Bất đẳng thức tích phân thuộc loại ostrowski cho hàm khả vi cấp hai

1 PHẦN MỞ ĐẦUBài toán 1 đã được Calderon xem xét lần đầu tiên vào năm 1980 và tínhgiải được duy nhất cho nghiệm của bài toán được Sylvester và Uhlmanchứng minh trong không gian rộng hơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC:

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN THUỘC LOẠI OSTROWSKI CHO HÀM KHẢ VI

CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Bài toán (1) đã được Calderon xem xét lần đầu tiên vào năm 1980 và tínhgiải được duy nhất cho nghiệm của bài toán được Sylvester và Uhlmanchứng minh trong không gian rộng hơn với số chiều từ ba trở lên vàonăm 1987 Sau đó, có một số kết quả mở rộng khác như tính duy nhấtnghiệm được chứng minh với biên thuộc C 1,1 và hàm C 1,1 (Ω) ¯

P¨av¨arinta và các cộng sự đã chứng minh tính duy nhất nghiệm với hệ

2 Một số kiến thức cơ bản về nhóm

Một nhóm (G, ·) là một tập hợp G ̸= ∅ trên đó đã trang bị một phéptoán hai ngôi · thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) a · (b · c) = (a · b) · c với mọi a, b, c ∈ G,

(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho a · e = a = e · a với mọi a ∈ G,(iii) Với mọi a ∈ G tồn tại phần tử a′∈ G sao cho a · a′ = a′· a = e

Để đơn giản, ta ký hiệu abthay cho a · b Phần tửe xác định trong (ii)

là duy nhất, được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G, và thường ký hiệu

là1 Với mỗi a ∈ G, phần tửa′ xác định trong (iii) là duy nhất, được gọi

là phần tử nghịch đảo của a, và ký hiệu là a−1 Một nhóm G được gọi làgiao hoán (hay abel ) nếu ab = ba với mọi a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữuhạn phần tử thì ta gọi G là một nhóm hữu hạn, và gọi số phần tử của G

là cấp của nhóm G, và ký hiệu là |G|

Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G Ta gọi H là mộtnhóm con củaG, ký hiệu là H⩽ G, nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:(i) Phép toán trên G hạn chế lên H cảm sinh một phép toán trên H,(ii) H là một nhóm với phép toán cảm sinh

Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G ta ký hiệu ⟨S⟩ lànhóm con bé nhất của G chứa S, và gọi S là một tập sinh của ⟨S⟩ Đặcbiệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm xiclíc

là một nhóm con của G Khi đó |H| là một ước của |G|

Với Glà một nhóm hữu hạn, và H ⩽G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|,

và gọi là chỉ số của nhóm con H đối với G

Mệnh đề 2 Cho G là một nhóm, và A, B là hai nhóm con hữu hạn của

G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi đó

|AB| = |A||B|

|A ∩ B|.

Cho Glà một nhóm, và alà một phần tử của G Vớiu là một phần tửcủaG, liên hợp củaubởia, ký hiệu làua, được định nghĩa làua = a−1ua.Với H là một nhóm con củaG, ta gọi H là một nhóm con chuẩn tắc của

G, ký hiệu là H◁G, nếu ha ∈ H với mọi a ∈ G, h ∈ H

Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của G Ký hiệu

G/N = {aN | a ∈ G}.

Khi đó G/N là một nhóm với phép toán xác định như sau Với a, b ∈ G

(aN )(bN ) = abN.

Nhóm G/N được gọi là nhóm thương của G bởi N

Với S là một tập con của G, tâm hóa củaS trong G, ký hiệu làCG(S),được định nghĩa là

Nếu đồng cấu f là một đơn ánh (tương ứng, toán ánh, song ánh) thì

ta gọi f là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Ta ký hiệu

Aut(G) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G

Cho N và H là hai nhóm bất kỳ, và cho θ : H → Aut(N ) là một đồngcấu nhóm Khi đó, tập hợp

G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H}

là một nhóm với phép toán xác định như sau Với mọi (x 1 , h 1 ), (x 2 , h 2 ) ∈ G,

(x 1 , h 1 )(x 2 , h 2 ) = (x 1 θ(h 1 )(x 2 ), h 1 h 2 ).

Nhóm G được xác định như trên được gọi là tích nửa trực tiếp của

N bởi H ứng với tác động θ, và ký hiệu là G = N ×θ H Trong trườnghợp đặc biệt khi θ là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp chính

là tích trực tiếp

Sau đây là một số kiến thức về p-nhóm và nhóm abel hữu hạn Cho

p là một số nguyên tố Một nhóm G được gọi là một p-nhóm nếu |G| làmôt lũy thừa của p Ta thấy rằng một nhóm con, một nhóm thương củamột p-nhóm cũng là một p-nhóm

Mệnh đề 4 Cho p là một số nguyên tố Khi đó

(i) Mọi nhóm có cấp p đều là nhóm xiclíc

(ii) Mọi nhóm có cấp p2 đều là nhóm abel

Mệnh đề 5 Mọi nhóm abel hữu hạn G đều có thể biểu diễn được mộtcách duy nhất thành tích trực tiếp các nhóm xiclíc

G ∼ = C n 1 × Cn2 × · · · × Cnk

trong đó ni⩾ 2, i = 1, 2, k, và n1 | n2 | · · · | nk

Sau đây là một số kiến thức về nhóm đối xứng và nhóm thay phiên.ChoX là một tập hợp Một song ánh từ tập X đến chính nó được gọi làmột phép thế trên tập X Ký hiệu S(X) là tập tất cả các phép thế trêntập X Khi đó S(X) là một nhóm với phép toán hợp thành ánh xạ Tagọi S(X) là nhóm đối xứng trên tập X Ta dùng ký hiệu Sn để chỉ nhómđối xứng trên tập X = {1, 2, , n} và gọi Sn là nhóm đối xứng bậc n.Định lý 1 Mọi phép thế π ∈ Sn với n ⩾ 1 đều được phân tích đượcthành một tích các xích rời nhau Phân tích này là duy nhất nếu không

kể đến thứ tự các nhân tử

Cho π ∈ Sn với n ⩾ 1 Khi đó, theo Định lý ??, ta có phân tích π

thành tích các xích rời nhau

π = (a 11 a 12 · · · a1k )(a 21 a 22 · · · a2k ) · · · (a s1 a s2 · · · ask )

trong đó ta có thể giả thiết k 1 ⩾k 2 ⩾ · · ·⩾ k s Ta gọi (k 1 , k 2 , , k s ) làkiểu của phép thế π.

Mệnh đề 6 Hai phép thế trong nhóm đối xứng Sn với n ⩾1 là liên hợpvới nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu

Cho σ ∈ Sn với n ⩾ 2. Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σ

nếu i < j và σ(i) > σ(j). Dấu của phép thế σ, ký hiệu là sign(σ), đượcxác định bởi công thức

sign(σ) = (−1)t

trong đó tlà số các nghịch thế của σ Nếu sign(σ) = 1 thì ta gọiσ là mộtphép thế chẵn, nếu sign(σ) = −1 thì ta gọi σ là một phép thế lẻ

Mệnh đề 7 Cho σ, τ ∈ Sn với n⩾1. Khi đó

(i) sign(στ ) =sign(σ)sign(τ ).

(ii) Nếu σ là một xích độ dài k thì sign(σ) = (−1)k+1.

Với n⩾2 ta ký hiệu An là tập các phép thế chẵn bậcn. Khi đóAn làmột nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 của Sn. Ta gọi An là nhóm thay phiênbậc n

Cuối cùng trong mục này là một kết quả về độ giao hoán của mộtnhóm

Định nghĩa 2 Cho n là một số nguyên dương Một phân hoạch của n

là một dãy không tăng các số nguyên dương (k 1 , k 2 , , k s ) sao cho

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Trong ví dụ sau đây chúng tôi tính toán các giá trị Pr(A n , S n ) với

2 ⩽ n ⩽ 7 bằng cách áp dụng Mệnh đề 21 Với n ⩾ 2, ta liệt kê tất cảcác phân hoạch của n ứng với kiểu của các phép thế của An Từ đó tađếm được c(n) và tính Pr(An, Sn)

(iii) Với n = 4 ta có 3 phân hoạch là

Ta cần hai kết quả cơ bản để chứng minh định lý ??: trước là kết quảtopo (Urysohn’s Lemma) và sau là các quan hệ xấp xỉ trong không giancác hàm liên tục Lp.

Định nghĩa 3 Cho (X, τ ) là không gian topo Khi đó

C0c(X) := {f : X →R liên tục và spt(f ) là compact trong (X, d)}

ở đây spt(f ) :=Bao đóng{x ∈ X : f (x) ̸= 0}.

K ⊂ V Khi đó, tồn tại một hàm φ ∈ C0c(X) thỏa mãn

0 ≤ φ ≤ 1, φ ≡ 1 trong K và spt(φ) ⊂ V.

Định lý 3 (Xấp xỉ trong Lp bởi các hàm liên tục) Cho Ω ⊂Rn là tập

mở Khi đó C0c(Ω) là trù mật trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ), biết 1 ≤ p < ∞

Chứng minh của định lý ?? cũng dựa trên hai kết quả nền tảng cơbản trong xấp xỉ của các hàm đo được, ở đây ta cần nhớ lại

Định lý 4 (Xấp xỉ bởi các hàm đơn giản) Cho (X, M) là không gian

đo được và cho f : X → [0, +∞] là hàm đo được Khi đó tồn tại dãy cáchàm đơn giản đo được sh: X → [0, +∞], (h = 1, 2, ) thỏa mãn tính chất(i) 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ ≤ sh≤ ≤ f ;

A ⊂ X với

µ(A) < ∞, f (x) = 0 ∀x ∈ X \A và |f (x)| < ∞ µ−hầu khắp nơi x ∈ X.

Khi đó, với mỗi ϵ > 0, tồn tại g ∈C0c(X) sao cho

|{x ∈ Ω : s(x) ̸= 0} < ∞| (đặc biệt s ∈ Lp(Ω), ∀p ∈ [1, ∞]); (1)

Đầu tiên, giả sử f ≥ 0 trong Ω Theo xấp xỉ của các hàm không âm đođược bằng phương pháp hàm đơn giản (Định lý ??), tồn tại một dãyhàm đơn giản đo được sh : Ω → [0, +∞], (h = 1, 2, ) sao cho

∥sh− f ∥ ≤ 2f trong Ω, ∀h. (6)Theo (??) và (??), ta cso thể áp dụng định lý hội theo Lebesgue, do đónếu 1 ≤ p < ∞, ta được

Bước 2: Ta chỉ ra rằng∀ϵ > 0, ∀f ∈ Lp(Ω), ∃g ∈C0c(Ω)sao cho∥f −g∥Lp <

ϵ

Cho f là hàm đơn giản đo được thỏa mãn (??) và (??) với ϵ ≡ ϵ

2 và

ký hiệu A := {x ∈ Ω : s(x) ̸= 0} Giả sử rằng ∥s∥∞ > 0, nếu không thì

s ≡ 0 ∈ C0c(Ω) kết thúc chứng minh Áp dụng định lý Lusin cho hàm s,tồn tại hàm g ∈C0c(Ω) thỏa mãn

Đầu tiên, giả sử Ω bị chặn Cho D ⊂ (C0c(Ω), ∥.∥∞) trù mật và đếmđược, khi đó ta chứng minh

D := ∪∞h=1Dh

và chỉ ra rằng (??) vẫn còn giữ Từ định lý ??, ∀f ∈ Lp(Ω), ∀ϵ > 0, ∃g ∈

C0c(Ω) sao cho (??) đúng Từ K :=spt(g) là tập compact chứa trong Ω,tồn tạih = h(g) = ϵ ∈ N sao choK ⊂ Ωh Điều này có nghĩa là g ∈C0c(Ωh)

và ta có kết luận như ở bước trước

Bây giờ ta chứng minh (??)

Nhớ lại rằng (C0(K), ∥.∥∞) là tách được, biết K ⊂Rn là tập compact(định lý ??)

Cho (Ωh) là một dãy của tập mở bị chặn của Rn Theo định nghĩa,

C0c(Ωh) ⊂ (C0(Ω), ∥.∥∞) Vì (C0(Ω), ∥.∥∞) tách được nên với h, tồn tạimột tập

D ⊂ (C0(Ωh), ∥.∥∞) trù mật và đếm được (17)Bây giờ, theo bổ đề Urysohn, ta sẽ sửa các tập hợp của các hàm D vàcho tập hợp mới các hàm đếm được Deh ⊂C0c(Ω) đẻ họ

D := ∪∞h=1Deh⊂ (C0c(Ω), ∥.∥inf ty) là đếm được và trù mật. (18)

Áp dụng bổ đề Urysohn với K := Ωh−1, V = Ωh và cho φh ∈ C0(Ω) saocho

0 ≤ φh(x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω, φh(x) = 1, ∀x ∈ Ωh−1 và spt(φh) ⊂ Ωh.

Như vậy được (??)

Cuối cùng ta chứng minh (L∞(Ω), ∥.∥L∞ ) là không tách được Ta tìm

họ rời nhau không đếm được Ui : i ∈ I của các tập mở trong L∞(Ω)

Cho a ∈ Ω và cho ωa := B(a, ra) ở đây ra > 0 với B(a, ra) ⊂ Ω Địnhnghĩa

• U a là mở trong (L∞(Ω), ∥.∥L∞ ), ∀a ∈ Ω: hiển nhiên.

• U a ∩ Ub = ∅ nếu a ̸= b, thật vậy, theo phản chứng, f ∈ U a ∩ Ub, điềunày nghĩa là

5 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 4 Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phéptoán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel vớiphép toán cộng, R là nửa nhóm với phép toán nhân và phép toán nhânphân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz

với mọi x, y, z ∈ R

Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu bởi 0 (thường gọi làphần tử không) Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi

1 Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0

Định nghĩa 5 Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu

A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A)

Định nghĩa 6 Ideal trái (phải) của một vành R là một vành con A

thỏa mãn điều kiện

ra ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R.

Vành con I củaR vừa là ideal trái, vừa là ideal phải được gọi là idealcủa vành R.

Cho I là một ideal của vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} đượcgọi là tập thương của R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng haiphép toán

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I

với n ⩾3, và H là một nhóm con của Dn Khi đó

(i) Nếu H = Rk với k|n, 1⩽k ⩽n thì

2,

n + 2k

2.

(ii) Nếu H = Tl với 0⩽l⩽ n − 1 thì

n + 2 2n nếu n chẵn (iii) Nếu H = Ui,j với i|n, 1⩽i⩽n − 1, 0⩽j ⩽i − 1 thì

Trường hợp 2: n chẵn Ta xét hai trường hợp của k.

Trường hợp 2a: k ∤ n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 28 ta cóX

Trường hợp 2b: k | n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 28 ta cóX

Vậy ta có điều phải chứng minh.

(ii) Giả sử H = Tl với 0⩽l ⩽n − 1 Theo Mệnh đề 27, |Tl| = 2 do đó

Ta áp dụng Mệnh đề 28 cho hai trường hợp của n như sau

Vậy ta có điều phải chứng minh

(iii) Giả sử H = Ui,j với i|n, 1⩽i⩽n − 1, 0⩽j ⩽i − 1 Theo Mệnh đề

Ta xét hai trường hợp của n

Trường hợp 1: n lẻ Khi đó, theo Mệnh đề 28 ta có

Trường hợp 2: n chẵn Ta xét hai trường hợp của i

Trường hợp 2a: i∤ n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 28 ta cóX

Trường hợp 2b: i

n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 28 ta cóX

Vậy ta có điều phải chứng minh

Trong ví dụ sau ta sẽ tính lại độ giao hoán tương đối của các nhómcon trong nhóm nhị diện D3 và D4 bằng cách áp dụng Mệnh đề 36

2.

(ii) Với n = 4, xét nhóm nhị diện D 4 (cho như trong Ví dụ ??) Cácnhóm con của D4 là

2 · 4 =

3

4;Pr(U2,0, D4) = Pr(U2,1, D4) = 4 + 2 · 2 + 4

7 Mở rộng Dorroh và mở rộng tail ring của các ∆U -vành

Mệnh đề 12 Cho R là một vành, các điều kiện sau là tương đương

Bổ đề 2 Nếu G là locally finite 2-group và R là ∆U-vành với ∆(R) lũylinh, khi đó ∇(RG) ⊆ ∆(RG).

Định lý 8 Cho R là ∆U-vành và G là locally finite 2-group Nếu ∆(R)

là lũy linh, khi đó RG là ∆U-vành

Hệ quả 1 Cho R là right (or left) perfect ring và G là locally finite2-group Khi đó, R là ∆U-vành khi và chỉ khi RG là ∆U-vành

8 ĐẠI SỐ VÀ SIGMA ĐẠI SỐ

Định nghĩa 9 Cho tập X tùy ý khác rỗng Ta gọi P (X) là tập hợp tất

cả các tập con của X Gọi A∗ là một họ các tập con của X A∗ được gọi

là một đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa ba tiên đề sau:

1 X ∈ A∗

2 ∀A ∈ A∗⇒ Ac ∈ A∗ (Đóng kín với phép toán lấy phần bù)

3 ∀A, B ∈ A∗, A ∪ B ∈ A∗ (Đóng kín với phép toán hợp)

Định nghĩa 10 Cho tập X tùy ý khác rỗng Ta gọi P (X) là tập hợp tất

cả các tập con của X Gọi A∗ là một họ các tập con của X A∗ được gọi

là một σ - đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa mãn ba tiên đề sau:

Dựa vào hai định nghĩa trên ta có nhận xét

Nhận xét 1 Khái niệm "đại số các tập con của tập X" và khái niệm

"σ - đại số các tập con của X" rất gần với nhau Điều đó thể hiện qua

sự giống nhau giữa hai tiên đề đầu tiên Sự khác biệt cơ bản giữa haikhái niệm này là ở tiên đề số 3 Đối với "đại số các tập con của X thìhợp "HỮU HẠN" các phần tử thuộc A∗ là một phần tử thuộc A∗ Còn

"σ - đại số các tập con của X" hợp "VÔ HẠN" các phần tử của A∗ làmột phần tử thuộc A∗

Mệnh đề 14 Cho X là một tập tùy ý khác rỗng Gọi A∗ là một "đại

số các tập con của X" Khi đó:

4 Đóng kín với phép toán hiệu nghĩa là: ∀A, B ∈ A∗ ⇒ A\B ∈ A∗

5 Đóng kín với phép toán lấy hiệu đối xứng nghĩa là: ∀A, B ∈ A∗ ⇒ A△B ∈ A∗

Định lý 9 Cho tập X bất kỳ khác rỗng Giả sử trên X có một phéptoán α Phép toán α được gọi là đóng kín với tập X nếu ta lấy hai phần

tử bất kỳ thuộc X, thao tác qua phép toán ta được một phần tử mới vàphần tử này cũng thuộc X

Để dễ hiểu ta lấy một ví dụ đơn giản Trên tập N có phép toán cộngthông thường Ta lấy hai phần tử bất kỳ thuộc N (lấy hai số tự nhiên)

Dễ thấy rằng cộng hai số tự nhiên là một số tự nhiên và số tự nhiên nàycũng thuộc N Như vậy ta nói N đóng kín với phép cộng

Trong trường hợp tổng quát thì nó sẽ là một tập X bất kỳ

Tiếp theo ta sẽ chứng minh từng ý trong mệnh đề 1

Chứng minh:

1 Vì X ∈ A∗ (Tiên đề 1) nên Xc = ∅ ∈ A∗ (Tiên đề 2)

2 Ta quy nạp dựa theo tiên đề 2 sẽ có điều phải chứng minh

3.∀A, B ∈ A∗ ta có Ac, Bc ∈ A∗ Khi đó(Ac∪ Bc) ∈ A∗ ⇒ [(Ac∪ Bc)]c∈ A∗

hay A ∩ B ∈ A∗

Từ đây ta quy nạp lên giao hữu hạn phần tử sẽ có điều phải chứng minh

4 Chưa chứng minh

5 Chưa chứng minh

9 Nhóm giả nhị diện

Mệnh đề 15 Cho nhóm giả nhị diện

SD2n = ⟨r, s | r2n = s2= 1, s−1rs = r2n−1−1⟩ với n⩾3,

và H là một nhóm con của SD2n Khi đó

(i) Nếu H = Rk với k | 2n, 1⩽k ⩽2n thì

Pr(H, SD2n ) =

(

1 nếu k = 2n, 1

2 +

k

2 n nếu k ̸= 2n (ii) Nếu H = Tl với 0⩽ l ⩽ 2n− 1 khi l chẵn, và 0 ⩽l ⩽2n−1− 1 khi l

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Trong ví dụ sau ta sẽ tính độ giao hoán tương đối của các nhóm con

trong nhóm giả nhị diện SD8 và SD16 bằng cách áp dụng Mệnh đề 7

4,

32.

10 Không gian của các hàm khả vi liên tục C1(Ω)

ra nó là đầy đủ nhưng không là không gian Hilbert Xét ánh xạ tuyếntính

Theo (2), ta được fh → f và fh′ → g đều trên [a, b] và do đó cũng hội

tụ theo từng điểm Theo định lý tích phân cổ điển

(iii) liên tục đều trên Ω.

Chứng minh Ta xét trong trường hợp khi n = 1 và Ω = (a, b)

Sự cần thiết: Chỉ ra rằng, nếuF là compact trong (C1(Ω), ∥.∥C1 ), khi đó(i), (ii) và (iii) đúng Cho

T : (C1(Ω), ∥.∥C1 ) → (C0(Ω) ×C0(Ω), ∥.∥C0

(Ω)×C0(Ω) )

là ánh xạ được định nghĩa bởi (1)

Trong chứng minh của định lý 1 ta chỉ ra được tồn tại

(Ω)×C0(Ω) ) Điều này có nghĩa làπ1(T (F )) = F

và π2(T (F )) = F′ đều compact trong (C0(Ω), ∥.∥C0 ) Theo định lý Arzelà

- Ascoli ta được (i), (ii), (iii) đúng Tính đầy đủ: Chứng minh

Bài tập 4 F là compact (C1(Ω), ∥.∥C1 ), cho trước (i), (ii) và (iii) đúng

là tách được Điều này là do tính tách được của (C0(Ω), ∥.∥∞) (Định lý

??), bài tập 1 và từ các tính chất tách được qua giới hạn đến không giancon (Xem định lý ?? (ii))

Định lý 13 Cho G là nhóm hữu hạn với cấp 1 + 2n và R là ∆U-vành.Khi đó RG là ∆U-vành khi và chỉ khi iđêan mở rộng ∇(RG) là∆U-vành.Chứng minh Đặt∇ = ∇(RG) Giả sửGlà nhóm hữu hạn có cấp là1+2n

và Rlà∆U-vành Theo Mệnh đề ??, ta có2 ∈ ∆(R), vì vậy1+2n ∈ U (R).Khi đóRGcó biểu diễnRG = ∇ ⊕ H vớiH ∼ = Rtheo [4] Đặt∇ = eRG và

H = (1 − e)RG Rõ ràng e là phần tử tâm của RG Nếu RG là ∆U-vành,khi đó ∇ = eRG là ∆U-vành theo Mệnh đề ??.

Ngược lại, giả sử ∇ = eRG là ∆U-vành Vì H ∼ = R nên H cũng là

∆U-vành Theo Bổ đề 1, RG là ∆U-vành

Một nhóm được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi nhóm con đượcsinh bởi hữu hạn phần tử là hữu hạn

Bổ đề 3 Nếu G là 2-nhóm hữu hạn địa phương và R là ∆U-vành với

∆(R) lũy linh, khi đó ∇(RG) ⊆ ∆(RG)

Chứng minh Giả sửG là 2-nhóm hữu hạn địa phương vàR là∆U-vành.Khi đó R := R/J (R)¯ là ∆U-vành Từ ∆(R) là lũy linh, 2 ∈ N ( ¯ R) Suy ra

∇( ¯ RG) ⊆ N ( ¯ RG) theo [4, Hệ quả, trang 682] Do đó, ∇( ¯ RG) là iđêan lũylinh được chứa trong J ( ¯ RG) Ta kiểm tra được rằng J (R)G ⊆ J (RG), vìvậy

J ((R/J (R))G) ∼ = J (RG/J (R)G) = J (RG)/J (R)G.

Định lý 14 Cho R là ∆U-vành và G là 2-nhóm hữu hạn địa phương.Nếu ∆(R) là lũy linh, khi đó RG là ∆U-vành

Chứng minh Lấy u ∈ U (RG) Khi đó ε(u) = 1 + ε(u − 1) ∈ U (R) theo Bổ

đề 4 (1) áp dụng cho ánh xạ mở rộngε vài Vì R là∆U-vành nên tồn tại

j ∈ ∆(R) thỏa mãn ε(u) = 1 + j Theo Bổ đề 4 (1) ta có ε(u − 1 + j) = 0

Định nghĩa 12 (i) Cho E và F là hai không gian vector Ta nói E

và F là đẳng cấu tuyến tính nếu tồn tại ánh xạ T : E → F là ánh

xạ tuyến tính 1 − 1 đi từ E vào F

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳngcấu topo nếu tồn tại ánh xạ liên tục T : E → F là ánh xạ tuyến tính

1 − 1 với ánh xạ ngược cũng liên tục T−1: F → E

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳngcấu metric nếu tồn tại một ánh xạ T : E → F là ánh xạ tuyến tính

1 − 1 từ E vào F với ∥T (x)∥F = ∥x∥E với mỗi x ∈ E

Ta nhớ lại khái niệm không gian đối ngẫu của không gian vector địnhchuẩn

Định nghĩa 13 Cho (E, ∥.∥) là không gian vector định chuẩn Khônggian đối ngẫu E′ của E là không gian tuyến tính được định nghĩa bởi:

Định lý 15 (E′, ∥.∥E′ ) là không gian Banach

Chứng minh Ta sẽ chứng minh mọi dãy Cauchy trong E′ đều hội tụ.Giả sử {fn} là một dãy Cauchy của E′, tức là

Ta suy ra f n (x) là dãy Cauchy trong R, do đó f n (x) hội tụ, nghĩa là

sẽ tồn tại f (x) sao cho

Ta có điều phải chứng minh

Lưu ý: Nếu f ∈ E′ và x ∈ E ta viết ⟨f, x⟩E′ ×E thay cho f (x) và tagọi ⟨., ⟩E′ ×E là tích vô hướng trên không gian đối ngẫu E, E′ Ký hiệunày chỉ chung các không gian đối ngẫu thực khi E là không gian Hilbert

13 Tính chất ∆U trong các lớp vành

Một phần tử r ∈ R được gọi là ∆-clean nếu r được biểu diễn thành

r = e + t trong đó e là phần của lũy đẳng của R và t ∈ ∆(R) Vành R

được gọi là ∆-clean nếu mỗi phần tử củaR là∆-clean Chú ý, mỗi phẩn

tử ∆-clean đều là clean

Mệnh đề 16 Các điều kiện sau đây là tương đương trong vành R

(1) R là ∆U-vành;

(2) Tất cả các phần tử clean của R là ∆-clean

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sửR là ∆U-vành Lấy bất kỳ r ∈ R là clean,khi đó r = e + u Vì R là ∆U-vành, ta có u = 1 + a với a ∈ ∆(R) Lưu

ý 1 − 2e ∈ U (R) = 1 + ∆(R), do đó 2e ∈ ∆(R) Khi đó 2e + a ∈ ∆(R) và

r = e + 1 + a = (1 − e) + (2e + a) là biểu diễn ∆-clean của r

(2) ⇒ (1) Lấy u ∈ U (R) Khi đó u là clean nên theo giả thiết u cũng

là ∆-clean Giả sử u = e + a là biểu diễn ∆-clean của u với a ∈ ∆(R) và

e lũy đẳng Ta có 1 = eu−1+ au−1 suy ra eu−1= 1 − au−1 là khả nghịchtrong R Vì vậy e = 1 Điều này nghĩa là u = 1 + a ∈ 1 + ∆(R) và do đó

U (R) = 1 + ∆(R)

Định lý 16 Cho R là một vành, các điều kiện sau đây là tương đương(1) R là clean ∆U-vành;

(2) Nếua ∈ R bất kỳ và thỏa mãn a − a2 ∈ ∆(R), thì tồn tại một tử phẩn

tử lũy đẳng e ∈ R sao cho a − e ∈ ∆(R);

(3) R là ∆-clean ∆U-vành;

(4) R là vành ∆-clean

Chứng minh (1) ⇔ (3) ⇔ (4) được suy ra từ Mệnh đề ??

(1) ⇒ (2) Giả sử R là clean ∆U-vành Khi đó, nếu a ∈ R thì a − e ∈

∆(R), vớie lũy linh Tiếp theo ta chứng minh a − a2 ∈ ∆(R) Theo Mệnh

đề ??, giả sử a = e + j là biểu diễn ∆-clean của a Khi đó a − a2 = (j − j2) − (ej + je) Chú ýj − j2 ∈ ∆(R)và 2e ∈ ∆(R) Bây giờ ta sẽ chứngminh ej + je ∈ ∆(R) Thậy vậy, ta có

[ej(1 − e)]2 = 0 = [(1 − e)je]2

và theo Mệnh đề ?? ta được

ej − eje = ej(1 − e) ∈ ∆(R)

và

je − eje = (1 − e)je ∈ ∆(R).

Suy ra je − ej ∈ ∆(R) Vì vậy ej + je = 2ej + (je − ej) ∈ ∆(R)

(2) ⇒ (3) được suy ra từ định nghĩa

Rõ ràng Hệ quả 9 cũng suy ra từ Định lý ?? Nghĩa là mọi vành chínhđơn vị đều thỏa mãn tính chất ∆(R) = 0

Cho vành R, phần tử a ∈ R được gọi là phần tử chính quy mạnh nếutồn tại x ∈ R thỏa mãn a = a2x Một vành mà mọi phần tử đều là phần

tử chính quy mạnh được gọi là vành chính quy mạnh

Định lý 17 Cho R là một vành Khi đó, các điều kiện sau là tươngđương

(1) R là ∆U-vành chính quy;

(2) R là ∆U-vành chính quy mạnh;

(3) R là ∆U-vành chính quy đơn vị;

(4) R thỏa mãn tính chất x2 = x với mọi x ∈ R (R là vành Boolean).Chứng minh (1) ⇒ (2) Từ R là chính quy, mỗi iđêan phải khác khôngchứa phần tử lũy đẳng khác không Ta chỉ ra R là vành rút gọn và do

đó R là aben (nghĩa là, mọi phần tử lũy đẳng của R là tâm) Giả sử

R không phải là vành rút gọn, khi đó tồn tại một phần tử khác không

a ∈ R thỏa mãn a2 = 0 Theo Định lý ??, có một phần tử lũy đẳng

e ∈ RaR thỏa mãn eRe ∼ =M2 (T ), trong đó T là vành không tầm thường.Theo Mệnh đề ?? thì M2 (T ) là ∆U-vành, điều này mâu thuẫn do Định

lý ??

(2) ⇒ (3) Hiển nhiên

(3) ⇒ (4) Cho x ∈ R bất kỳ Khi đó x = ue trong đó u ∈ U (R) và

e2 = e ∈ R Do R là ∆U-vành, nên chúng ta có u = 1 hay y x = e, và vìvậy x là lũy đẳng Chúng ta kết luận R là vành Boolean

(4) ⇒ (1) Hiển nhiên

Một vànhR được gọi là nửa chính quy nếuR/J (R)là chính quy và cácphần tử lũy đẳng nâng lên modulo J (R) Vành R được gọi là vành biếnđổi nếu mỗi phần tửa ∈ R, tồn tạie2 = e ∈ aR thỏa mãn1 − e ∈ (1 − a)R.Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng có các kết quả sau:

Định lý 18 Cho R là một vành Khi đó, các điều kiện sau là tươngđương

(1) R là ∆U-vành nửa chính quy;

(2) R là ∆U-vành biến đổi;

(3) R/J (R) là vành Boolean

Hệ quả 3 Cho R là∆U-vành Khi đó, các điều kiện sau là tương đương

Câu hỏi:

(i) Có tồn tại (fh)h ⊂C1c sao cho fh→ f trên Lp(Ω)?

(ii) Có thể xây dựng một cách rõ ràng xấp xỉ thứ h hàm fh cho f ∈

Lp(Ω)?

Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai rất có ý nghĩa trong xấp xỉ số

Định nghĩa 14 (Friedrichs’ mollifiers) Một dãy của mollifiers là mộtdãy các hàm ϱh :Rn →R, (h = 1, 2, ) sao cho, với mỗi h,

Khi đó dễ thấy rằngϱ ∈C∞c (Rn) Hơn thế nữa, ta có một dãy mollifiersđược định nghĩa

(i) Nếu A compact và B đóng, khi đó A + B đóng;

(ii) nếu A và B là compact vì là A + B

Mệnh đề 17 (Định nghĩa tính chất của mollifiers đầu tiên) Cho f ∈

L1loc(Rn) và (ϱh)h là dãy mollifiers Định nghĩa, cho h ∈N và x ∈Rn,

(i) Hàm fh :Rn →R is well defined;

(ii) fh(x) = (ϱh∗ f )(x) = (f ∗ ϱh)(x) với mọi x ∈Rn và h ∈N;

(iii) fh(x) ∈C0(Rn) với mỗi h

Hàm fh được gọi là mollifiers thứ h của f

Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu ϱh ≡ ϱ (i) Theo (Mo2) và (Mo4),