϕ ∈ L p (Rn) Chúng minh đưoc hoàn thành.

Chú ý 1.2 Neu hàm a (.) ∈ C ∞ (Rn) sao cho vái mői α ∈ Zn có m®t so thnc

m = m (α) , và m®t so dương c = c (α) có |D α a (x)| < c(1 + ǁxǁ) m , khi đó ánh xa bien mői hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xa tuyen tính liên tnc tù không gian các hàm giam nhanh S (Rn) vào chính nó.

Đ%nh lý 1.1 Không gian các hàm giam nhanh S (Rn) là không gian đay đu.

Chúng minh Lay dãy hàm {ϕ m } ∞ m=1 là m®t dãy Cauchy trong không gian S (Rn),nghĩa là dãy hàm .x α D β ϕ m (x)Σ∞

∀α, β ∈ Zn h®i tu đeu trên tùng t¾p pact trong Rn đen m®t hàm ψ ∈ C ∞ (Rn)

com-Th¾t v¾y, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0) cho nên dãy hàm {ϕ m } ∞ m=1 h®i tu trong

Rn Khi đó, ton tai hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn) thoa mãn

liên tuc trong Rn, nên hàm ψ (x)

liên tuc trong Rn Như v¾y, ta nh¾n đưoc

Như v¾y, ta đã chi ra rang hàm ϕ0 ∈ S (Rn) V¾y không gian các hàm giamnhanh S (Rn) là không gian đay đn Đ%nh lý đưoc chúng minh.

Đ%nh nghĩa 1.3 Ta nói rang f là hàm suy r®ng tăng ch¾m neu f là m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không gian S (Rn).

Hàm suy r®ng tăng ch¾m f tác đ®ng lên mői hàm ϕ ∈ S(Rn) đưac viet là f,

ϕ Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S J (Rn) là t¾p hap tat ca các hàm suy r®ng tăng ch¾m.

Trên không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S J(Rn) có the xây dnng m®tcau trúc không gian vectơ trên Rn, nghĩa là ta có the đ%nh nghĩa các phép toántuyen tính như sau

•Phép c®ng : vói các hàm f1, f2 ∈ S J(Rn) tőng các hàm f1 + f2 đưoc xácđ%nh như sau

•Phép nhân vói so thnc : vói hàm f ∈ S J(Rn) , λ ∈ Rn tích λf đưoc xác đ

%nh như sau

λf : ϕ → (λf, ϕ) = λ(f, ϕ) ∀ϕ ∈ S (Rn) .

Hơn the, ta có the đ%nh nghĩa phép nhân cna hàm suy r®ng tăng ch¾m f

vói m®t đa thúc P (x) như sau

P (x)f : ϕ → f, Pϕ ∀ϕ ∈ S (Rn) .

Khi đó P (x)f ∈ S J(Rn) .

.Σ

.Σ

Ví dn 1.3 Vái 1 ≤ p ≤ ∞ , không gian L p (Rn) là không gian con cua không gian các hàm tăng ch¾m S J(Rn), túc là vái mői hàm f ∈ L p (Rn) thì hàm suy r®ng

f : ϕ → (f, ϕ) = ∫ f (x)ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (Rn)

R

n

là phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không gian S (Rn).

Ví dn 1.4 Hàm δ a Dirac tai a là phiem hàm xác đ%nh như sau

(δ, ϕ) = ϕ (−a)∀ϕ ∈ S (Rn) .

Khi đó δ a là hàm suy r®ng tăng ch¾m.

Chúng minh Hien nhiên ta thay hàm Dirac tai a là m®t phiem hàm tuyen tính,

1.3 Đao hàm cua hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.4 Cho hàm suy r®ng f ∈ S J(Rn) , α = (α1, , α n) ∈

Zn Đao hàm suy r®ng cap α cua hàm suy r®ng tăng ch¾m f , ký hi¾u là

D α f , là ánh xa tù không gian S (Rn) vào không gian C đưac xác đ%nh bái

D α f : ϕ ›→ (−1) |α| (f, D α ϕ) ∀ϕ ∈ S (Rn) .

Vói moi hàm suy r®ng f ∈ S J(Rn) , α ∈ Zn đao hàm suy r®ng cap α cnahàm suy r®ng tăng ch¾m f cũng là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m Nói cáchkhác, đao hàm suy r®ng D α f là phiem hàm tuyen tính liên tuc tù không gian

S (Rn) vào không gian C Do đó, đao hàm D α f là m®t hàm suy r®ng trongkhông gian các hàm tăng ch¾m S J(Rn)

Ví dn 1.5 Cho hàm θ (x) đưac xác đ%nh sau

θ (x) = 1 vái x > 0

0 vái x ≤ 0.

Tìm đao hàm cua hàm suy r®ng θ (x)

Chúng minh Theo đ%nh nghĩa đao hàm cna hàm suy r®ng, ta có

Khi đó, đao hàm cna hàm suy r®ng θ chính là hàm Dirac δ0 Chúng minhđưoc hoàn thành

1.4 Giá cua hàm suy r®ng

Trưóc het, ta đ%nh nghĩa the nào là hai hàm suy r®ng tăng ch¾m bang nhautai m®t điem trong Rn Cùng vói đó ta se đ%nh nghĩa giá cna hàm suy r®ng trongkhông gian các hàm tăng ch¾m S J(Rn)

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho x ∈ Rn , các hàm suy r®ng f, g ∈ S J(Rn) Ta nói rang hàm suy r®ng f = g tai x neu ton tai m®t lân c¾n má ω ∈ Rn cua x

Đ%nh nghĩa 1.6 (Giá cua hàm suy r®ng)

Cho hàm suy r®ng f ∈ S J(Rn) Giá cua hàm suy r®ng f đưac xác đ%nh như sau

Khi đó, giá cua hàm suy r®ng δ0 là supp δ0 = {0}

Chúng minh Ta xét σ ƒ= 0 Khi đó, vói MQI hàm ϕ ∈ S(R) thoa mãn

1.5 Không gian hàm suy r®ng vái giá compact EJ (Rn)Trong phan này, ta se nghiên cúu ve đ¾c điem cna hàm suy r®ng vóigiá compact E J (Rn) Trưóc tiên, ta se đi vào khái ni¾m h®i tu trongkhông gian E (Rn).

Đ%nh nghĩa 1.7 Không gian E (Rn) là không gian tôpô tuyen tính các hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn) vái khái ni¾m h®i tn như sau: dãy {ϕ k } ∞ k=1 các hàm trong không gian C ∞ (Rn) đưac GQI là h®i tn đen hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn) neu

Đ%nh nghĩa 1.8 M®t phiem hàm tuyen tính liên tnc xác đ%nh trong không gian

hàm cơ ban E (Rn) đưac GQI là m®t hàm suy r®ng xác đ%nh trên không gian hàm cơ ban E (Rn) T¾p hap tat ca các hàm suy r®ng xác đ%nh trong không gian hàm cơ ban E (Rn), ký hi¾u là E J(Rn) .

Đ%nh lý 1.2 i) Gia su f là hàm suy r®ng có giá compact Khi đó, ta có the thác trien f lên thành phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không gian hàm cơ ban E (Rn).

ii) Gia su f là phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không gian hàm cơ ban E

(Rn) Khi đó, ta có the thu hep hàm f trên không gian các hàm giam nhanh S

(Rn) thành hàm suy r®ng có giá compact.

Ví dn 1.7 Hàm Dirac δ0 là hàm suy r®ng thu®c không gian hàm suy r®ng giá compact E J(Rn) Hơn nua, không ton tai hàm g ∈ L1 (Rn) thóa mãn

(δ0, ϕ) = ∫ g (x)ϕ (x) dx = ϕ (0) ∀ϕ ∈ E (Rn) .

R

E

lo c

Chúng minh Gia su ngưoc lai, ton tai hàm g ∈ L1 (Rn) thoa mãn

Chúng minh đưoc hoàn thành

M¾nh đe 1.1 i) Cho hàm suy r®ng f ∈ E J(Rn) , ϕ ∈ C0∞ (Rn) và supp f ∩ supp ϕ =

∅ khi đó,

(f, ϕ) = 0.

ii) Cho hàm suy r®ng f ∈ E J (Rn) , ϕ ∈ C0∞ (Rn) khi đó, supp (fϕ) ⊂

supp ϕ∩ supp f Hơn nua, các hàm suy r®ng f, g ∈ E J (Rn) khi đó, supp(f + g) ⊂ supp f ∪ supp g và

D α f ∈ E J(Rn) , supp D α f ⊂ supp f.

lo c

L

iii) Cho hàm suy r®ng f ∈ E J (Rn) và giá cua hàm suy r®ng supp f = {0} do

đó, hàm suy r®ng f có the bieu dien dien duy nhat dưái dang

f =

|α|≤N C α D α δ0

δ0là hàm suy r®ng có giá compact và giá cua nó supp δ0 = {0}

Σ

1.6 Tích ch¾p

Dưói đây, ta đưa ra khái ni¾m tích ch¾p cna hai hàm kha tích trên Rn,

nham xác đ%nh quy tac lay tích ch¾p giua chúng

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho f, g là các hàm kha tích đ%a phương trên R n Neu tích phân

∫Rnf (x − y) g (y)dy

xác đ%nh vái hau het x ∈ Rn (nghĩa là t¾p các giá tr% x ∈ Rn đe tích phân trên không ton tai là t¾p có đ® đo không) và hàm kha tích đ%a phương trên R n

bien x thành Rn f (x − y) g (y)dy đưac GQI là tích ch¾p cua hàm f và hàm

g , ký hi¾u là f ∗ g Như v¾y

Đ%nh lý 1.3 Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f, g ∈ L1 (Rn) Khi đó tích ch¾p cua hàm g và hàm f là f ∗ g ton tai và tích ch¾p f ∗ g ∈ L1 (Rn), đong thài ta có bat đang thúc

1.7 Phép bien đoi Fourier

Đoi tưong chính cna chúng ta nghiên cúu trong phan này, se là phép bien đőiFourier cna nhung hàm thu®c không gian các hàm giam nhanh S (Rn), khônggian các hàm tăng ch¾m S J (Rn), không gian hàm suy r®ng vói giácompact E J(Rn)

∫

+

1.7.1 Phép bien đoi Fourier trong không gian các hàm giam

M¾nh đe 1.3 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn) Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rn) và

•D α Fϕ (ξ) = (−i) |α| F (x α ϕ (x)) (ξ) , D α F −1 ϕ (ξ) = i |α| F −1 (x α ϕ (x)) (ξ) ,

•ξ α Fϕ (ξ) = (−i) |α| F (D α ϕ (x)) (ξ) , ξ α F −1 ϕ (ξ) = i |α| F −1 (D α ϕ (x)) (ξ)

Chúng minh Theo đ%nh nghĩa phép bien đői Fourier cna hàm ϕ thu®c

không gian các hàm giam nhanh S (Rn), có

ǁxǁ)

n+ 1

ξ∈R

n

Đoi vói phép bien đői Fourier ngưoc F −1 ta chúng minh tương tn.

Chúng minh đưoc hoàn thành

M¾nh đe 1.4 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn) Khi đó

Fψ ε (ξ) = F −1 ψ ε (ξ) = ψ ε (ξ) (1.17)

Chúng minh đưoc hoàn thành.

M¾nh đe 1.5 Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn) Khi đó,

Chúng minh Su dung đ%nh nghĩa bien đői Fourier cho hàm ψ (x) trong

không gian các hàm giam nhanh S (Rn), có

∫ ϕ (x) Fψ (x) dx = ∫ ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ ∀ϕ, ψ ∈ S (Rn) . (1.22)Bang cách cho hàm

M¾nh đe 1.6 Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn) Khi đó,

Chúng minh đưoc hoàn thành.

Dưói đây ta se trình bày m®t so tính chat khác cna phép bien đői Fourier, trong không gian các hàm giam nhanh S (Rn)

M¾nh đe 1.7 Cho hàm ϕ (Rn) Khi đó

i) Fϕ (ξ − h) = F

e ihx ϕ (x)Σ

(ξ) , ξ, h ∈ Rn

.Σ

n/2

∈ S

ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e −ihξ Fϕ (ξ) , ξ, h ∈ Rn iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t −n Fϕ (ξ/t) , t ƒ= 0, ξ ∈ Rn

Chúng minh i) Tù đ%nh nghĩa cna phép bien đői Fourier, ta có

F (ϕ (tx)) (ξ) = |t| −n Fϕ (ξ/t)∀ϕ ∈ S (Rn) , t ƒ= 0, ξ ∈ Rn

Chúng minh đưoc hoàn thành

— —Σ

(f, ϕ) = f, ϕ ∀ϕ ∈ S (Rn) .

Ví dn 1.8 Cho δ0 là hàm Dirac tai điem 0 Tìm bien đői Fourier và bien đői

Fourier ngưac cua hàm δ0.

Chúng minh Áp dung đ%nh nghĩa ve phép bien đői Fourier cho hàm suy r®ng

V¾y dan đen δ0 = (2π) −n/21

Khi đó bien đői Fourier và bien đői Fourier ngưoc cna hàm δ0đeu là hàm hang (2π) −n/2 Chúng minh đưoc hoàn thành

—

1.7.3 Phép bien đoi Fourier trong không gian hàm suy r®ng

vái giá compact EJ (Rn)

Đ%nh nghĩa 1.14 Cho hàm suy r®ng f ∈ E J(Rn) Do không gian E J(Rn)

⊂ S J(Rn) nên anh Fourier Ff đưac xác đ%nh như sau

Ff : ϕ → (f, Fϕ)∀ϕ ∈ S (Rn) .

Khi đó, ta biet rang hàm suy r®ng Ff có the viet dưói dang hàm thôngthưòng (2π) −n/2 f x , e −ixξ Như v¾y, neu hàm suy r®ng f ∈ E J (Rn) thì anhFourier Ff là m®t hàm suy r®ng tù không gian Rn vào không gian C đưocxác đ%nh boi: ξ (2π) −n/2 f x , e −ixξ Hàm suy r®ng f (ξ) có the thác trienlên thành m®t

hàm nguyên xác đ%nh trên không gian Cn như sau ξ → (2π) −n/2

Chúng minh Cho hàm ψ ∈ C0∞ (Rn) , suppψ ⊂ B[0, R], bien đői Fourier Fψ

cna hàm ψ có the thác trien Fψ lên không gian Cn

x k ς k + i

n

k= 1

e xη−ixς (−iD) α ψ (x) dx ∀α ∈ Zn , (ξ = ς + iη)

nên |ξ α Fψ (ξ)| ≤ Ce R|η| do đó, vói moi N > 0 đeu có C N > 0 thoa mãn

|Fψ (ξ)| < C N (1 + ǁξǁ) −N e Rǁsξǁ ∀ξ ∈ Cn

Chương 2

M®T SO TÍNH CHAT CUA HÀM KHA VI VÔ HAN THÔNG QUA

GIÁ CUA BIEN ĐOI FOURIER

Trong chương này, ta se nghiên cúu các tính chat cna hàm so trnc tiep thôngqua giá cna anh Fourier (hay GQI là phő) cna chính hàm so đó Cu the, mô tadáng đi¾u cna dãy các đao hàm trong các không gian L p (R) , L p (π) , L p

(Rn) (xem [4], [5], [6])

2.1 Dáng đi¾u cua dãy các đao hàm trong không

gian Lp (R)

Đ%nh lý dưói đây chi ra moi liên h¾ cna dãy so ,ǁf (m) ǁ 1/m,∞ vói phő cna

hàm f trong không gian m®t chieu L p

(R)

m=1

Đ%nh lý 2.1 (xem[4]) Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và f ∈ C ∞ (R) thóa mãn f (m) ∈ L p (R),

m = 0, 1, Khi đó, luôn ton tai giái han

f

Bat đang thúc Bernstein Cho 1 ≤ p ≤ ∞, σ > 0, f ∈ L p (R) và suppf ⊂

Và (2.4) là h¾ qua cna bat đang thúc trên

Cuoi cùng chúng tôi cho rang

Vói sup{|ξ| : ξ ∈ suppf^} =

, ∞ đieu này là hie,n nhiên, nên ta chi can chúngminh

f

∀